Kuutio - Cube

Säännöllinen heksaedri
(Napsauta tästä pyörivään malliin)
Tyyppi	Platoninen kiinteä aine
lyhyt koodi	4 =
Elementit	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Kasvot sivuilla	6 {4}
Conwayn merkintä	C
Schläflin symbolit	{4,3}
	t {2,4} tai {4} × {} tr {2,2} tai {} × {} × {}
Kasvojen kokoonpano	V3.3.3.3
Wythoffin symboli	3 | 2 4
Coxeter -kaavio
Symmetria	O h , B 3 , [4,3], (*432)
Kiertoryhmä	O , [4,3] + , (432)
Viitteet	U 06 , C 18 , L 3
Ominaisuudet	tavallinen , kupera zonohedri
Kaksikulmainen kulma	90 °
4.4.4 ( kärkipiste )	Oktaedri ( kaksoispohjainen )
Netto

Kuution verkko

3D -malli kuutiosta

Vuonna geometria , eli kuutio on kolmiulotteinen kiinteä esine, jota rajaavat kuusi neliön kasvot, puolia tai sivut, kolme kokousta jokaisen huippupiste .

Kuutio on ainoa säännöllinen heksaedri ja se on yksi viidestä platonisesta kiintoaineesta . Siinä on 6 kasvoa, 12 reunaa ja 8 kärkeä.

Kuutio on myös neliömäinen suuntaissärmiö , tasasivuinen kuutiomainen ja oikea romboedri . Se on säännöllinen neliön prisma kolmessa suunnassa ja trigonaalinen puolisuunnikas neljässä suunnassa.

Kuutio on kaksi sen octahedron . Siinä on kuutiomainen tai oktaedrinen symmetria .

Kuutio on ainoa kupera monisivu, jonka kasvot ovat kaikki neliöitä .

Ortogonaaliset projektiot

Kuutio on neljä erityistä ortogonaaliset projektiot , keskitetty, on kärki, reunat, kasvot ja normaali sen kärki kuva . Ensimmäinen ja kolmas vastaavat Coxeter -tasoja A ₂ ja B ₂ .

Ortogonaaliset projektiot

Keskitetty	Kasvot	Vertex
Coxeter -koneet	B 2	A 2
Projektiivinen symmetria	[4]	[6]
Kallistetut näkymät

Pallomaiset laatat

Kuutio voidaan myös esittää pallomaisena laatoituksena ja heijastaa tasolle stereografisen heijastimen kautta . Tämä projektio on muodollinen , säilyttäen kulmat, mutta ei alueita tai pituuksia. Pallon suorat viivat projisoidaan pyöreinä kaarina tasossa.

Ortografinen projektio	Stereografinen projektio

Suorakulmaiset koordinaatit

Kuudelle, joka on keskitetty lähtökohtaan ja jonka reunat ovat yhdensuuntaiset akseleiden kanssa ja jonka reunan pituus on 2, pisteiden suorakulmaiset koordinaatit ovat

(± 1, ± 1, ± 1)

kun taas sisustus koostuu kaikista pisteistä ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ), kun −1 < x _i <1 kaikille i .

Yhtälö sisään ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

In analyyttinen geometria , kuution pinta, jonka keskipiste ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) ja reunan pituus 2a on lokus kaikkien pisteiden ( x , y , z ) siten, että

${\ displaystyle \ max \ {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} |, | z-z_ {0} | \} = a.}$

Kuutiota voidaan pitää myös 3D -superellipsoidin rajoittavana tapauksena, kun kaikki kolme eksponenttia lähestyvät ääretöntä.

Kaavat

Reunan pituinen kuutio : ${\ displaystyle a}$

pinta-ala	${\ displaystyle 6a^{2} \,}$	äänenvoimakkuutta	${\ displaystyle a^{3} \,}$
kasvot diagonaalisesti	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} a}$	tilan diagonaali	${\ texttyle {\ sqrt {3}} a}$
rajoitetun pallon säde	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$	pallon säde, joka koskettaa reunoja	${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}}$
kaiverretun pallon säde	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$	kasvojen väliset kulmat ( radiaaneina )	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Koska kuution tilavuus on sen sivujen kolmas voima , kolmansia voimia kutsutaan kuutioiksi , analogisesti neliöiden ja toisten voimien kanssa. ${\ displaystyle a \ kertaa a \ kertaa a}$

Kuutio on suurin määrä joukossa kuutioiden (suorakulmainen laatikot) tietyllä pinta-ala . Lisäksi kuutiolla on suurin tilavuus kuutiotyypeistä, joilla on sama lineaarinen koko (pituus+leveys+korkeus).

