Chebyshevin polynomi - Chebyshev polynomials

Chebyshev polynomit ovat kahden sekvenssin polynomien liittyvät kosini ja sini toimintoja, notated kuten ja . Ne voidaan määritellä useilla tavoilla, joilla on sama lopputulos; Tässä artikkelissa polynomit määritellään aloittamalla trigonometrisillä funktioilla : ${\ displaystyle T_ {n} (x)}$${\ displaystyle U_ {n} (x)}$

Chebyshev polynomi ensimmäisen lajin annetaan ${\ displaystyle T_ {n}}$

${\ displaystyle T_ {n} \ left (\ cos {\ theta} \ right) = \ cos {(n \ theta)}.}}$

Määrittele vastaavasti toisen tyyppiset Chebyshevin polynomit muodossa ${\ displaystyle U_ {n}}$

${\ displaystyle U_ {n} \ left (\ cos {\ theta} \ right) \ sin {\ theta} = \ sin {{\ big (} {\ big (} n+1) \ theta {\ big)} }.}$

Nämä määritelmät eivät näytä olevan polynomeja , mutta käyttämällä erilaisia ​​trigonometrisiä identiteettejä ne voidaan muuntaa nimenomaisesti polynomi -muotoon. Esimerkiksi n = 2 T ₂ kaava voidaan muuntaa polynomi argumentti x = cos ( θ ) , käyttäen kaksinkertainen kulma on kaava:

${\ displaystyle \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^{2} (\ theta) -1.}$

Korvaamalla kaavan termit yllä olevilla määritelmillä saamme

${\ displaystyle T_ {2} (x) = 2x^{2} -1.}$

Muut T _n ( x ) on määritelty samalla tavalla, jossa on polynomien toisen lajin ( U _n ) meidän täytyy käyttää de Moivre kaava saada sin ( n θ ) kuin sin ( θ ) kertaa polynomi cos ( θ ) . Esimerkiksi,

${\ displaystyle \ sin (3 \ theta) = (4 \ cos ^{2} (\ theta) -1) \, \ sin (\ theta)}$

antaa

${\ displaystyle U_ {2} (x) = 4x^{2} -1.}$

Kun muunnettu polynomi muodossa, T _n ( x ) ja U _n ( x ) kutsutaan Chebyshev polynomeja ensimmäisen ja toisen lajin , vastaavasti.

Sitä vastoin trigonometristen funktioiden mielivaltainen kokonaislukuteho voidaan ilmaista trigonometristen funktioiden lineaarisena yhdistelmänä käyttäen Chebyshevin polynomeja

${\ displaystyle \ cos^{n} \! \ theta = 2^{1-n} \! \ mathop {\ mathop {{\ sum} '} _ {j = 0}^{n}} _ {nj \ , \ mathrm {even}} \! \! {\ binom {n} {\ tfrac {nj} {2}}} \, T_ {j} (\ cos \ theta),}$

jossa alkupiste summasymbolissa osoittaa, että j = 0: n osuus on puolitettava, jos se näkyy, ja . ${\ displaystyle T_ {j} (\ cos \ theta) = \ cos j \ theta}$

Tärkeä ja kätevä ominaisuus T _n ( x ) on, että ne ovat ortogonaalisia suhteessa sisätulon

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle ~ = ~ \ int _ {-1}^{1} \, f (x) \, g (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} { \, {\ sqrt {1-x^{2} \,}} \,}} ~,}$

ja U _n ( x ) ovat ortogonaalisia suhteessa toiseen, analogiseen sisätuotteeseen , joka on esitetty alla. Tämä johtuu siitä, että Chebyshevin polynomit ratkaisevat Chebyshevin differentiaaliyhtälöt

${\ displaystyle (1-x^{2}) \, y ''-x \, y '+n^{2} \, y = 0 ~,}$

${\ displaystyle (1-x^{2}) \, y ''-3 \, x \, y '+n \, (n+2) \, y = 0 ~,}$

jotka ovat Sturm -Liouvillen differentiaaliyhtälöitä . Tällaisten differentiaaliyhtälöiden yleinen piirre on, että on olemassa erottuva ortonormaali ratkaisuryhmä. (Toinen tapa määritellä Chebyshevin polynomi on näiden yhtälöiden ratkaisut .)

Chebyshev polynomit T _n ovat polynomeja, jolla on mahdollisimman johtava kerroin, jonka absoluuttinen arvo on välillä [-1, 1] rajoittuu 1. Ne ovat myös "Esseenin" polynomit monet muut ominaisuudet.

Chebyshev polynomit ovat tärkeitä lähentäminen teoriassa , koska juuret T _n ( x ) , joita kutsutaan myös Chebyshev solmut , käytetään vastaavia-pistettä optimoimiseksi polynomi-interpolointi . Tuloksena oleva interpolointipolynomi minimoi Rungen ilmiön ongelman ja antaa likimääräisen arvon, joka on lähellä parasta polynomi -lähentämistä jatkuvalle funktiolle maksiminormin alapuolella , jota kutsutaan myös " minimax " -kriteeriksi. Tämä lähentäminen johtaa suoraan Clenshaw – Curtis -kvadratuurimenetelmään .

Nämä polynomit on nimetty Pafnuty Chebyshevin mukaan . Kirjain T on käytetty, koska vaihtoehtoisen translitteroinnit nimen Tšebyšov kuin Tchebycheff , Tchebyshev (ranskaksi) tai Tschebyschow (saksaksi).

Määritelmät

Toistumisen määritelmä

Chebyshev polynomi ensimmäisen lajin saadaan toistuvalla suhteella

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {0} (x) & = 1 \\ T_ {1} (x) & = x \\ T_ {n+1} (x) & = 2x \, T_ {n } (x) -T_ {n-1} (x) ~. \ loppu {tasattu}}}$

Tavallinen generoiva funktio varten T _n on

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} T_ {n} (x) t^{n} = {\ frac {1-tx} {1-2tx+t^{2}}} ~ .}$

Chebyshevin polynomeille on olemassa useita muita generointitoimintoja ; eksponentiaalinen generoiva funktio on

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} T_ {n} (x) \, {\ frac {t^{n}} {n!}} = {\ frac {1} {2} } \ vasen (e^{t \ left (x-{\ sqrt {x^{2} -1}} \ right)}+e^{t \ left (x+{\ sqrt {x^{2} -1 }} \ oikea)} \ oikea) = e^{tx} \, \ cosh \ vasen (t {\ sqrt {x^{2} -1}} \ oikea) ~.}$

2-ulotteisen potentiaaliteorian ja moninapaisen laajennuksen kannalta olennainen generointitoiminto on

${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1}^{\ infty} T_ {n} (x) \, {\ frac {t^{n}} {n}} = \ ln \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {1-2tx+t^{2}}}} \ oikea) ~.}$

Chebyshev polynomi toisen lajin on määritelty toistumisen suhteen

${\ displaystyle {\ begin {aligned} U_ {0} (x) & = 1 \\ U_ {1} (x) & = 2x \\ U_ {n+1} (x) & = 2x \, U_ {n } (x) -U_ {n-1} (x) ~. \ loppu {tasattu}}}$

