Johdonmukainen kaksinaisuus - Coherent duality

Matematiikassa koherentti kaksinaisuus on mikä tahansa useista Serre-kaksinaisuuden yleistyksistä , jota sovelletaan koherentteihin kiiltoihin , algebrallisessa geometriassa ja monimutkaisessa monikerroteoriassa , samoin kuin joitain kommutatiivisen algebran näkökohtia, jotka ovat osa 'paikallista' teoriaa.

Historiallisia juuria teorian hajallaan ajatus adjungoitu lineaarinen järjestelmä on lineaarinen järjestelmän divisors klassisen algebrallinen geometria. Tämä oli uudelleen ilmaisi, kynnyksellä nippu teoria , tavalla, joka teki vastaavasti Poincarén kaksinaisuus selvemmin. Sitten yleisen periaatteen, Grothendieckin suhteellisen näkökulman mukaan , Jean-Pierre Serren teoria laajennettiin oikeaan morfismiin ; Serre-kaksinaisuus otettiin talteen ei-yksikön projektiivisen lajikkeen (tai täydellisen lajikkeen ) morfismina pisteeseen. Tuloksena olevaa teoriaa kutsutaan nyt joskus Serre – Grothendieck – Verdier-kaksinaisuudeksi , ja se on algebrallisen geometrian perustyökalu. Robin Hartshornen tämän teorian, jäännökset ja kaksinaisuus (1966), käsitteestä tuli referenssi. Yksi konkreettinen spin-off oli Grothendieck-jäännös .

Oikeiden morfismien ylittäminen, kuten Poincarén kaksinaisuuden versioissa, jotka eivät ole suljettuja pakosarjoja varten , vaatii jonkin verran kompaktia tukikonseptia. Tätä käsiteltiin SGA2 : ssa paikallisen kohomologian ja Grothendieckin paikallisen kaksinaisuuden kannalta ; ja myöhemmin. Greenlees-toukokuun kaksinaisuus , muotoiltiin ensimmäisen kerran vuonna 1976 Ralf Strebel ja vuonna 1978 Eben Matlis , on osa jatkuvaa huomiota tämän alueen.

Viereisen toimijan näkökulma

Kuvan toiminnot hyllyille
suora kuva f ∗
käänteiskuva f ∗
suora kuva kompaktilla tuella f !
poikkeuksellinen käänteiskuva Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ vasen nuoli f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ vasen nuoli (R) f ^ {!}}$
Perusmuutoslauseet
v t e

Vaikka Serre kaksinaisuus käyttää linja nippu tai käännettävissä nippu kuin dualizing nippu , yleisen teorian (se kääntyy pois) ei ole aivan niin yksinkertainen. (Tarkemmin sanottuna se voi, mutta Gorenstein-rengasolosuhteen asettamisen kustannuksella .) Tyypillisessä käännöksessä Grothendieck muotoili yleisen johdonmukaisen kaksinaisuuden oikean vierekkäisen funktorin , jota kutsutaan kierretyksi tai poikkeukselliseksi käänteiskuvan funktoriksi , olemassaolona korkeammalle suoralle. kuva kompakti tukea functor . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Rf_ {!}}$

Korkeammat suorat kuvat ovat sheafified muoto sheaf cohomology tässä tapauksessa asianmukainen (kompakti) tuki; ne niputetaan yhteen funktoriin homologisen algebran johdetun luokan muotoilun avulla (joka on otettu käyttöön tässä tapauksessa). Jos se on oikea, niin se on oikea liitos käänteiskuvan funktoriin . Olemassaolo lause kierretyt käänteinen kuva on annettu nimi todiste mitä olisi counit varten comonad Tavoiteltu varten adjunction, nimittäin luonnollinen muutos${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Rf _ {!} = Rf _ {\ ast}}$${\ displaystyle f ^ {\ ast}}$

${\ displaystyle Rf _ {!} f ^ {!} \ rightarrow id}$,

jota merkitään (Hartshorne) tai (Verdier). Teoria on lähinnä klassista merkitystä, kuten merkinnät osoittavat, että kaksinaisuus määritellään integraation avulla. ${\ displaystyle Tr_ {f}}$${\ displaystyle \ int _ {f}}$

Tarkemmin sanottuna, olemassa myös tarkka functor siitä johdetun luokan kvasikoherenta lyhteet päälle , analogiseen luokan , aina ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle f: X \ oikeanpuoleinen Y}$

on oikea tai melkein projektiivinen morfismi ei-eetteriläisistä kaavioista, rajallisesta Krull-ulottuvuudesta . Tämän loput teoria voidaan johtaa: dualizing kompleksit vetää takaisin kautta , Grothendieck jäännös symboli , dualizing nippu on Cohen-Macaulayn tapauksessa. ${\ displaystyle f ^ {!}}$

Saadakseen lausunnon klassisemmalla kielellä, mutta silti laajemmalla kuin Serren kaksinaisuus, Hartshorne ( Algebraic Geometry ) käyttää hyllyjen Ext-toimintoa ; tämä on eräänlainen askel johdettuun luokkaan.