Piste avaruudessa

Kuutolle, jonka rajaavan pallon säde on R , ja tietylle pisteelle sen kolmiulotteisessa tilassa etäisyyksillä d _i kuution kahdeksasta pisteestä, meillä on:

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1}^{8} d_ {i}^{4}} {8}}+{\ frac {16R^{4}} {9}} = \ vasen ({\ frac {\ sum _ {i = 1}^{8} d_ {i}^{2}} {8}}+{\ frac {2R^{2}} {3}} \ oikea)^{ 2}.}$

Kuution kaksinkertaistaminen

Kuution kaksinkertaistaminen eli Delian -ongelma oli antiikin kreikkalaisten matemaatikkojen ongelma käyttää vain kompassia ja suoraa alkua tietyn kuution reunan pituudesta ja rakentaa kuution reunan pituus kaksinkertaisella alkuperäisen kuution tilavuus. He eivät kyenneet ratkaisemaan tätä ongelmaa, ja vuonna 1837 Pierre Wantzel osoitti sen olevan mahdotonta, koska 2: n kuution juuri ei ole konstruoitava luku .

Tasaiset värit ja symmetria

Octahedral symmetria puu

Kuutiossa on kolme yhtenäistä väriä, jotka on nimetty kunkin kärjen ympärillä olevien neliöpintojen väreillä: 111, 112, 123.

Kuutiossa on neljä symmetrialuokkaa, jotka voidaan edustaa pisteiden transitiivisella värjäyksellä. Korkein oktaedrinen symmetria O _h on kaikkien kasvojen kanssa samanvärisiä. Dihedral symmetria D _4h tulee kuution ollessa prisman, jossa kaikki neljä sivua ovat samanvärisiä. Prismaattisilla osajoukoilla D _2d on sama väritys kuin edellisellä ja D _{2h: lla} on vuorottelevat värit sivuilleen yhteensä kolme väriä, jotka on yhdistetty vastakkaisilla puolilla. Jokaisessa symmetriamuodossa on erilainen Wythoff -symboli .

Nimi	Säännöllinen heksaedri	Neliönmuotoinen prisma	Suorakulmainen puolisuunnikas	suorakulmainen suuntaissärmiö	Rombinen prisma	Trigonaalinen puolisuunnikas
Coxeter -kaavio
Schläflin symboli	{4,3}	{4} × {} rr {4,2}	s 2 {2,4}	{} 3 k {2,2}	{} × 2 {}
Wythoffin symboli	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Symmetria	O h [4,3] (* 432)	D 4h [4,2] (*422)	D 2d [4,2 + ] (2*2)	D 2h [2,2] (*222)		D 3d [6,2 + ] (2*3)
symmetria tilaus	24	16	8	8		12
Kuva (yhtenäinen väri)	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Geometriset suhteet

Kuution 11 verkkoa.

Nämä tutut kuusisivuiset nopat ovat kuution muotoisia.

Kuutiossa on yksitoista verkkoa (yksi yllä): eli onttoista tapaa tasoittaa ontto kuutio leikkaamalla seitsemän reunaa. Kuution värittämiseksi siten, että kahdella vierekkäisellä pinnalla ei ole samaa väriä, tarvitaan vähintään kolme väriä.

Kuutio on kolmiulotteisen euklidisen tilan ainoan säännöllisen laatoituksen solu . Se on myös ainutlaatuinen platonisten kiintoaineiden joukossa sillä, että sen sivut ovat parilliset, ja siksi se on ryhmän ainoa jäsen, joka on zonohedri (jokaisella kasvolla on pistesymmetria).

Kuutio voidaan leikata kuuteen identtiseen neliömäiseen pyramidiin . Jos nämä neliömäiset pyramidit kiinnitetään sitten toisen kuution pintoihin, saadaan rombinen dodekaedri (jossa on tasapuolisia kolmioita, jotka on yhdistetty rombisiin pintoihin).