Huomaa, että kaksi differenssiyhtälö ovat identtisiä, paitsi vs. . Tavallinen U _{n: n} generointitoiminto on ${\ displaystyle T_ {1} (x) = x}$${\ displaystyle U_ {1} (x) = 2x}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} U_ {n} (x) \, t^{n} = {\ frac {1} {1-2tx+t^{2}}} ~ ;}$

eksponentiaalinen generointitoiminto on

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} \, U_ {n} (x) {\ frac {t^{n}} {n!}} = e^{tx} \ left (\ cosh \ left (t {\ sqrt {x^{2} -1}} \ right)+{\ frac {x} {\ sqrt {x^{2} -1}}} \ sinh \ left (t {\ sqrt {x^{2} -1}} \ oikea) \ oikea) ~.}$

Trigonometrinen määritelmä

Kuten johdannossa on kuvattu, ensimmäisen tyyppiset Chebyshevin polynomit voidaan määritellä ainutlaatuisiksi polynomeiksi, jotka täyttävät

${\ displaystyle T_ {n} (x) = {\ begin {case} \ cos {\ big (} n \ arccos x {\ big)} & {\ text {if}} ~ | x | \ leq 1 \\ \ cosh {\ big (} n \ operaattorinimi {arcosh} x {\ big)} & {\ text {if}} ~ x \ geq 1 \\ (-1)^{n} \ cosh {\ big (} n \ operaattorinimi {arcosh} (-x) {\ big)} & {\ text {if}} ~ x \ leq -1 \ end {tapaukset}}}$

tai toisin sanoen ainutlaatuisina polynomeina, jotka täyttävät

${\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos (n \ theta)}$

ja n = 0, 1, 2, 3, ... , joka teknisenä piste on variantti (vastaa transpoosia) ja Schröder yhtälön . Se on, T _n ( x ) on toiminnallisesti konjugaatin nx , kodifioitu sisäkkäin omaisuutta alla.

Toisen tyyppiset polynomit täyttävät:

${\ displaystyle U_ {n-1} (\ cos \ theta) \ cdot \ sin \ theta = \ sin (n \ theta) ~,}$

tai

${\ displaystyle U_ {n} (\ cos \ theta) = {\ frac {\ sin {\ big (} (n+1) \, \ theta {\ big)}} {\ sin \ theta}} ~,}$

joka on rakenteeltaan melko samanlainen kuin Dirichlet -ydin D _n ( x ) :

${\ displaystyle D_ {n} (x) = {\ frac {\ sin \ left ((2n+1) {\ dfrac {x} {2}} \, \ right)} {\ sin {\ dfrac {x} {2}}}} = U_ {2n} \! \! \ Vasen (\ cos {\ frac {x} {2}} \ oikea).}$

Se, että cos nx on n: n asteen polynomi cos x: ssä, voidaan nähdä havaitsemalla, että cos nx on de Moivren kaavan toisen puolen todellinen osa . Toisen puolen todellinen osa on cos x: n ja sin x: n polynomi , jossa kaikki synnin x voimat ovat parillisia ja siten korvattavissa identiteetin cos ² x + sin ² x = 1 kautta . Samalla päättelyllä sin nx on polynomin kuvitteellinen osa, jossa kaikki synnin x tehot ovat parittomia ja siten, jos yksi otetaan huomioon, loput voidaan korvata ( n −1) th asteen polynomin luomiseksi in cos x .

Identiteetti on varsin hyödyllinen rekursiivisen generointikaavan yhteydessä, koska sen avulla voidaan laskea kulman minkä tahansa integraalisen moninkertaisen kosini yksinomaan peruskulman kosinin perusteella.

Kahden ensimmäisen Chebyshev -polynomin arviointi,

${\ displaystyle T_ {0} (\ cos \ theta) = \ cos (0 \ theta) = 1}$

ja

${\ displaystyle T_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta,}$

sen voi päättää suoraan

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos 2 \ theta & = 2 \ cos \ theta \ cos \ theta -1 = 2 \ cos ^{2} \ theta -1 \\\ cos 3 \ theta & = 2 \ cos \ theta \ cos 2 \ theta -\ cos \ theta = 4 \ cos ^{3} \ theta -3 \ cos \ theta, \ end {aligned}}}$

ja niin edelleen.

Kaksi välitöntä seurausta ovat koostumuksen identiteetti (tai puolijoukkoa määrittävä sisäkkäinen ominaisuus )

${\ displaystyle T_ {n} {\ big (} T_ {m} (x) {\ big)} = T_ {nm} (x) ~;}$

ja kompleksisen eksponentiaalin ilmaisu Chebyshevin polynomeissa: annettu z = a + bi ,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} z^{n} & = | z |^{n} \ left (\ cos \ left (n \ arccos {\ frac {a} {| z |}} \ right)+ i \ sin \ left (n \ arccos {\ frac {a} {| z |}} \ right) \ right) \\ & = | z |^{n} T_ {n} \ left ({\ frac {a } {| z |}} \ oikea)+ib | z |^{n-1} \ U_ {n-1} \ vasen ({\ frac {a} {| z |}} \ oikea) ~. \ end {kohdistettu}}}$

Pell -yhtälön määritelmä

Chebyshevin polynomi voidaan myös määritellä Pell -yhtälön ratkaisuksi

${\ displaystyle T_ {n} (x)^{2}-\ vasen (x^{2} -1 \ oikea) U_ {n-1} (x)^{2} = 1}$

renkaassa R [ x ] . Siten ne voidaan luoda vakiotekniikalla Pell -yhtälöille perusratkaisun valtuuksien ottamiseksi:

${\ displaystyle T_ {n} (x)+U_ {n-1} (x) \, {\ sqrt {x^{2} -1}} = \ left (x+{\ sqrt {x^{2}- 1}} \ oikea)^{n} ~.}$

Kahdenlaisia ​​Chebyshevin polynomeja koskevat suhteet

Chebyshev polynomi ensimmäisen ja toisen eri vastaavat täydentävä pari Lucas sekvenssien V _n ( P , Q ) ja x _n ( P , Q ), jossa parametrit P = 2 x ja Q = 1 :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tilde {U}} _ {n} (2x, 1) & = U_ {n-1} (x) ~, \\ {\ tilde {V}} _ {n } (2x, 1) & = 2 \, T_ {n} (x) ~. \ End {kohdistettu}}}$

Tästä seuraa, että ne täyttävät myös parin keskinäisen toistumisen yhtälöitä:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n+1} (x) & = x \, T_ {n} (x)-(1-x^{2}) \, U_ {n-1} (x ) ~, \\ U_ {n+1} (x) & = x \, U_ {n} (x)+T_ {n+1} (x) ~. \ End {kohdistettu}}}$

