Vuorotteleva tekijä - Alternating factorial

On matematiikka , vuorotellen kertoma on absoluuttinen arvo on vuorotellen summa ensimmäisen n factorials on positiivisia kokonaislukuja .

Tämä on sama kuin niiden summa, jossa parittomat indeksoidut kertoimet kerrotaan -1: llä, jos n on parillinen , ja parilliset indeksoidut kertoimet kerrotaan -1: llä, jos n on pariton, mikä johtaa summan merkkien vuorotteluun ( summaus- ja vähennysoperaattorit, jos halutaan). Algebrallisesti sanottuna,

${\ displaystyle \ operaattorinimi {af} (n) = \ summa _ {i = 1}^{n} (-1)^{ni} i!}$

tai toistosuhteella

${\ displaystyle \ operaattorinimi {af} (n) = n!-\ operaattorinimi {af} (n-1)}$

jossa af (1) = 1.

Ensimmäiset muuttuvat tekijät ovat

1 , 1, 5 , 19 , 101 , 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (sekvenssi A005165 on OEIS )

Esimerkiksi kolmas vuorotteleva kerroin on 1! - 2! + 3 !. Neljäs vuorotteleva kerroin on −1! + 2! - 3! + 4! = 19. Riippumatta pariteetti on n , viimeisen ( n : nnen) yhteenlaskettava, n !, Annetaan positiivinen merkki ja ( n  - 1): nnen yhteenlaskettava annetaan negatiivinen etumerkki, ja merkkejä alemman indeksoitu summands vaihdetaan vastaavasti.

Tämä vuorottelumalli varmistaa, että tuloksena olevat summat ovat kaikki positiivisia kokonaislukuja. Muuttamalla sääntöä niin, että joko parittomat tai parilliset indeksoidut summands annetaan negatiivinen merkkejä (riippumatta pariteetin n ) muuttaa merkkejä tuloksena summia, mutta ei niiden absoluuttisia arvoja.

Miodrag Zivković osoitti vuonna 1999, että on vain rajallinen määrä vuorottelevia kertoimia, jotka ovat myös alkulukuja , koska 3612703 jakaa af (3612702) ja siksi jakaa af ( n ) kaikille n ≥ 3612702. Vuodesta 2006 lähtien tunnetut alkuluvut ja todennäköiset alkuluvut ovat af ( n ) ja (sekvenssi A001272 on OEIS )

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

Vain arvot n = 661 asti ovat osoittautuneet parhaiksi vuonna 2006. af (661) on noin 7,818097272875 × 10 ¹⁵⁷⁸ .

Viitteet

• Weisstein, Eric W. "Vaihteleva tekijä" . MathWorld .
• Yves Gallot, Onko alukkeiden määrä äärellinen?${\ displaystyle {1 \ yli 2} \ sum _ {i = 0}^{n-1} i!}$
• Paul Jobling, Guyn ongelma B43: etsi alkulomakkeita n!-(n-1)!+(N-2)!-(n-3)!+...+/-1!