Klassisen lausunto Grothendieck Kaksinaisuuden varten projektiivisen tai asianmukainen morfismi ja noetherian järjestelmien rajallinen ulottuvuus, löytyy Hartshorne ( Jäännökset ja Kaksinaisuuden ) on seuraava lähes isomorphism ${\ displaystyle f: X \ oikeanpuoleinen Y}$

${\ displaystyle Rf _ {\ ast} RHom_ {X} (F ^ {\ bullet}, f ^ {!} G ^ {\ bullet}) \ RHom_ {Y} (Rf _ {\ ast} F ^ {\ bullet} , G ^ {\ luettelomerkki})}$

ja rajoittamilla edellä kompleksi -modules kanssa kvasikoherenta Kohomologia ja rajallisella alle kompleksi -modules kanssa yhtenäisen Kohomologia. Tässä ovat homomorfismien sarjat. ${\ displaystyle F ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {X}}$${\ displaystyle G ^ {\ bullet}}$${\ displaystyle O_ {Y}}$${\ displaystyle Hom}$

Rakentaminen pseudofunctor jäykkien dualizing komplekseja${\ displaystyle f ^ {!}}$

Vuosien mittaan pseudofunktorin rakentamiseen on tullut useita lähestymistapoja . Yksi melko äskettäin onnistunut lähestymistapa perustuu jäykän dualisointikompleksin käsitteeseen. Van den Bergh määritteli tämän käsitteen ensin ei-kommutatiivisessa yhteydessä. Rakenne perustuu Hochschildin johdetun kohomologian (Shukla cohomology) muunnokseen : Antaa olla kommutatiivinen rengas ja antaa olla kommutatiivinen algebra. On funktori, joka vie cochain-kompleksin johdetun luokan esineelle . ${\ displaystyle f ^ {!}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k-}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M \ otimes _ {k} ^ {L} M)}$${\ displaystyle A}$

Asumming ei ole eteerinen, jäykkä dualisointikompleksi verrattuna suhteessa on määritelmän mukaan pari, jossa on dualisoituva kompleksi, jonka yli on rajallinen tasainen ulottuvuus , ja missä isomorfismi johdetussa luokassa . Jos tällainen jäykkä dualisointikompleksi on olemassa, se on vahvassa mielessä ainutlaatuinen. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (R, \ rho)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho: R \ RHom_ {A \ otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R \ otimes _ {k} ^ {L} R)}$${\ displaystyle D (A)}$

Olettaen, on lokalisoinnin äärellisen tyyppi -algebra, olemassaolo jäykän dualizing monimutkainen yli suhteessa ensimmäisen todistaa Yekutieli ja Zhang olettaen on säännöllinen noetherin rengas äärellisen Krull ulottuvuus, ja Avramov , iyengar ja Lipman olettaen on Gorenstein rengas äärellisen Krull-ulottuvuuden ja on äärellisen tasaisen ulottuvuuden yli . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k}$

Jos on äärellisen tyyppinen kaavio , voidaan liimata jäykät dualisointikompleksit, jotka ovat sen affiinikappaleilla, ja saada jäykkä dualisointikompleksi . Kun yksi vahvistetaan maailmanlaajuinen olemassaolon jäykän dualizing monimutkainen, annetaan kartta järjestelmien yli , voidaan määritellä , missä järjestelmää varten , asetamme . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R_ {X}}$${\ displaystyle f: X \ - Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} \ circ Lf ^ {*} \ circ D_ {Y}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$

Monimutkaisten esimerkkien kaksinkertaistaminen

Projisoitavan lajikkeen kaksoiskompleksi

Dualizing monimutkainen projektiivinen lajike saadaan kompleksi ${\ displaystyle X \ subset \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

Tason leikkaava viiva

Harkitse projektiivista lajiketta

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ vasen ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} \ oikea) = { \ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} \ oikea)}$

Voimme laskea käyttämällä tarkkuutta paikallisesti vapailla pyörillä. Tämän antaa kompleksi ${\ displaystyle \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {O}} _ {X}, \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ - {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle 0 \ - {\ mathcal {O}} (- 3) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​\\ - y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy & xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ kohteeseen 0}$

Koska meillä on niin ${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbb {P} ^ {3}} \ cong {\ mathcal {O}} (- 4)}$

${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {\ bullet} = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet}, {\ mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = \ mathrm {RHom} _ {\ mathbb {P} ^ {3}} ({\ mathcal {L}} ^ {\ bullet} \ otimes {\ mathcal {O }} (4) [- 3], {\ mathcal {O}})}$

Tämä on monimutkainen

${\ displaystyle [{\ mathcal {O}} (- 4) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} xy \\ xz \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 2) \ oplus {\ mathcal {O}} (- 2) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} z ​​& -y \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Katso myös

• Verdier-kaksinaisuus

Huomautuksia

Viitteet

• Greenlees, JPC; Toukokuu, J. Peter (1992), " I- adic complete and local homology derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN  0021-8693 , MR  1172439
• Hartshorne, Robin (1966), Jäämät ja kaksinaisuus , Luennot matematiikasta 20 , Berliini, New York: Springer-Verlag , s. 20–48
• Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck -dualiteettilause Bousfieldin tekniikoiden ja ruskean edustettavuuden kautta", Journal of American Mathematical Society , 9 (1): 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN  0894-0347 , MR  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Base change for twisted inverse image of koherent sheaves", algebrallinen geometria (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , s. 393– 408, MR  0274464
• Hopkins, Glenn, algebrallinen lähestymistapa Grothendieckin jäännösmerkkiin (PDF)