Ensimmäisen ja toisen tyypin Chebyshevin polynomeja yhdistävät myös seuraavat suhteet:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n} (x) & = {\ frac {1} {2}} {\ big (} U_ {n} (x) -U_ {n-2} (x) {\ iso)} ~. && \\ T_ {n} (x) & = U_ {n} (x) -x \, U_ {n-1} (x) ~. && \\ U_ {n} (x ) & = 2 \, \ summa _ {{\ teksti {pariton}} j}^{n} T_ {j} (x) && {\ teksti {pariton}} n ~. \\ U_ {n} (x ) & = 2 \, \ sum _ {{\ text {even}} j}^{n} T_ {j} (x) -1 && {\ text {for even}} n ~. \ End {aligned}}}$

Chebyshevin polynomien derivaatan toistumissuhde voidaan johtaa näistä suhteista:

${\ displaystyle 2 \, T_ {n} (x) = {\ frac {1} {n+1}} \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} T_ {n +1} (x)-{\ frac {1} {n-1}} \, {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} T_ {n-1} (x) \ qquad n = 2,3, \ pisteitä}$

Tätä suhdetta käytetään Chebyshevin spektrimenetelmässä differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Turánin eriarvoisuus Chebyshevin polynomeissa on

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n} (x)^{2} -T_ {n-1} (x) \, T_ {n+1} (x) & = 1-x^{2} > 0 && {\ teksti {for}}-1 <x <1 && {\ teksti {ja}} \\ U_ {n} (x)^{2} -U_ {n-1} (x) \, U_ {n +1} (x) & = 1> 0 ~. \ Loppu {tasattu}}}$

Integraaliset suhteet ovat

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {-1}^{1} {\ frac {T_ {n} (y)} {(yx) {\ sqrt {1-y^{2}}}} } \, \ mathrm {d} y & = \ pi \, U_ {n-1} (x) ~, \\\ int _ {-1}^{1} {\ frac {{\ sqrt {1-y^ {2}}} \, U_ {n-1} (y)} {yx}} \, \ mathrm {d} y & =-\ pi \, T_ {n} (x) \ end {aligned}}}$

jossa integraaleja pidetään pääarvona.

Selkeät ilmaisut

Erilaiset lähestymistavat Chebyshevin polynomien määrittämiseen johtavat erilaisiin ilmaisuihin, kuten:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n} (x) & = {\ begin {case} \ cos (n \ arccos x) \ qquad & {\ text {for}} ~ | x | \ leq 1 \ \\\ {\ dfrac {1} {2}} {\ bigg (} {\ Big (} x-{\ sqrt {x^{2} -1}} {\ Big)}^{n}+{\ Iso (} x+{\ sqrt {x^{2} -1}} {\ Big)}^{n} {\ bigg)} \ qquad ja {\ text {for}} ~ | x | \ geq 1 \\ \ end {tapaukset}} \\\\ & = {\ aloita {tapaukset} \ cos (n \ arccos x) \ qquad \ quad & {\ text {for}} ~ -1 \ leq x \ leq 1 \\\ \\ cosh (n \ operaattorinimi {arcosh} x) \ qquad \ quad & {\ text {for}} ~ 1 \ leq x \\\\ (-1)^{n} \ cosh {\ big (} n \ operaattorinimi {arcosh} (-x) {\ iso)} \ qquad \ quad & {\ text {for}} ~ x \ leq -1 \\\ end {tapauksissa}} \\\\\\ T_ {n} ( x) & = \ sum _ {k = 0}^{\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n} {2k}} \ left (x^{2 } -1 \ oikea)^{k} x^{n-2k} \\ & = x^{n} \ summa _ {k = 0}^{\ vasen \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ oikea \ rfloor} {\ binom {n} {2k}} \ vasen (1-x^{-2} \ oikea)^{k} \\ & = {\ frac {n} {2}} \ summa _ {k = 0}^{\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (-1)^{k} {\ frac {(nk-1)!} {k! (n -2k)!}} ~ (2x)^{n-2k} \ qquad \ qquad {\ text {for}} ~ n> 0 \\\\ & = n \ sum _ {k = 0}^{n} (-2)^{k} {\ frac {(n+k-1)!} {(Nk)! (2k)!}} (1-x)^{k} \ qquad \ qquad ~ {\ text { fo r}} ~ n> 0 \\\\ & = {} _ {2} F_ {1} \ vasen (-n, n; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2 }} (1-x) \ oikea) \\\ end {kohdistettu}}}$

käänteisellä

${\ displaystyle x^{n} = 2^{1-n} \ mathop {{\ sum} '} _ {j = 0 \ atop j \ equiv n {\ pmod {2}}}^{n} {\ binom {n} {\ tfrac {nj} {2}}} T_ {j} (x),}$

jossa alkupiste summasymbolissa osoittaa, että j = 0: n osuus on puolitettava, jos se näkyy.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} U_ {n} (x) & = {\ frac {\ left (x+{\ sqrt {x^{2} -1}} \ right)^{n+1}-\ vasen (x-{\ sqrt {x^{2} -1}} \ oikea)^{n+1}} {2 {\ sqrt {x^{2} -1}}}} \\ & = \ summa _ {k = 0}^{\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {n+1} {2k+1}} \ left (x^{2}- 1 \ oikea)^{k} x^{n-2k} \\ & = x^{n} \ summa _ {k = 0}^{\ vasen \ lattia {\ frac {n} {2}} \ oikea \ rfloor} {\ binom {n+1} {2k+1}} \ left (1-x^{-2} \ right)^{k} \\ & = \ sum _ {k = 0}^{\ vasen \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} {\ binom {2k- (n+1)} {k}} ~ (2x)^{n-2k} & {\ text {for }} ~ n> 0 \\ & = \ sum _ {k = 0}^{\ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor} (-1)^{k} {\ binom {nk} {k}} ~ (2x)^{n-2k} & {\ text {for}} ~ n> 0 \\ & = \ summa _ {k = 0}^{n} (-2)^ {k} {\ frac {(n+k+1)!} {{nk)! (2k+1)!}} (1-x)^{k} & {\ text {for}} ~ n> 0 \\ & = (n+1) \ {} _ {2} F_ {1} \ vasen (-n, n+2; {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {1} {2} } (1-x) \ oikea) \\\ loppu {tasattu}}}$

jossa ₂ F ₁ on hypergeometrinen funktio .

Ominaisuudet

Symmetria

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n} (-x) & = (-1)^{n} T_ {n} (x) = {\ begin {tapauksissa} T_ {n} (x) \ quad & ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \\\\-T_ {n} (x) \ quad & ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {outo }} \ loppu {tapaukset}} \\\\\\ U_ {n} (-x) & = (-1)^{n} U_ {n} (x) = {\ aloita {tapaukset} U_ {n} (x) \ quad & ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {even}} \\\\-U_ {n} (x) \ quad & ~ {\ text {for}} ~ n ~ {\ text {odd}} \ end {case}} \\\ end {aligned}}}$

Toisin sanoen parillisen tason Chebyshevin polynomeilla on tasasymmetria ja ne sisältävät vain parillisia x: n voimia . Parittoman järjestyksen Chebyshevin polynomeilla on pariton symmetria ja ne sisältävät vain x: n parittomia voimia .

