Dudeneyn numero - Dudeney number

Vuonna lukuteoria , joka on Dudeney numero tietyssä numerokannassa on luonnollinen luku on sama kuin täydellinen kuution toisen luonnollinen luku siten, että numero summa ensimmäisen luonnollinen luku on yhtä suuri kuin toinen. Nimi on peräisin Henry Dudeneylta , joka totesi näiden numeroiden olemassaolon yhdessä palapeleistään, Root Extraction , jossa Colney Hatchin eläkkeellä oleva professori olettaa tämän yleisenä menetelmänä juurien uuttamiseksi. ${\ displaystyle b}$

Matemaattinen määritelmä

Antaa olla luonnollinen luku. Määritämme Dudeney-funktion perustalle ja voimalle olevan seuraavat: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle p> 0}$ ${\ displaystyle F_ {p, b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {p, b} (n) = \ summa _ {i = 0} ^ {k-1} {\ frac {n ^ {p} {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n ^ {p} {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

missä on perusmäärän numeroiden lukumäärä . ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

Luonnollinen numero on Dudeney juuri , jos se on kiinteä piste varten , joka ilmenee, jos . Luonnollinen luku on yleistetty Dudeney-numero , ja numerot tunnetaan Dudeney-numeroina . ja ovat triviaalia Dudeney-numeroa kaikille, ja kaikki muut triviaalit Dudeney-numerot ovat ei-triviaalia triviaalia Dudeney-numeroa . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$${\ displaystyle m = n ^ {p}}$${\ displaystyle p = 3}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$

Varten ja , on täsmälleen kuusi tällaista kokonaislukuja (sekvenssi A061209 on OEIS ):${\ displaystyle p = 3}$${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle 1,512,4913,5832,17576,19683}$

Luonnollinen numero on sosiaalinen Dudeney juuri , jos se on määräajoin piste varten , jossa on positiivinen kokonaisluku , ja muodostaa sykli ajanjakson . Dudeney-juuret ovat seurallinen Dudeney-juuret , ja ystävällinen Dudeney-juuret ovat seurallisia Dudeney-juuria . Sosiaaliset Dudeney-numerot ja ystävälliset Dudeney-numerot ovat niiden juurien voimia. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$

Iteraatiomäärää tarvitaan päästä kiintopiste on Dudeney toiminnon pysyvyys on , ja määrittelemätön jos se ei saavuta kiintopisteen. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle F_ {p, b} ^ {i} (n)}$${\ displaystyle n}$

Voidaan osoittaa, että kun otetaan huomioon lukupohja ja teho , Dudeney-juuren enimmäismäärän on täytettävä tämä sidos: ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle n \ leq (b-1) (1 + p + \ log _ {b} {n ^ {p}}) = (b-1) (1 + p + p \ log _ {b} {n} ))}$

mikä tarkoittaa lopullista määrää Dudeney-juuria ja Dudeney-lukuja kullekin järjestykselle ja perustalle . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle F_ {1, b}}$on numeroinen summa . Ainoat Dudeney-luvut ovat yksinumeroisia numeroita perustassa , eikä ole jaksollisia pisteitä, joiden alkamisjakso olisi suurempi kuin 1. ${\ displaystyle b}$

