De Rhamin yhteistiede - De Rham cohomology

Vektorikenttä, joka vastaa differentiaalimuotoa lävistetyllä tasolla, joka on suljettu, mutta ei tarkka, mikä osoittaa, että tämän avaruuden de Rhamin yhteistiede ei ole triviaali.

On matematiikka , de Rham Kohomologia (nimetty Georges de Rham ) on väline kuuluu sekä algebrallinen topologia ja ero topologia , joka kykenee ilmentämään perustiedot topologinen tietoa sileä pakosarjat muodossa mukautettu erityisesti laskenta ja betonin edustus Kohomologia luokkiin . Se on cohomology -teoria, joka perustuu määrättyjen ominaisuuksien omaavien differentiaalimuotojen olemassaoloon .

Jokainen tarkka muoto on suljettu, mutta päinvastoin ei välttämättä pidä paikkaansa. Toisaalta tarkkuuden epäonnistumisen ja "reikien" olemassaolon välillä on yhteys. De Rham Kohomologia ryhmät ovat joukko invariants sileä pakosarjat, jotka tekevät edellä mainitut suhteessa kvantitatiivinen, ja sitä käsitellään tässä artikkelissa.

Lomakkeiden integrointi on perustavanlaatuista differentiaalisessa topologiassa, geometriassa ja fysiikassa, ja se tuottaa myös yhden tärkeimmistä esimerkeistä cohomologiasta , nimittäin de Rham cohomology , joka (karkeasti ottaen) mittaa täsmälleen, missä määrin peruslause Laskenta epäonnistuu korkeammissa mitoissa ja yleisissä jakoputkissa.
-  Terence Tao , differentiaalimuodot ja integraatio

Määritelmä

De Rham kompleksi on cochain monimutkainen ja ero muotojen joitakin sileä moninaiset M , jossa ulko-johdannaisen kuin ero:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^{0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{2} (M) \ {\ pino {d} {\ to}} \ \ Omega ^{3} (M) \ to \ cdots,}$

jossa Ω ⁰ ( M ) on tilaa sileä toimintoja on M , Ω ¹ ( M ) on tilaa 1 -formsin, ja niin edelleen. Muotoja, jotka ovat kuvan muiden alla ulkopuoli johdannainen , sekä jatkuva 0 toiminto Ω ⁰ ( M ) , kutsutaan tarkka ja muotoja, joiden ulkopuoli johdannainen on 0 ovat kutsutaan suljettu (katso Suljettu ja tarkka ero muodot ); suhde d ² = 0 sanoo sitten, että tarkat muodot ovat suljettuja.

Sitä vastoin suljetut muodot eivät välttämättä ole tarkkoja. Havainnollistava tapaus on ympyrä jakotukina ja 1 -muoto, joka vastaa kulman derivaattaa sen keskipisteen vertailupisteestä, tyypillisesti kirjoitettuna muodossa dθ (kuvattu kohdassa Suljettu ja tarkka differentiaali ). Toimintoa ei ole θ määritelty koko ympyrän niin, että dθ on sen johdannainen; 2 π lisäys kierroksen kiertämisessä positiiviseen suuntaan merkitsee moniarvoista funktiota θ . Yhden ympyrän pisteen poistaminen välttää tämän ja samalla muuttaa jakotukin topologiaa.

De Rhamin yhteistutkimuksen idea on määritellä suljetun muodon ekvivalenssiluokat jakoputkessa. Yksi luokittelee kaksi suljettua muodot a , p ∈ Q ^k ( M ) kuin cohomologous jos ne eroavat tarkka muoto, joka on, jos α - p on tarkka. Tämä luokitus aiheuttaa vastaavuussuhteen suljettujen lomakkeiden tilaan Ω ^k ( M ) . Sitten määritellään k -nnen de Rhamin yhteistutkimusryhmä vastaavuusluokkien joukkoksi, toisin sanoen suljettujen lomakkeiden joukko Ω ^k ( M ) -muodossa tarkkoja muotoja. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$

Huomaa, että jokaisella jakotukilla M, joka koostuu m irrotetusta komponentista, joista jokainen on kytketty , meillä on se

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^{0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^{m}.}$

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että mikä tahansa M: n tasainen funktio, jossa on nollajohdannainen kaikkialla, on erikseen vakio kullakin M: n kytketyllä komponentilla .

De Rhamin kotitekniikka laskettu

Usein voidaan löytää moninaiset yleiset de Rham -kohomologiat käyttämällä yllä olevaa faktaa nollakohomologiasta ja Mayer -Vietoris -sekvenssistä . Toinen hyödyllinen tosiasia on, että de Rhamin yhteistiede on homopotin invariantti. Vaikka laskentaa ei ole annettu, seuraavat ovat laskettuja de Rham -kohomologioita joillekin yleisille topologisille kohteille:

N -sphere

Sillä n -sphere , ja myös silloin, kun yhdessä tuote avoimen välein, meillä on seuraava. Olkoon n > 0, m ≥ 0 ja I avoin reaaliväli. Sitten ${\ displaystyle S^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{n} \ kertaa I^{m}) \ simeq {\ begin {case} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {tai }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {ja}} k \ neq n. \ end {tapaukset}}}$