Juuret ja ääriliikkeet

Kummankin tyyppisellä Chebyshevin polynomilla, jonka aste on n, on n eri yksinkertaista juurta, joita kutsutaan Chebyshevin juuriksi , aikavälillä [−1, 1] . Ensimmäisen tyyppisen Chebyshev -polynomin juuria kutsutaan joskus Chebyshev -solmuiksi, koska niitä käytetään solmuina polynomi -interpoloinnissa. Käyttämällä trigonometristä määritelmää ja sitä, että

${\ displaystyle \ cos \ left ((2k+1) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 0}$

voidaan osoittaa, että juuret T _n ovat

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {\ pi (k+1/2)} {n}} \ right), \ quad k = 0, \ ldots, n-1.}$

Samoin U _{n: n} juuret ovat

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k} {n+1}} \ pi \ right), \ quad k = 1, \ ldots, n.}$

Ääriarvot on T _n on välillä -1 ≤ x ≤ 1 sijaitsevat

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {k} {n}} \ pi \ right), \ quad k = 0, \ ldots, n.}$

Yksi ensimmäisen tyyppisten Chebyshev -polynomien ainutlaatuinen ominaisuus on, että aikavälillä −1 ≤ x ≤ 1 kaikilla ääripäillä on arvot, jotka ovat joko -1 tai 1. Näin ollen näillä polynoomeilla on vain kaksi äärellistä kriittistä arvoa . Shabatin polynomit . Sekä ensimmäisessä että toisessa Chebyshev -polynomin tyypissä on päätepisteissä ääripää, jonka antavat:

${\ displaystyle T_ {n} (1) = 1}$

${\ displaystyle T_ {n} (-1) = (-1)^{n}}$

${\ displaystyle U_ {n} (1) = n+1}$

${\ displaystyle U_ {n} (-1) = (-1)^{n} \, (n+1) ~.}$

Eriyttäminen ja integraatio

Polynomien johdannaiset voivat olla vähemmän kuin yksinkertaisia. Erottamalla polynomit niiden trigonometrisissä muodoissa voidaan osoittaa, että:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} T_ {n}} {\ mathrm {d} x}} & = nU_ {n-1} \\ {\ frac {\ mathrm {d } U_ {n}} {\ mathrm {d} x}} & = {\ frac {(n+1) T_ {n+1} -xU_ {n}} {x^{2} -1}} \\ {\ frac {\ mathrm {d} ^{2} T_ {n}} {\ mathrm {d} x ^{2}}} & = n {\ frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x^{2} -1}} = n {\ frac {(n+1) T_ {n} -U_ {n}} {x^{2} -1}}. \ end {aligned}}}$

Kaksi viimeistä kaavaa voivat olla numeerisesti hankalia, koska ne jaetaan nollalla (0/0 määrittämätön muoto , erityisesti) kohdissa x = 1 ja x = −1 . Voidaan osoittaa, että:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left. {\ frac {\ mathrm {d} ^{2} T_ {n}} {\ mathrm {d} x ^{2}}} \ oikea | _ {x = 1} \! \! & = {\ Frac {n^{4} -n^{2}} {3}}, \\\ vasen. {\ Frac {\ mathrm {d}^{2} T_ {n }} {\ mathrm {d} x^{2}}} \ oikea | _ {x = -1} \! \! & = (-1)^{n} {\ frac {n^{4} -n ^{2}} {3}}. \ Loppu {tasattu}}}$

Yleisempi kaava sanoo:

${\ displaystyle \ vasen. {\ frac {d^{p} T_ {n}} {dx^{p}}} \ oikea | _ {x = \ pm 1} \! \! = (\ pm 1)^ {n+p} \ prod _ {k = 0}^{p-1} {\ frac {n^{2} -k^{2}} {2k+1}} ~,}$

josta on suurta hyötyä ominaisarvoon liittyvien ongelmien numeerisessa ratkaisussa.

Lisäksi meillä on

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}^{p}} {\ mathrm {d} x^{p}}} T_ {n} (x) = 2^{p} \, n \ mathop {{ \ sum} '} _ {0 \ leq k \ leq np \ atop k \ equiv np {\ pmod {2}}} {\ binom {{\ frac {n+pk} {2}}-1} {\ frac {npk} {2}}} {\ frac {\ vasen ({\ frac {n+p+k} {2}}-1 \ oikea)!} {\ vasen ({\ frac {n-p+k} {2}} \ oikea)!}} \, T_ {k} (x) ~, \ qquad p \ geq 1 ~,}$

jossa alkupiste summasymboleissa tarkoittaa, että termi k = 0 on puolitettava, jos se esiintyy.

Koskevat integraatio, ensimmäinen derivaatta T _n merkitsee sitä, että

${\ displaystyle \ int U_ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {T_ {n+1}} {n+1}}}$

ja johdannaisia ​​sisältävien ensimmäisen tyyppisten polynomien toistosuhde vahvistaa, että n ≥ 2

${\ displaystyle \ int T_ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {T_ {n+1}} {n+1}} -{\ frac {T_ {n-1}} {n-1}} oikea) = {\ frac {n \, T_ {n+1}} {n^{2} -1}}-{\ frac {x \, T_ {n}} {n-1}} ~.}$

Viimeinen kaava voidaan lisäksi manipuloida ilmaista integraali T _n funktiona Chebyshev polynomi ensimmäisen lajin vain:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int T_ {n} \, \ mathrm {d} x & = {\ frac {n} {n^{2} -1}} T_ {n+1}-{\ frac {1} {n-1}} T_ {1} T_ {n} \\ & = {\ frac {n} {n^{2} -1}} \, T_ {n+1}-{\ frac { 1} {2 (n-1)}} \, (T_ {n+1}+T_ {n-1}) \\ & = {\ frac {1} {2 (n+1)}} \, T_ {n+1}-{\ frac {1} {2 (n-1)}} \, T_ {n-1} ~. \ end {aligned}}}$

Lisäksi meillä on

${\ displaystyle \ int _ {-1}^{1} T_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ begin {case} {\ frac {(-1)^{n} +1 } {1-n^{2}}} & {\ text {if}} ~ n \ neq 1 \\ 0 & {\ text {if}} ~ n = 1 \ end {tapauksissa}} ~.}$

Chebyshevin polynomien tuotteet

Chebyshevin polynomien kanssa työskennellessä esiintyy usein kahden niistä tuotteita. Nämä tuotteet voidaan pienentää yhdistelmiksi Chebyshevin polynomeista, joilla on alempi tai korkeampi aste, ja lopputulokset tuotteesta on helpompi tehdä. Oletetaan, että seuraavassa indeksi m on suurempi tai yhtä suuri kuin indeksi n ja n ei ole negatiivinen. Ensimmäisen tyyppisten Chebyshevin polynomien osalta tuote laajenee

${\ displaystyle 2T_ {m} (x) T_ {n} (x) = T_ {m+n} (x)+T_ {| mn |} (x)}$

joka on analogia lisäyslauseelle

${\ displaystyle 2 \ cos \ alpha \, \ cos \ beta = \ cos (\ alpha +\ beta) +\ cos (\ alfa -\ beta)}$

identiteettien kanssa

${\ displaystyle \ alpha \ equiv m \ arccos x \ quad {\ text {and}} \ quad \ beta \ equiv n \ arccos x ~.}$

