Blattnerin veikkaus - Blattner's conjecture

On matematiikka , Blattner konjektuuri tai Blattner kaava on kuvaus diskreettisarjoista esityksiä yleisen semisimple ryhmä G mitattuna niiden rajoitettu esityksiä on maksimaalinen kompakti alaryhmä K (niiden ns K -types). Se on nimetty Robert James Blattnerin mukaan , vaikka hän ei ole muotoillut olettamukseksi.

Lausunto

Blattnerin kaava sanoo, että jos diskreetti sarjaesitys, jolla on äärettömän pieni merkki λ, on rajoitettu maksimikompaktiin alaryhmään K , niin K : n paino, jolla on suurin paino μ, esiintyy moninkertaisesti

${\ displaystyle \ sum _ {w \ in W_ {K}} \ epsilon (\ omega) Q (w (\ mu +\ rho _ {c}) -\ lambda -\ rho _ {n})}$

missä

Q on tapa, jolla vektori voidaan kirjoittaa ei-kompaktien positiivisten juurien summana

W _K on Weyl ryhmä K

ρ _c on puolet kompaktien juurien summasta

ρ _n on puolet ei-kompaktien juurien summasta

ε on merkki luonne W _K .

Blattnerin kaava saadaan rajoittamalla muodollisesti Harish-Chandra-merkkikaava erilliselle sarjaesitykselle maksimaalisen kompaktin ryhmän maksimimäärään. Ongelma Blattnerin kaavan todistamisessa on, että tämä antaa luonteen vain maksimaalisen toruksen säännöllisille elementeille, ja on myös hallittava sen käyttäytymistä yksittäisissä elementeissä. Ei-diskreettisten, pelkistymättömien esitysten osalta Harish-Chandran merkkikaavan muodollisen rajoituksen ei tarvitse antaa hajoamista maksimaalisen kompaktin alaryhmän alla: esimerkiksi SL _2: n pääsarjan esityksissä merkki on identtisesti nolla yksikön ei-singulaarisissa elementeissä suurin kompakti alaryhmä, mutta esitys ei ole nolla tässä alaryhmässä. Tässä tapauksessa merkki on jakelu maksimaalisessa kompaktissa alaryhmässä, jossa on tuki yksittäisille elementeille.

Historia

Harish-Chandra katsoi suullisesti olettamuksen Robert James Blattnerille Blattnerin esittämänä kysymyksenä, ei Blattnerin olettamana. Blattner ei julkaissut sitä missään muodossa. Se ilmestyi ensimmäisen kerran painettuna Schmidissä (1968 , lause 2), jossa sitä kutsuttiin ensin nimellä "Blattnerin olettamus", vaikka tämän paperin tulokset oli saatu tietämättä Blattnerin kysymystä ja huolimatta siitä, että Blattner ei ollut tehnyt tällaista olettamusta. Okamoto & Ozeki (1967) mainitsi sen erikoistapauksen hieman aikaisemmin.

Schmid (1972) osoitti Blattnerin kaavan joissakin erityistapauksissa. Schmid (1975a) osoitti, että Blattnerin kaava antoi ylärajan K -esitysten moninaisuuksille , Schmid (1975b) osoitti Blattnerin oletuksen ryhmille, joiden symmetrinen tila on Hermitian, ja Hecht & Schmid (1975) osoitti Blattnerin oletuksen lineaarisille puolisimpleryhmille. Blattnerin oletuksen (kaavan) todisti myös Enright (1979) äärettömän pienillä menetelmillä, jotka olivat täysin uusia ja täysin erilaisia ​​kuin Hechtin ja Schmidin (1975). Osa Enrightin paperin (1979) sysäyksestä tuli useista lähteistä: Enright ja Varadarajan (1975) , Wallach (1976) , Enright ja Wallach (1978) . Teoksessa Enright (1979) moninkertaisuuskaavoja on annettu myös ns. Pilkallisille sarjaesityksille. Enright (1978) käytti ideoitaan saadakseen tuloksia minkä tahansa todellisen puolisimple Lie -algebran pelkistymättömien Harish-Chandra-moduulien rakentamisesta ja luokittelusta . harvtxt -virhe: ei kohdetta: CITEREFSchmid1972 ( ohje )harvtxt -virhe: ei kohdetta: CITEREFEnright_and_Varadarajan1975 ( ohje )harvtxt -virhe: ei kohdetta: CITEREFEnright_and_Wallach1978 ( ohje )

Viitteet

• Enright, Thomas J; Varadarajan, VS (1975), "Diskreetin sarjan äärettömän pienestä karakterisoinnista.", Annals of Mathematics , 102 (1): 1–15, doi : 10.2307/1970970 , JSTOR  1970970 , MR  0476921
• Enright, Thomas J; Wallach, Nolan R (1978), "perustavanlaatuinen sarja esityksiä todellinen semisimple Lie algebran", Acta Mathematica , 140 (1-2): 1-32, doi : 10.1007 / bf02392301 , MR  0476814
• Enright, Thomas J (1978), "algebrallinen rakentamiseen ja luokittelu Harish-Chandra moduulit", Proceedings of the National Academy of Sciences Yhdysvalloissa , 75 (3): 1063-1065, Bibcode : 1978PNAS .. .75.1063E , doi : 10.1073/pnas.75.3.1063 , MR  0480871 , PMC  411407 , PMID  16592507
• Enright, Thomas J (1979), "On perustavaa laatua sarjan todellinen semisimple Lie algebran: niiden irreducibility, resoluutiot ja moninaisuus kaavoja", Annals of Mathematics , 110 (1): 1-82, doi : 10,2307 / 1971244 , JSTOR  1971244 , MR  0541329
• Hecht, Henryk; Schmid, Wilfried (1975), "Todiste Blattnerin oletuksista", Inventiones Mathematicae , 31 (2): 129–154, doi : 10.1007/BF01404112 , ISSN  0020-9910 , MR  0396855 , S2CID  123048659
• Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), " Neliöön integroitavissa ∂ -kohomologiatiloissa, jotka on liitetty erakko-symmetrisiin tiloihin" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 95–110, ISSN  0030-6126 , MR  0229260
• Schmid, Wilfried (1968), "homogeeninen monimutkainen manifolds ja esityksiä semisimple Lie ryhmien", Proceedings of the National Academy of Sciences Yhdysvalloissa , 59 (1): 56-59, Bibcode : 1968PNAS ... 59. ..56S , doi : 10.1073/pnas.59.1.56 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  58599 , MR  0225930 , PMC  286000 , PMID  16591593
• Schmid, Wilfried (1970), "On semisimple Lie -ryhmän erillisen sarjan toteuttamisesta.", Rice University Studies , 56 (2): 99–108, ISSN  0035-4996 , MR  0277668
• Schmid, Wilfried (1975a), "Jotkut neliöintegratiivisten osittain yksinkertaisten valeryhmien esitysten ominaisuudet", Annals of Mathematics , toinen sarja, 102 (3): 535-564, doi : 10.2307/1971043 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971043 , MR  0579165
• Schmid, Wilfried (1975b), "On merkkiä diskreetti sarja. Hermitiivinen symmetrinen tapaus", Inventiones Mathematicae , 30 (1): 47-144, Bibcode : 1975InMat..30 ... 47s , doi : 10.1007 / BF01389847 , ISSN  0020-9910 , MR  0396854 , S2CID  120935812
• Wallach, Nolan R (1976), "On Enright-Varadarajan moduulit: rakennetta diskreetti sarja", Annales Scientifiques de l'École Normale supérieure , 4 (1): 81-101, doi : 10,24033 / asens.1304 , MR  0422518