N -torus

-Torus on karteesinen tulo: . Samoin, kun sallimme täällä, saamme ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n} = \ underbrace {S^{1} \ times \ cdots \ times S^{1}} _ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (T^{n}) \ simeq \ mathbb {R}^{n \ select k}.}$

Voimme myös löytää nimenomaisia ​​generaattoreita toruksen de Rham -kohomologialle suoraan käyttämällä differentiaalimuotoja. Annetaan osamäärä jakotukin ja ero muoto voidaan sanoa, että on -invariant , jos annetaan mikä tahansa diffeomorfismi aiheuttama , meillä on . Erityisesti minkä tahansa muodon vetäminen on -variantti. Myös vetäytyminen on injektiivinen morfismi. Meidän tapauksessamme differentiaalimuodot ovat -muuttumattomia siitä lähtien . Mutta huomaa, että sillä ei ole invariantti -muotoa. Tämä injektiokyvyn kanssa merkitsee sitä ${\ displaystyle \ pi: X \ X/G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ - X}$${\ displaystyle (\ cdot g)^{*} (\ omega) = \ omega}$${\ displaystyle X/G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}/\ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle d (x_ {i}+k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}+\ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ in H_ {dR}^{1} (T^{n})}$

Koska toruksen cohomology -rengas syntyy , näiden muotojen ulkopuolisten tuotteiden ottaminen antaa kaikille selkeät edustajat de Rham -kohomologialle. ${\ displaystyle H^{1}}$

Lävistetty euklidinen avaruus

Lävistetty euklidinen avaruus on yksinkertaisesti poistettu alkuperästä. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^{k} (\ mathbb {R} ^{n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {tapauksissa} \ mathbb {R} ^{2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {muuten}} \ end {tapaukset}}.}$

Möbius -nauha

Voimme päätellä, että Möbiuksen nauha , M , voi olla muodonmuutoksia vedetty sen 1 -sphere (eli todellinen yksikkö ympyrä), että:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{1}).}$

De Rhamin lause

Stokesin lause ilmaisee kaksinaisuuden de Rhamin yhteistiedon ja ketjujen homologian välillä . Siinä sanotaan, että pariutuminen ero muotojen ja ketjujen kautta integraatio, antaa homomorfismi päässä de Rham Kohomologia että yksikössä Kohomologia ryhmille De Rham lause , todistaa Georges de Rham vuonna 1931, todetaan, että sujuva moninaiset M , tämä kartta on itse asiassa isomorfismi . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$ ${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$

Tarkemmin, harkitse karttaa

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M) \ - H^{p} (M; \ mathbb {R}),}$

määritellään seuraavasti: olkoon minkä tahansa I ( ω ) sen elementti, joka toimii seuraavasti: ${\ displaystyle [\ omega] \ in H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M)}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H^{p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Lause de Rham väittää, että tämä on isomorfismi de Rhamin yhteistiedon ja yksittäisen kohomologian välillä.

Ulkotuotteena itse antaa suora summa näiden ryhmien kanssa renkaan rakenne. Toinen tulos lause on, että kaksi Kohomologia renkaat ovat isomorfisia (kuten porrastettu renkaat ), jossa on analoginen tuote yksikkö Kohomologia on kuppi tuote .

Ramin isomorfismi

De Rham Kohomologia on isomorfinen kuin Čech Kohomologia , jossa on nippu on Abelin ryhmä määräytyy kaikkien liitettyjen avoimet sarjaa , ja avoimen asetetaan siten, että ryhmä morfismi saadaan identiteetin kartan ja jos on hyvä avoin kansi / (eli kaikki avoimen kannen avoimet sarjat ovat supistuvia tiettyyn pisteeseen, ja kaikki joukkojen rajalliset leikkauspisteet ovat joko tyhjiä tai supistuvia tiettyyn pisteeseen). Toisin sanoen on vakio nippu antama sheafification vakion presheaf osoitusvaiheeseen . ${\ displaystyle H^{*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ osajoukko M}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U \ osajoukko V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ alleviivaus {\ mathbb {R}}} (V) \ - {\ alleviivaus {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Toisin sanoen, jos on kompakti C ^{m +1} -muotoinen jakoputki , niin jokaiselle on isomorfismi ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ cong {\ check {H}}^{k} (M, {\ underline {\ mathbb {R}}})}$

jossa vasen puoli on -Rhamin yhteistutkimusryhmä ja oikea puoli on Čech-yhteistekniikka kuitupitoiselle vakiolle${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Todiste

Olkoon n viitata nippu bakteereita ja -formsin päälle (jossa lyhde toimintoja ). Vuoteen Poincarén Aine , seuraavassa järjestyksessä narupyöriä on tarkka (kun luokka narupyöriä): ${\ displaystyle \ Omega ^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^{0}}$${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ - {\ alleviivaaminen {\ mathbb {R}}} \ - \ Omega ^{0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{m} \ - 0.}$

Tämä sekvenssi hajoaa nyt lyhyiksi tarkkoiksi jaksoiksi

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^{k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^{k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^{k } \ - 0.}$