Jos n = 1, tuloksena on jo tunnettu toistumiskaava, joka on vain järjestetty eri tavalla, ja kun n = 2, se muodostaa toistosuhteen kaikille parillisille tai kaikille parittomille Chebyshev -polynomeille (riippuen alimman m : n pariteetista ), mikä mahdollistaa toimintojen suunnittelun määrätyillä symmetriaominaisuuksilla. Tästä tuotelaajennuksesta voidaan päätellä kolme muuta hyödyllistä kaavaa Chebyshevin polynomien arvioimiseksi:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {2n} (x) & = 2 \, T_ {n}^{2} (x) -T_ {0} (x) && = 2T_ {n}^{2} (x) -1 \\ T_ {2n+1} (x) & = 2 \, T_ {n+1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) && = 2 \, T_ {n+1} (x) \, T_ {n} (x) -x \\ T_ {2n-1} (x) & = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -T_ {1} (x) && = 2 \, T_ {n-1} (x) \, T_ {n} (x) -x \ end {aligned}}}$

Toisen tyyppisille Chebyshevin polynomeille tuotteet voidaan kirjoittaa seuraavasti:

${\ displaystyle U_ {m} (x) \, U_ {n} (x) = \ summa _ {k = 0}^{n} \, U_ {m-n+2k} (x) = \ summa _ { \ underet {\ text {step 2}} {p = mn}}^{m+n} U_ {p} (x) ~.}$

ja m ≥ n .

Tällä tavoin, kuten edellä, n = 2, toisentyyppisten Chebyshevin polynomien toistumiskaava pienentää molempien symmetriatyyppien

${\ displaystyle U_ {m+2} (x) = U_ {2} (x) \, U_ {m} (x) -U_ {m} (x) -U_ {m-2} (x) = U_ { m} (x) \, {\ iso (} U_ {2} (x) -1 {\ iso)}-U_ {m-2} (x) ~,}$

riippuen siitä, alkaako m 2: lla vai 3: lla.

Ortogonaalisuus

Sekä T _n ja U: _n sekvenssin muodostamiseksi ortogonaaliset polynomit . Polynomien ensimmäisen lajin T _n ovat ortogonaalisia suhteessa painoon

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x^{2}}}} ~,}$

aikavälillä [−1, 1] , eli meillä on:

${\ displaystyle \ int _ {-1}^{1} T_ {n} (x) \, T_ {m} (x) \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-x ^{2}}}} = {\ aloita {tapaukset} 0 & ~ {\ teksti {if}} ~ n \ neq m ~, \\\\\ pi & ~ {\ text {if}} ~ n = m = 0 ~, \\\\ {\ frac {\ pi} {2}} & ~ {\ text {if}} ~ n = m \ neq 0 ~. \ End {tapaukset}}}$

Tämä voidaan todistaa antamalla x = cos θ ja käyttämällä määrittävää identiteettiä T _n (cos θ ) = cos nθ .

Samoin polynomit toisen lajin U _n ovat ortogonaalisia suhteessa painoon

${\ displaystyle {\ sqrt {1-x^{2}}}}$

aikavälillä [−1, 1] , eli meillä on:

${\ displaystyle \ int _ {-1}^{1} U_ {n} (x) \, U_ {m} (x) \, {\ sqrt {1-x^{2}}} \, \ mathrm { d} x = {\ aloita {tapaukset 0 & ~ {\ teksti {if}} ~ n \ neq m ~, \\ {\ frac {\ pi} {2}} & ~ {\ text {if}} ~ n = m ~. \ end {tapaukset}}}$

(Mitta √ 1 - x ² d x on normalisointivakion sisällä Wignerin puoliympyrän jakauma .)

T _n lisäksi täytettävä erillinen orthogonality ehto:

${\ displaystyle \ summa _ {k = 0}^{N-1} {T_ {i} (x_ {k}) \, T_ {j} (x_ {k})} = {\ aloita {tapaukset} 0 & ~ {\ text {if}} ~ i \ neq j ~, \\ N & ~ {\ text {if}} ~ i = j = 0 ~, \\ {\ frac {N} {2}} & ~ {\ text {if}} ~ i = j \ neq 0 ~, \ end {tapaukset}}$

jossa N on mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin max ( i , j ) , ja x _k ovat T _N ( x ) : n N Chebyshev -solmut (katso edellä ) :

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left (\ pi \, {\ frac {2k+1} {2N}} \ right) \ quad ~ {\ text {for}} ~ k = 0,1, \ pisteitä, N-1 ~.}$

Toisenlaisia ​​polynomeja ja kaikkia kokonaislukuja N > i + j, joilla on samat Chebyshev -solmut x _k , on samanlaisia ​​summia:

${\ displaystyle \ summa _ {k = 0}^{N-1} {U_ {i} (x_ {k}) \, U_ {j} (x_ {k}) \ vasen (1-x_ {k}^ {2} \ right)} = = {\ aloita {tapaukset} 0 ja {\ teksti {if}} ~ i \ neq j ~, \\ {\ frac {N} {2}} ja {\ teksti {if}} ~ i = j ~, \ end {tapaukset}}}$

ja ilman painotoimintoa:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{N-1} {U_ {i} (x_ {k}) \, U_ {j} (x_ {k})} = {\ aloita {tapaukset} 0 & ~ {\ text {if}} ~ i \ not \ equiv j {\ pmod {2}} ~, \\ N \ cdot (1+ \ min \ {i, j \}) & ~ {\ text {if}} ~ i \ equiv j {\ pmod {2}} ~. \ end {tapaukset}}$

Kaikille kokonaisluvuille N > i + j , jotka perustuvat U _N ( x ) N -nollaan :

${\ displaystyle y_ {k} = \ cos \ left (\ pi \, {\ frac {k+1} {N+1}} \ right) \ quad ~ {\ text {for}} ~ k = 0,1 , \ pisteitä, N-1 ~,}$

voi saada summan:

${\ displaystyle \ summa _ {k = 0}^{N-1} {U_ {i} (y_ {k}) \, U_ {j} (y_ {k}) (1-y_ {k}^{2 })} = {\ aloita {tapaukset 0 & ~ {\ text {if}} i \ neq j ~, \\ {\ frac {N+1} {2}} & ~ {\ text {if}} i = j ~, \ end {tapaukset}}$

ja jälleen ilman painotoimintoa:

${\ displaystyle \ summa _ {k = 0}^{N-1} {U_ {i} (y_ {k}) \, U_ {j} (y_ {k})} = {\ aloita {tapaukset} 0 & ~ {\ text {if}} ~ i \ not \ equiv j {\ pmod {2}} ~, \\ {\ bigl (} \ min \ {i, j \}+1 {\ bigr)} {\ bigl ( } N- \ max \ {i, j \} {\ bigr)} & ~ {\ text {if}} ~ i \ equiv j {\ pmod {2}} ~. \ End {tapauksissa}}}$

Minimaalinen ∞ -norm

Mille tahansa n ≥ 1 , asteen n polynomien joukosta, joilla on johtava kerroin 1 ( monipolynoomit ),

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\, 2^{n-1} \,}} \, T_ {n} (x)}$

on se, jonka välin [−1, 1] suurin absoluuttinen arvo on minimaalinen.

