Fermat -numero - Fermat number

Vuonna matematiikka , joka on Fermat numero , joka on nimetty Pierre de Fermat , joka ensimmäisenä tutki niitä, on positiivinen kokonaisluku , joka on muotoa

${\ displaystyle F_ {n} = 2^{2^{n}}+1,}$

jossa n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Ensimmäiset Fermat -numerot ovat:

3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , 4294967297, 18446744073709551617, ... (sekvenssi A000215 on OEIS ).

Jos 2 ^k + 1 on alkuluku ja k > 0, niin k: n on oltava potenssi 2, joten 2 ^k + 1 on Fermat -luku; tällaisia ​​alukkeita kutsutaan Fermat -primeiksi . Kuten 2021, ainoa tunnettu Fermat'n alkuluvut ovat F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257, ja F ₄ = 65537 (sekvenssi A019434 että OEIS ); Heuristiikka viittaa siihen, että niitä ei enää ole.

Perusominaisuudet

Fermat -numerot täyttävät seuraavat toistosuhteet :

${\ displaystyle F_ {n} = (F_ {n-1} -1)^{2} +1}$

${\ displaystyle F_ {n} = F_ {0} \ cdots F_ {n-1} +2}$

ja n ≥ 1,

${\ displaystyle F_ {n} = F_ {n-1}+2^{2^{n-1}} F_ {0} \ cdots F_ {n-2}}$

${\ displaystyle F_ {n} = F_ {n-1}^{2} -2 (F_ {n-2} -1)^{2}}$

ja n ≥ 2. Jokainen näistä suhteista voidaan todistaa matemaattinen induktio . Toisesta yhtälöstä voimme päätellä Goldbachin lauseen (nimetty Christian Goldbachin mukaan ): kahdella Fermat -luvulla ei ole yhteistä kokonaislukukerrointa, joka on suurempi kuin 1 . Jos haluat nähdä tämän, oletetaan, että 0 ≤ i < j ja F _{i: llä} ja F _{j: llä} on yhteinen tekijä a > 1. Sitten a jakaa molemmat

${\ displaystyle F_ {0} \ cdots F_ {j-1}}$

ja F _j ; siten jakaa niiden erotus, 2. Koska > 1, tämä joukot = 2. Tämä on ristiriita , koska jokainen Fermat määrä on selvästi pariton. Kuten seurauksena saamme toinen todiste loputtomasti ja alkulukuja: jokaiselle F _n , valitse alkutekijässä p _n ; silloin sekvenssi { p _n } on ääretön sarja alkulukuja.

Muita ominaisuuksia

• Mitään Fermat -alkua ei voida ilmaista kahden p : n tehon erotuksena , missä p on pariton alkuluku.
• Lukuun ottamatta F ₀ ja F ₁ , Fermat -luvun viimeinen numero on 7.
• Summa reciprocals kaikkien Fermat'n numerot (sekvenssi A051158 on OEIS ) on irrationaalinen . ( Solomon W.Golomb , 1963)

Fermat -numeroiden primaarisuus

Fermat -lukuja ja Fermat -alukkeita tutki ensin Pierre de Fermat, joka arveli, että kaikki Fermat -numerot ovat alkuluvuja. Itse asiassa viisi ensimmäistä Fermat -numeroa F ₀ , ..., F ₄ voidaan helposti osoittaa alkuluvuiksi. Leonhard Euler kumosi Fermatin oletuksen vuonna 1732, kun hän osoitti sen

${\ displaystyle F_ {5} = 2^{2^{5}}+1 = 2^{32}+1 = 4294967297 = 641 \ kertaa 6700417.}$

Euler osoitti, että jokaisen F _{n: n} tekijän on oltava muotoa k  2 ^{n +1} + 1 ( Lucas paransi myöhemmin k  2 ^{n +2} + 1 ).

Se, että 641 on kerroin F _5, voidaan päätellä tasa -arvoista 641 = 2 ⁷  × 5 + 1 ja 641 = 2 ⁴  + 5 ⁴ . Ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että 2 ⁷  × 5 ≡ −1 (mod 641) ja siksi (nostamalla neljännelle potenssille), että 2 ²⁸  × 5 ⁴  ≡ 1 (mod 641). Toisaalta toinen tasa -arvo merkitsee, että 5 ⁴  ≡ −2 ⁴  (mod 641). Nämä yhdenmukaisuudet tarkoittavat, että 2 ³²  ≡ −1 (mod 641).