Jokainen näistä saa aikaan pitkän tarkan sekvenssin kotitekniikassa. Koska moninaisten toimintojen nippu tunnustaa yhtenäisyyden osiot, rypälekohomologia katoaa . Joten pitkät tarkat cohomology -sekvenssit lopulta erottuvat isomorfismiketjuksi. Ketjun toisessa päässä on Čech -cohomology ja toisessa de Rham -cohomology. ${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle H ^{i} (\ Omega ^{k})}$${\ displaystyle i> 0}$

Aiheeseen liittyviä ideoita

De Rhamin kotitekniikka on inspiroinut monia matemaattisia ideoita, kuten Dolbeault -kohomologiaa , Hodgen teoriaa ja Atiyah -Singer -indeksiteoreemia . Kuitenkin jopa klassisemmissa yhteyksissä lause on innoittanut useita kehityssuuntia. Ensinnäkin Hodgen teoria osoittaa, että harmonisista muodoista koostuvan kotomologian ja suljetuista muodoista koostuvan de Rhamin kotomologian välillä on isomorfismi. Tämä perustuu harmonisten muotojen ja Hodgen lauseen asianmukaiseen määritelmään. Katso lisätietoja Hodgen teoriasta .

Harmoniset muodot

Jos M on kompakti Riemannin jakotukki , niin jokainen ekvivalenssiluokka sisältää täsmälleen yhden harmonisen muodon . Toisin sanoen jokainen tietyn suljetun lomakkeen vastaavuusluokan jäsen voidaan kirjoittaa muodossa ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ gamma}$

jossa on tarkka ja on harmoninen: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Kaikki harmoniset toiminnot kompaktissa kytketyssä Riemannin jakotukissa ovat vakioita. Näin ollen tämä erityinen edustava elementti voidaan ymmärtää äärimmäisenä (vähintään) kaikkien jakotukissa olevien cohomologically ekvivalenttisten muotojen äärettömänä. Esimerkiksi, on 2 - torus , voidaan kuvitella vakio 1 -muoto, kuten sellainen, jossa kaikki "karva" on kammattu siististi samaan suuntaan (ja kaikki "hiukset", joilla on sama pituus). Tässä tapauksessa on kaksi kotomologisesti erillistä kampausta; kaikki muut ovat lineaarisia yhdistelmiä. Erityisesti, tämä tarkoittaa, että 1. Betti määrä on 2 -torus on kaksi. Yleisemmin voidaan todeta, että mittaisella toruksella voidaan harkita toruksen eri muotojen yhdistelmiä. On valittava sellainen combings jota voidaan käyttää pohjana vektoreista ; nnen Betti numero de Rham Kohomologia ryhmä varten -torus siis valita . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {\ text {dR}}^{k} (T^{n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Tarkemmin sanottuna differentiaalijakotukille M voidaan varustaa se jollakin Riemannin apumittarilla . Sitten Laplacian määrittelee ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta +\ delta d}$

kanssa ulkoa johdannaisen ja codifferential . Laplacen on homogeeninen (in luokittelu ) lineaarinen ero operaattori joka vaikuttaa ulkopuoli algebran ja ero muotoja : voimme tarkastella sen toimintaa kunkin komponentin aste erikseen. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Jos on kompakti ja suuntautunut , ulottuvuus on ydin ja Laplacen toimii kun tilaa k -formsin on yhtä suuri (mukaan Hodge teoria ) kuin de Rham Kohomologia ryhmä aste : Laplacen poimii pois ainutlaatuinen harmoninen muodossa vuonna jokainen suljettujen lomakkeiden kotitekniikkaluokka . Erityisesti, tilaa kaikkien harmoninen -formsin siitä on isomorfinen ulottuvuus kunkin tällaisen tilan on äärellinen, ja saadaan nnen Bettin numero . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Hodgen hajoaminen

Antaa olla kompakti suuntautunut Riemannin jakoputki . Hodge hajoaminen todetaan, että mikä tahansa -muoto on yksilöllisesti hajoaa summa kolmen L ² komponentit: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ omega = \ alfa +\ beta +\ gamma,}$

missä on tarkka, on täsmällinen ja harmoninen. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Yksi sanoo, että lomake suljetaan yhdessä, jos ja täsmälleen jos jostain , ja se on harmoninen, jos laplacian on nolla . Tästä seuraa, että tarkat ja täsmälliset muodot ovat ortogonaalisia; ortogonaalinen komplementti muodostuu silloin muodoista, jotka ovat sekä suljettuja että samanaikaisesti suljettuja: eli harmonisista muodoista. Tässä ortogonaalisuus määritellään suhteessa L ^{2: n} sisäiseen tuotteeseen : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ Omega ^{k} (M)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Käyttämällä Sobolevin tilojen tai jakaumia , hajoaminen voidaan laajentaa esimerkiksi kokonaan (oriented tai ei) Riemannin moninaiset.

Katso myös

• Hodgen teoria
• Integrointi kuituja pitkin (de Rham cohomology , integraatio antaa eteenpäin )

Lainaukset

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Idea De Rham Cohomology in Mathifold -projektista
• "De Rham cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]