Tämä suurin absoluuttinen arvo on

${\ displaystyle {\ frac {1} {2^{n-1}}}}$

ja | f ( x ) | saavuttaa tämän maksimin täsmälleen n + 1 kertaa

${\ displaystyle x = \ cos {\ frac {k \ pi} {n}} \ quad {\ text {for}} 0 \ leq k \ leq n.}$

Huomautus

Jonka Equioscillation lause , joukossa kaikki polynomit aste ≤ n , polynomi f minimoi || f || _∞ päällä [−1,1] silloin ja vain, jos on n + 2 pistettä −1 ≤ x ₀ < x ₁ <⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 siten, että | f ( x _i ) | = || f || _∞ .

Tietenkin välin [−1,1] nollapolynomi voidaan lähestyä itsestään ja minimoida ∞ -normaali.

Yllä kuitenkin | f | saavuttaa maksiminsa vain n + 1 kertaa, koska etsimme parasta asteen n ≥ 1 polynomia (siksi aiemmin esitettyä teoriaa ei voida käyttää).

Muut ominaisuudet

Chebyshevin polynomit ovat erikoistapaus ultrasfäärisistä tai Gegenbauer -polynomeista , jotka itsessään ovat Jacobin polynomien erityistapaus :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {n} (x) & = {\ frac {n} {2}} \ lim _ {q \ to 0} {\ frac {1} {q}} \, C_ {n}^{(q)} (x) \ qquad ~ {\ text {if}} ~ n \ geq 1 ~, \\\\ U_ {n} (x) & = {\ frac {n+1} {\ binom {n+{\ frac {1} {2}}} {n}}} P_ {n}^{\ vasen ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2} } \ oikea)} (x) = {\ frac {n+1} {\ binom {n+{\ frac {1} {2}}} {n}}} C_ {n}^{(1)} (x ) ~. \ loppu {tasattu}}}$

Jokainen positiivinen kokonaisluku n , T _n ( x ) ja U _n ( x ) ovat molemmat asteluku on n . Ne ovat parillinen tai pariton toiminnot on x , kuten n on parillinen tai pariton, niin silloin, kun kirjoitetaan polynomit x , se vain on parillinen tai pariton asteen termejä vastaavasti. Itse asiassa,

${\ displaystyle T_ {2n} (x) = T_ {n} \ left (2x^{2} -1 \ right) = 2T_ {n} (x)^{2} -1}$

ja

${\ displaystyle 2xU_ {n} \ left (1-2x^{2} \ right) = (-1)^{n} \, U_ {2n+1} (x) ~.}$

Johtava kerroin on T _n on 2 ^{n - 1} , jos 1 ≤ n , mutta 1, jos 0 = n .

T _n ovat Lissajous -käyrien erityistapaus,jonka taajuussuhde on n .

Useat polynomisekvenssit, kuten Lucasin polynomi ( L _n ), Dicksonin polynomi ( D _n ), Fibonaccin polynomi ( F _n ), liittyvät Chebyshevin polynomeihin T _n ja U _n .

Ensimmäisen tyyppiset Chebyshevin polynomit täyttävät suhteen

${\ displaystyle T_ {j} (x) \, T_ {k} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ left (T_ {j+k} (x)+T_ {| kj |} ( x) \ oikea) \ ,, \ qquad \ forall j, k \ geq 0 ~,}$

joka on helposti todistettavissa kosinin tuote-summa-kaavasta . Toisen tyyppiset polynomit täyttävät samanlaisen suhteen

${\ displaystyle T_ {j} (x) \, U_ {k} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2}} \ left (U_ {j+k} (x)+U_ {kj} (x) \ oikea), & ~ {\ teksti {if}} ~ k \ geq j-1 ~, \\\\ {\ frac {1} {2}} \ vasen (U_ {j+k } (x) -U_ {jk-2} (x) \ oikea), & ~ {\ teksti {if}} ~ k \ leq j-2 ~. \ end {tapaukset}}}$

(määritelmän mukaan U ₋₁ ≡ 0 sopimuksen mukaan).

Samanlainen kuin kaava

${\ displaystyle T_ {n} (\ cos \ theta) = \ cos (n \ theta) ~,}$

meillä on vastaava kaava

${\ displaystyle T_ {2n+1} (\ sin \ theta) = (-1)^{n} \ sin \ left (\ left (2n+1 \ right) \ theta \ right).}$

For X ≠ 0 ,

${\ displaystyle T_ {n} \! \ left ({\ frac {x+x^{-1}} {2}} \ right) = {\ frac {x^{n}+x^{-n}} {2}}}$

ja

${\ displaystyle x^{n} = T_ {n} \! \! \ vasen ({\ frac {x+x^{-1}} {2}} \ oikea)+{\ frac {xx^{-1 }} {2}} \ U_ {n-1} \! \! \ Vasen ({\ frac {x+x^{-1}} {2}} \ oikea),}$

mikä johtuu siitä, että tämä pätee määritelmän mukaan x = e ^iθ .

Määritellä

${\ displaystyle C_ {n} (x) \ equiv 2 \, T_ {n} \ vasen ({\ frac {x} {2}} \ oikea).}$

Sitten C _n ( x ) ja C _m ( x ) ovat työmatkapolynomeja:

${\ displaystyle C_ {n} {\ bigl (} C_ {m} (x) {\ bigr)} = C_ {m} {\ bigl (} C_ {n} (x) {\ bigr)} ~,}$

kuten käy ilmi edellä määritellystä Abelin pesimäominaisuudesta .

Yleistetyt Chebyshevin polynomit

Yleistetty Chebyshev polynomit T määritellään

${\ displaystyle T_ {a} (\ cos x) = {} _ {2} F_ {1} \ left (a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2 }} (1- \ cos x) \ oikea) = \ cos ax \ ,, \ qquad x \ in (-\ pi, \ pi) ~,}$

jossa a ei ole välttämättä kokonaisluku ja ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) on Gaussin hypergeometrinen funktio ; esimerkkinä , . Power -sarjan laajennus ${\ texttyle T_ {1/2} (x) = {\ sqrt {\ frac {1+x} {2}}}}$

${\ displaystyle T_ {a} (x) = \ cos \ vasen ({\ frac {\ pi a} {2}} \ oikea)+a \ summa _ {j \ geq 1} {\ frac {(2x)^ {j}} {2j}} \, \ cos \ vasen ({\ frac {\ pi \, (aj)} {2}} \ oikea) \, {\ binom {\ frac {a+j-2} { 2}} {j-1}}}$

yhtyy .${\ displaystyle x \ in [-1,1]}$

Esimerkkejä

Ensimmäinen laji

Ensimmäiset ensimmäiset Chebyshevin polynomit ovat OEIS :  A028297

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T_ {0} (x) & = 1 \\ T_ {1} (x) & = x \\ T_ {2} (x) & = 2x^{2} -1 \ \ T_ {3} (x) & = 4x^{3} -3x \\ T_ {4} (x) & = 8x^{4} -8x^{2} +1 \\ T_ {5} (x) & = 16x^{5} -20x^{3}+5x \\ T_ {6} (x) & = 32x^{6} -48x^{4}+18x^{2} -1 \\ T_ {7 } (x) & = 64x^{7} -112x^{5}+56x^{3} -7x \\ T_ {8} (x) & = 128x^{8} -256x^{6}+160x^ {4} -32x^{2} +1 \\ T_ {9} (x) & = 256x^{9} -576x^{7}+432x^{5} -120x^{3}+9x \\ T_ {10} (x) & = 512x^{10} -1280x^{8}+1120x^{6} -400x^{4}+50x^{2} -1 \\ T_ {11} (x) & = 1024x^{11} -2816x^{9}+2816x^{7} -1232x^{5}+220x^{3} -11x \ end {aligned}}}$