Muut mitat

Neliulotteisen euklidisen avaruuden kuution analogilla on erityinen nimi- tesseraktio tai hyperkuutio . Tarkemmin sanottuna hyperkuutio (tai n -ulotteinen kuutio tai yksinkertaisesti n -kuutio) on kuution analogi n -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa ja tesseraktio on suuruusluokan 4 hyperkuutio. Hyperkuutiota kutsutaan myös mittapolytoopiksi .

Kuutiossa on myös analogit alemmissa mitoissa: piste ulottuvuudessa 0, viivaosa yhdessä ulottuvuudessa ja neliö kahdessa ulottuvuudessa.

Aiheeseen liittyvää polyhedraa

Kuution kaksikko on oktaedri , joka nähdään täällä kärjillä kuution neliön kasvojen keskellä.

Hemicube on 2-on-1 osamäärä kuution.

Kuution osamäärä antipodaalisen kartan mukaan tuottaa heijastavan polyhedrin , puolikuution .

Jos alkuperäisen kuution reunapituus on 1, sen kaksoiskuulalla ( oktaedri ) on reunan pituus . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}}/2}$

Kuutio on erikoistapaus useissa yleisluonteisten polyhedrien luokissa:

Kuution kärjet voidaan ryhmitellä kahteen neljän ryhmän ryhmään, joista kukin muodostaa säännöllisen tetraedrin ; yleisemmin tätä kutsutaan demicubeksi . Nämä kaksi yhdessä muodostavat säännöllisen yhdisteen , stella octangula . Näiden kahden leikkauspiste muodostaa säännöllisen oktaedrin. Säännöllisen tetraedrin symmetriat vastaavat kuutiota, joka kuvaa jokaisen tetraedrin itselleen; kuution muut symmetriat yhdistävät ne toisiinsa.

Yksi tällainen tavallinen tetraedri on tilavuus 1/3kuutiosta. Jäljellä oleva tila koostuu neljästä yhtä suuresta epäsäännöllisestä tetraedrista, joiden tilavuus on1/6 kuutiosta, jokainen.

Hiotut kuutio on cuboctahedron . Jos pienemmät kulmat leikataan pois, saadaan monikulmio, jossa on kuusi kahdeksankulmaista pintaa ja kahdeksan kolmion muotoista. Erityisesti voimme saada tavallisia kahdeksankulmia ( katkaistu kuutio ). Rhombicuboctahedron on saatu leikkaamalla pois sekä kulmat ja reunat oikea määrä.

Kuutio voidaan kirjoittaa dodekaedriin siten, että jokainen kuution kärki on dodekaedrin kärki ja jokainen reuna on dodekaedrin yhden kasvon lävistäjä; kaikkien tällaisten kuutioiden ottaminen muodostaa tavallisen viiden kuution yhdisteen.

Jos kuution kaksi vastakkaista kulmaa katkaistaan ​​suoraan niihin liittyvien kolmen kärjen syvyyteen, saadaan epäsäännöllinen oktaedri. Kahdeksan näistä epäsäännöllisistä oktaedreista voidaan kiinnittää tavallisen oktaedrin kolmiomaisiin pintoihin kuboktaedrin saamiseksi.

Kuutio on topologisesti liittyy sarjan pallomaisten monitahokkaan ja tilings kanssa tilaus-3 kärki lukuja .

* n 32 tavallisten laattojen symmetriamutaatio: { n , 3} v t e
Pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperb.		Paraco.	Ei -kompakti hyperbolinen
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

Cuboctahedron on yksi yhtenäisten polyhedrien perheestä, joka liittyy kuutioon ja tavalliseen oktaedriin.

Yhtenäinen oktaedrinen polyhedra
Symmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (*332)		[3 + , 4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= tai	= tai	=
Duals yhtenäiseen polyhedraan
V4 3	V3.8 2	V (3.4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Kuutio liittyy topologisesti osana säännöllisten laattojen järjestystä, joka ulottuu hyperboliseen tasoon : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 tavallisten laattojen symmetriamutaatio: {4, n } v t e
Pallomainen	Euklidinen	Kompakti hyperbolinen				Parakompakti
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Kanssa dihedral symmetria , Dih ₄ , kuutio on topologisesti liittyy sarjassa yhtenäinen polyhedra ja tilings 4.2n.2n, joka ulottuu hyperbolinen tasoon:

* n 42 katkaistujen laattojen symmetriamutaatio: 4,2 n .2 n v t e
Symmetria * n 42 [n, 4]	Pallomainen		Euklidinen	Kompakti hyperbolinen				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4] ...	*∞42 [∞, 4]
Katkaistut luvut
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis hahmoja
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Kaikilla näillä kuvioilla on oktaedrinen symmetria .