F _{p , b} : n dudeney-luvut, juuret ja syklit tietyille p: lle ja b: lle

Kaikki numerot on esitetty perustana . ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle p}$	${\ displaystyle b}$	Ei-triviaalit Dudeney-juuret ${\ displaystyle n}$	Ei-triviaalit Dudeney-numerot ${\ displaystyle m = n ^ {p}}$	Syklit ${\ displaystyle F_ {p, b} (n)}$	Ystävälliset / seuralliset Dudeney-numerot
2	2	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	3	2	11	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	4	3	21	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	5	4	31	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	6	5	41	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	7	3, 4, 6	12, 22, 51	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	8	7	61	2 → 4 → 2	4 → 20 → 4
2	9	8	71	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	10	9	81	13 → 16 → 13	169 → 256 → 169
2	11	5, 6, A	23, 33, 91	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	12	B	A1	9 → 13 → 14 → 12	69 → 169 → 194 → 144
2	13	4, 9, C, 13	13, 63, B1, 169	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
2	14	D	C1	9 → 12 → 9	5B → 144 → 5B
2	15	7, 8, E	34, 44, D1	2 → 4 → 2 9 → B → 9	4 → 11 → 4 56 → 81 → 56
2	16	6, A, F	24, 64, E1	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
3	2	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
3	3	11, 22	2101, 200222	12 → 21 → 12	11122 → 110201 → 11122
3	4	2, 12, 13, 21, 22	20, 3120, 11113, 23121, 33220	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
3	5	3, 13, 14, 22, 23	102, 4022, 10404, 23403, 32242	12 → 21 → 12	2333 → 20311 → 2333
3	6	13, 15, 23, 24	3213, 10055, 23343, 30544	11 → 12 → 11	1331 → 2212 → 1331
3	7	2, 4, 11, 12, 14, 15, 21, 22	11, 121, 1331, 2061, 3611, 5016, 12561, 14641	25 → 34 → 25	25666 → 63361 → 25666
3	8	6, 15, 16	330, 4225, 5270	17 → 26 → 17	6457 → 24630 → 6457
3	9	3, 7, 16, 17, 25	30, 421, 4560, 5551, 17618	5 → 14 → 5 12 → 21 → 12 18 → 27 → 18	148 → 3011 → 148 1738 → 6859 → 1738 6658 → 15625 → 6658
3	10	8, 17, 18, 26, 27	512, 4913, 5832, 17576, 19683	19 → 28 → 19	6859 → 21952 → 6859
3	11	5, 9, 13, 15, 18, 22, 25	104, 603, 2075, 3094, 5176, A428, 13874	8 → 11 → 8 A → 19 → A 14 → 23 → 14 16 → 21 → 16	426 → 1331 → 426 82A → 6013 → 82A 2599 → 10815 → 2599 3767 → 12167 → 3767
3	12	19, 1A, 1B, 28, 29, 2A	5439, 61B4, 705B, 16B68, 18969, 1A8B4	8 → 15 → 16 → 11 → 8 13 → 18 → 21 → 14 → 13	368 → 2A15 → 3460 → 1331 → 368 1B53 → 4768 → 9061 → 2454 → 1B53
4	2	11, 101	1010001, 1001110001	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
4	3	11	100111	22 → 101 → 22	12121201 → 111201101 → 12121201
4	4	3, 13, 21, 31	1101, 211201, 1212201, 12332101	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
4	5	4, 14, 22, 23, 31	2011, 202221, 1130421, 1403221, 4044121	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
4	6	24, 32, 42	1223224, 3232424, 13443344	14 → 23 → 14	114144 → 1030213 → 114144
5	2	110, 111, 1001	1111001100000, 100000110100111, 1110011010101001	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$
5	3	101	12002011201	22 → 121 → 112 → 110 → 22	1122221122 → 1222021101011 → 1000022202102 → 110122100000 → 1122221122
5	4	2, 22	200, 120122200	21 → 33 → 102 → 30 → 21	32122221 → 2321121033 → 13031110200 → 330300000 → 32122221
6	2	110	1011011001000000	111 → 1001 → 1010 → 111	11100101110010001 → 10000001101111110001 → 11110100001001000000 → 11100101110010001
6	3	${\ displaystyle \ lakkaus}$	${\ displaystyle \ lakkaus}$	101 → 112 → 121 → 101	1212210202001 → 112011112120201 → 1011120101000101 → 1212210202001

Laajennus negatiivisiin kokonaislukuihin

Dudeney-numerot voidaan laajentaa negatiivisiin kokonaislukuihin käyttämällä signeerattuja esityksiä edustamaan kutakin kokonaislukua.

Ohjelmointiesimerkki

Alla olevassa esimerkissä toteuttaa Dudeney kuvattu toiminto edellä olevan määritelmän etsiä Dudeney juuret, numeroita ja syklit on Python .

def dudeneyf(x: int, p: int, b: int) -> int:
    """Dudeney function."""
    y = pow(x, p)
    total = 0
    while y > 0:
        total = total + y % b
        y = y // b
    return total

def dudeneyf_cycle(x: int, p: int, b: int) -> List:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = dudeneyf(x, p, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = dudeneyf(x, p, b)
    return cycle

Katso myös

• Aritmeettinen dynamiikka
• Factorion
• Hyvää numeroa
• Kaprekarin vakio
• Kaprekarin numero
• Meertensin numero
• Narsistinen numero
• Täydellinen muuttuja numeroiden välillä
• Täydellinen digitaalinen invariantti
• Summan tuotenumero

Viitteet

• HE Dudeney, 536 Puzzles & Curious Problems , Souvenir Press, Lontoo, 1968, s. 36, # 120.

Ulkoiset linkit

• Yleistetyt Dudeney-numerot
• Todistetaan, että Dudeney-numeroita on vain kuusi