Toinen laji

Ensimmäiset toisen tyyppiset Chebyshevin polynomit ovat OEIS :  A053117

${\ displaystyle {\ begin {aligned} U_ {0} (x) & = 1 \\ U_ {1} (x) & = 2x \\ U_ {2} (x) & = 4x^{2} -1 \ \ U_ {3} (x) & = 8x^{3} -4x \\ U_ {4} (x) & = 16x^{4} -12x^{2} +1 \\ U_ {5} (x) & = 32x^{5} -32x^{3}+6x \\ U_ {6} (x) & = 64x^{6} -80x^{4}+24x^{2} -1 \\ U_ {7 } (x) & = 128x^{7} -192x^{5}+80x^{3} -8x \\ U_ {8} (x) & = 256x^{8} -448x^{6}+240x^ {4} -40x^{2} +1 \\ U_ {9} (x) & = 512x^{9} -1024x^{7}+672x^{5} -160x^{3}+10x \ end { kohdistettu}}}$

Perusasetuksena

Sopivassa Sobolev tila , joukko Chebyshev polynomeja muodostaa ortonormaali kanta , niin että toimivat samassa tilassa voi, on -1 ≤ x ≤ 1 ekspressoida laajennus:

${\ displaystyle f (x) = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} T_ {n} (x).}$

Lisäksi, kuten aiemmin mainittiin, Chebyshevin polynomi muodostaa ortogonaalisen perustan, joka (muun muassa) merkitsee sitä, että kertoimet a _n voidaan määrittää helposti käyttämällä sisäistä tuotetta . Tätä summaa kutsutaan Chebyshev -sarjaksi tai Chebyshev -laajennukseksi .

Koska Chebyshev -sarja liittyy Fourier -kosinisarjaan muuttujien muutoksen kautta, kaikilla Fourier -sarjaa koskevilla lauseilla, identiteeteillä jne. On Chebyshev -vastine. Näitä ominaisuuksia ovat:

• Chebyshevin polynomi muodostaa täydellisen ortogonaalisen järjestelmän.
• Chebyshev -sarja muuttuu f ( x ): ksi, jos toiminto on kappaleittain sileä ja jatkuva . Sileysvaatimusta voidaan lieventää useimmissa tapauksissa - niin kauan kuin f ( x ): ssä ja sen johdannaisissa on rajallinen määrä keskeytyksiä .
• Epäjatkuvuudessa sarja lähenee oikean ja vasemman rajan keskiarvoa.

Fourier -sarjasta perittyjen teoreemien ja identiteettien runsaus tekee Chebyshevin polynomeista tärkeitä työkaluja numeerisessa analyysissä ; ne ovat esimerkiksi suosituimpia yleiskäyttöisiä perustoimintoja, joita käytetään spektrimenetelmässä , usein trigonometristen sarjojen hyväksi, koska jatkuvien funktioiden yleisesti lähentyminen on nopeampaa ( Gibbsin ilmiö on edelleen ongelma).

Esimerkki 1

Harkitse lokin Chebyshev -laajennusta (1 + x ) . Voidaan ilmaista

${\ displaystyle \ log (1+x) = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}$

Kertoimet a _n voidaan löytää joko käyttämällä sisäistä tuotetta tai erillistä ortogonaalisuutta. Sisäisen tuotteen osalta

${\ displaystyle \ int _ {-1}^{+1} \, {\ frac {T_ {m} (x) \, \ log (1+x)} {\ sqrt {1-x^{2}} }} \, \ mathrm {d} x = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} \ int _ {-1}^{+1} {\ frac {T_ {m} (x ) \, T_ {n} (x)} {\ sqrt {1-x^{2}}}} \, \ mathrm {d} x ~,}$

joka antaa

${\ displaystyle a_ {n} = {\ aloita {tapaukset}-\ loki 2 & {\ teksti {for}} ~ n = 0 ~, \\ {\ frac {-2 (-1)^{n}} {n }} & {\ text {for}} ~ n> 0 ~. \ end {tapaukset}}}$

Vaihtoehtoisesti, kun arvioitavan funktion sisäistä tuloa ei voida arvioida, diskreetti ortogonaalisuusehto antaa usein hyödyllisen tuloksen likimääräisille kertoimille,

${\ displaystyle a_ {n} \ noin {\ frac {\, 2- \ delta _ {0n} \,} {N}} \, \ summa _ {k = 0}^{N-1} T_ {n} (x_ {k}) \, \ log (1+x_ {k}) ~,}$

jossa δ _ij on Kroneckerin delta -funktio ja x _k ovat N Gauss – Chebyshev -nollia T _N ( x ) :

${\ displaystyle x_ {k} = \ cos \ left ({\ frac {\ pi \ left (k+{\ tfrac {1} {2}} \ right)} {N}} \ right).}$

Mille tahansa N : lle nämä likimääräiset kertoimet antavat tarkan likimääräisen arvon x _k: n funktiolle, jossa on hallittu virhe näiden pisteiden välillä. Tarkat kertoimet saadaan, kun N = ∞ , mikä edustaa funktiota tarkasti kaikissa [−1,1]: n kohdissa . Lähentymisnopeus riippuu toiminnosta ja sen sujuvuudesta.

Tämän avulla voimme laskea likimääräiset kertoimet a _n erittäin tehokkaasti diskreetin kosinimuunnoksen avulla

${\ displaystyle a_ {n} \ noin {\ frac {2- \ delta _ {0n}} {N}} \ summa _ {k = 0}^{N-1} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi \ vasen (\, k+{\ tfrac {1} {2}} \ oikea)} {N}} \ oikea) \ log (1+x_ {k}) ~.}$

Esimerkki 2

Toinen esimerkki:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} (1-x^{2})^{\ alpha} & ~ = ~-{\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \, {\ frac {\ Gamma \ vasen ({\ tfrac {1} {2}}+\ alfa \ oikea)} {\ Gamma (\ alfa +1)}}+2^{1-2 \ alpha} \, \ summa _ {n = 0} (-1)^{n} \, {2 \ alpha \ select \ alpha -n} \, T_ {2n} (x) \\ & ~ = ~ 2^{-2 \ alpha} \, \ summa _ {n = 0} ( -1)^{n} \, {2 \ alpha +1 \ select \ alpha -n} \, U_ {2n} (x) ~. \ end {aligned}}}$

Osittaisia ​​summia

Osasummat

${\ displaystyle f (x) = \ summa _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} T_ {n} (x)}$

ovat erittäin hyödyllisiä eri toimintojen lähentämisessä ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa (katso spektrimenetelmä ). Kaksi yleistä menetelmää kertoimien a _n määrittämiseksi on käyttää sisäistä tuotetta kuten Galerkinin menetelmässä ja käyttämällä kollokatiota, joka liittyy interpolointiin .