Kuutio on osa rombisten polyhedrien ja laattojen sarjaa, joissa on [ n , 3] Coxeter -ryhmän symmetria. Kuutio voidaan nähdä rombisena heksaedrinä, jossa rombit ovat neliöitä.

Kaksoiskääntötyylisten laattojen symmetriamutaatiot: V (3.n) 2
*n32	Pallomainen			Euklidinen	Hyperbolinen
	*332	*432	*532	*632	*732	*832 ...	*∞32
Laatoitus
Conf.	V (3.3) 2	V (3.4) 2	V (3.5) 2	V (3.6) 2	V (3.7) 2	V (3.8) 2	V (3.∞) 2

Kuutio on neliön prisma :

Perhe yhtenäisten n -gonal prismat

• v
• t
• e

Prisman nimi	Digitaalinen prisma	(Kolmikulmainen) Kolmion muotoinen prisma	( Nelikulmainen ) Neliönmuotoinen prisma	Viisikulmainen prisma	Kuusikulmainen prisma	Kuusikulmainen prisma	Kahdeksankulmainen prisma	Enneagonaalinen prisma	Decagonal prisma	Hendecagonal prisma	Dodekagonaalinen prisma	...	Apeirogonaalinen prisma
Monikulmioinen kuva												...
Kuulalaatoituskuva												Kuva tasoituksesta
Vertex -kokoonpano	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Coxeter -kaavio												...

Koska trigonal trapezohedron , kuution liittyy kuusikulmainen dihedral symmetria perhe.

Yhtenäinen kuusikulmainen kaksijakoinen pallomainen polyhedra
Symmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Dualit univormuihin
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Säännölliset ja yhtenäiset kuutioyhdisteet

Kolmen kuution yhdistelmä

Viiden kuution yhdistelmä

Univormuissa ja hunajakennoissa

Se on osa 9: stä 28: sta kuperasta yhtenäisestä hunajakennosta :

Kuutiokenno	Katkaistu neliömäinen prismainen hunajakenno	Snub neliön prisma hunajakenno	Pitkänomainen kolmion muotoinen prismainen hunajakenno	Gyroskooppi kolmiomainen prismainen hunajakenno
Kanteloitu kuutiokenno	Keskeytymätön kuutiomainen hunajakenno	Runcitrunkoitu kuutiokenno	Runcined vuorotellen kuutiometriä hunajakenno

Se on myös osa neljää ulotteista yhtenäistä polykhoraa :

Tesseract	Kanteloitu 16-kennoinen	Runcined tesseract	Keskeytymätön 16-solu	Käynnistetty 16-soluinen

Kuutiomainen kaavio

Kuutiomainen kaavio
Nimetty	Kysymys 3
Kärkipisteet	8
Reunat	12
Säde	3
Halkaisija	3
Ympärysmitta	4
Automorfismit	48
Kromaattinen luku	2
Ominaisuudet	Hamiltonilainen , säännöllinen , symmetrinen , etäisyyssäännöllinen , etäisyys-transitiivinen , 3-pisteeseen kytketty , kaksipuolinen , tasomainen kuvaaja
Kaavio ja parametrit

Luuranko kuution (pisteiden ja reunat) muodostavat kuvaaja , jossa on 8 kärjet, ja 12 reunat. Se on hyperkuutiokaavion erikoistapaus . Se on yksi viidestä platonisesta kaaviosta , joista jokainen on luuranko platonisesta kiinteästä aineesta .

Laajennus on kolmiulotteinen k -ary Hamming -kuvaaja , joka k = 2: lle on kuutiokaavio. Tällaisia ​​kaavioita esiintyy tietokoneiden rinnakkaiskäsittelyn teoriassa .

Katso myös

• Pyramidi
• Tesseract
• Puolisuunnikas

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Weisstein, Eric W. "Kuutio" . MathWorld .
• Kuutio: Interaktiivinen polyhedronimalli *
• Kuution tilavuus , interaktiivinen animaatio
• Kuutio (Robert Webbin sivusto)