Interpolantina ( N - 1) osasumman N -kertoimet saadaan yleensä Chebyshev – Gauss – Lobatto -pisteistä (tai Lobatto -ruudukosta), mikä johtaa vähimmäisvirheeseen ja välttää Rungen ilmiön, joka liittyy yhtenäiseen verkkoon. Tämä pisteiden kokoelma vastaa summan korkeimman kertaluvun polynomin ääripäätä ja päätepisteet, ja sen antaa:

${\ displaystyle x_ {k} =-\ cos \ left ({\ frac {k \ pi} {N-1}} \ right) \,; \ qquad k = 0,1, \ pisteitä, N-1 ~. }$

Polynomi Chebyshevin muodossa

Mielivaltainen asteen N polynomi voidaan kirjoittaa ensimmäisen tyyppisten Chebyshev -polynomien muodossa. Tällainen polynomi p ( x ) on muotoa

${\ displaystyle p (x) = \ summa _ {n = 0}^{N} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}$

Tšebyshev -muotoisia polynomeja voidaan arvioida Clenshaw -algoritmin avulla .

Siirtynyt Chebyshevin polynomi

Ensimmäisen tyyppiset siirretyt Chebyshevin polynomit määritellään

${\ displaystyle T_ {n}^{*} (x) = T_ {n} (2x-1) ~.}$

Kun Chebyshev -polynomin argumentti on alueella 2 x - 1 ∈ [−1, 1] , siirretyn Chebyshev -polynomin argumentti on x ∈ [0, 1] . Samoin voidaan määrittää siirrettyjä polynomeja yleisille aikaväleille [ a , b ] .

Katso myös

• Chebyshevin suodatin
• Chebyshevin kuution juuri
• Dicksonin polynomeja
• Legendaarisia polynomeja
• Hermiitin polynomit
• Minimi polynomi 2cos (2pi/n)
• Romanovskin polynomi
• Chebyshevin rationaaliset toiminnot
• Lähestymisteoria
• Chebfun -järjestelmä
• Erillinen Chebyshev -muunnos
• Markovin veljien eriarvoisuus

Viitteet

Lähteet

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , toim. (1983) [kesäkuu 1964]. "Luku 22" . Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavojen, kaavioiden ja matemaattisten taulukoiden kanssa . Sovelletun matematiikan sarja. 55 (yhdeksäs uusintapainos, jossa on lisäkorjauksia kymmenennestä alkuperäisestä painoksesta ja korjaukset (joulukuu 1972); ensimmäinen toim.). Washington DC; New York: Yhdysvaltain kauppaministeriö, National Bureau of Standards; Doverin julkaisut. s. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Dette, Holger (1995). "Huomautus eräistä erikoisista epälineaarisista äärimmäisistä ilmiöistä Chebyshevin polynomeissa". Edinburghin matemaattisen seuran julkaisut . 38 (2): 343–355. arXiv : matematiikka/9406222 . doi : 10.1017/S001309150001912X . S2CID  16703489 .
• Elliott, David (1964). "Funktion Chebyshev -sarjan laajennuksen kertoimien arviointi ja arviointi" . Matematiikka. Comp . 18 (86): 274–284. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166903-7 . MR  0166903 .
• Eremenko, A .; Lempert, L. (1994). "Äärimmäinen ongelma polynomeille" (PDF) . American Mathematical Societyn julkaisut . 122 (1): 191–193. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1207536-1 . MR  1207536 .
• Hernandez, MA (2001). "Chebyshevin likimääräiset algoritmit ja sovellukset" . Comp. Matematiikka. Sovellukset . 41 (3–4): 433–445. doi : 10.1016/s0898-1221 (00) 00286-8 .
• Mason, JC (1984). "Jotkut Chebyshevin polynomin ominaisuudet ja sovellukset ja järkevä lähentäminen". Järkevä lähentäminen ja interpolointi . Luennon muistiinpanoja matematiikassa. 1105 . s. 27–48. doi : 10.1007/BFb0072398 . ISBN 978-3-540-13899-0.
• Mason, JC; Handscomb, DC (2002). Chebyshev Polynomials . Taylor & Francis.
• Mathar, RJ (2006). "Käänteisten polynomien Chebyshev -sarjan laajennus". J. Comput. Appl. Matematiikka . 196 (2): 596–607. arXiv : matematiikka/0403344 . Bibcode : 2006JCoAM.196..596M . doi : 10.1016/j.cam.2005.10.013 . S2CID  16476052 .
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , julkaisussa Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (toim.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Remes, Eugene. "Chebyshev Polynomialsin äärimmäisestä omaisuudesta" (PDF) .
• Salzer, Herbert E. (1976). "Muuntaa interpolointisarjat Chebyshev -sarjoiksi toistoskaavoilla" . Matematiikka. Comp . 30 (134): 295–302. doi : 10.1090/S0025-5718-1976-0395159-3 . MR  0395159 .
• Scraton, RE (1969). "Integraaliyhtälöiden ratkaisu Chebyshev -sarjassa" . Matematiikka. Tietokone . 23 (108): 837–844. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0260224-4 . MR  0260224 .
• Smith, Lyle B. (1966). "Chebyshev -sarjan kertoimien laskeminen". Comm. ACM . 9 (2): 86–87. doi : 10.1145/365170.365195 . S2CID  8876563 . Algoritmi 277.
• Suetin, PK (2001) [1994], "Chebyshevin polynomi" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Ulkoiset linkit

• Mediat, jotka liittyvät Chebyshevin polynomeihin Wikimedia Commonsissa
• Weisstein, Eric W. "Chebyshevin ensimmäisen luokan polynomi [t]" . MathWorld .
• Mathews, John H. (2003). "Moduuli Chebyshevin polynomeille" . Matematiikan laitos. Kurssimuistiinpanoja matematiikka 340: lle Numeerinen analyysi ja matematiikka 440 Advanced Numerical Analysis . Fullerton, Kalifornia: Kalifornian osavaltion yliopisto. Arkistoitu alkuperäisestä 29. toukokuuta 2007 . Haettu 17. elokuuta 2020 .
• "Chebyshevin interpolointi: interaktiivinen kiertue" . Amerikan matemaattinen yhdistys (MAA)- sisältää havainnollistavan Java -sovelman .
• "Numeerinen tietojenkäsittely ja toiminnot" . Chebfun -projekti .
• "Onko Chebyshevin polynomien äärimmäiselle ominaisuudelle intuitiivinen selitys?" . Matematiikan ylivuoto . Kysymys 25534.
• "Chebyshevin polynomi -arviointi ja Chebyshev -muunnos" . Tehosta . Matematiikka.