Fermat oli luultavasti tietoinen Eulerin myöhemmin osoittamien tekijöiden muodosta, joten vaikuttaa uteliaalta, ettei hän onnistunut suorittamaan suoraa laskentaa tekijän löytämiseksi. Yksi yleinen selitys on, että Fermat teki laskentavirheen.

Ei ole muita tunnettuja Fermat -alukkeita F _n, joilla on n  > 4, mutta suurten n: n Fermat -numeroista tiedetään vähän . Itse asiassa jokainen seuraavista on avoin ongelma:

• Onko F _n yhdistelmä kaikille n  > 4?
• Onko Fermat -primejä loputtomasti? ( Eisenstein 1844)
• Onko Fermat -yhdistelmälukuja äärettömän paljon?
• Onko olemassa Fermat-numero, joka ei ole neliötön ?

Kuten 2014, on tunnettua, että F _n on komposiitti 5 ≤ n ≤ 32 , vaikka nämä, täydellinen factorizations on F _n tunnetaan vain 0 ≤ n ≤ 11 , ja on olemassa mitään tunnettua prime tekijöitä n = 20 ja n = 24 . Suurin komposiittina tunnettu Fermat _-luku on F _18233954 , ja sen alkutekijä 7 × 2 ^18233956 + 1 , megaprime , löydettiin lokakuussa 2020.

Heuristiset argumentit

Heuristiikka viittaa siihen, että F ₄ on viimeinen Fermat -prime.

Alkulukulause merkitsee sitä, että satunnaisen kokonaisluvun sopivassa väli noin N on alkuluku todennäköisyydellä 1  /  ln N . Jos käytetään heuristiikkaa, jonka mukaan Fermat -luku on alkuluku samalla todennäköisyydellä kuin sen koon satunnainen kokonaisluku ja että F ₅ , ..., F ₃₂ ovat yhdistettyjä, niin odotettu Fermat -alukkeiden lukumäärä F _{4: n} (tai vastaavan) jälkeen , yli F ₃₂ )

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 33} {\ frac {1} {\ ln F_ {n}}} <{\ frac {1} {\ ln 2}} \ summa _ {n \ geq 33} { \ frac {1} {\ log _ {2} (2^{2^{n}})}} = {\ frac {1} {\ ln 2}} 2^{-32} <3,36 \ kertaa 10^ {-10}.}$

Yksi voi tulkita tätä numeroa ylemmän matkalla todennäköisyys, että Fermat'n prime kuin F ₄ on olemassa.

Tämä väite ei ole tiukka todiste. Ensinnäkin oletetaan, että Fermat -numerot käyttäytyvät "satunnaisesti", mutta Fermat -lukujen tekijöillä on erityisiä ominaisuuksia. Boklan ja Conway julkaisivat tarkemman analyysin, jonka mukaan toisen Fermat -alkutason todennäköisyys on alle yksi miljardista.

Vastaavat primaarisuusolosuhteet

Antaa olla n : nnen Fermat'n numero. Pépinin testin mukaan n  > 0, ${\ displaystyle F_ {n} = 2^{2^{n}}+1}$

${\ displaystyle F_ {n}}$ on ensisijainen silloin ja vain jos ${\ displaystyle 3^{(F_ {n} -1)/2} \ equiv -1 {\ pmod {F_ {n}}}.}$

Ilmentyminen voidaan arvioida modulo mukaan toistetaan neliöimistä . Tämä tekee testistä nopean polynomiajan algoritmin. Mutta Fermat -numerot kasvavat niin nopeasti, että vain kourallinen niistä voidaan testata kohtuullisessa ajassa ja tilassa. ${\ displaystyle 3^{(F_ {n} -1)/2}}$${\ displaystyle F_ {n}}$

On joitain testejä muodon k  2 ^m + 1 numeroille, kuten Fermat -lukujen tekijöille, primaarisuudelle.

Prothin lause (1878). Olkoon = +ja pariton < . Jos on kokonaislukusiten, että ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 2}$^{${\ displaystyle m}$}${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 2}$^{${\ displaystyle m}$}${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a^{(N -1)/2} \ equiv -1 {\ pmod {N}}}$

on sitten huippua. Päinvastoin, jos yllä oleva yhtäpitävyys ei pidä paikkaansa, ja lisäksi ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {N}} \ right) =-1}$(Katso Jacobin symboli )

on sitten yhdistelmä.${\ displaystyle N}$

Jos N  =  F _n > 3, edellä oleva Jacobin symboli on aina yhtä suuri kuin −1, kun a = 3, ja tämä Prothin lauseen erityistapaus tunnetaan Pépinin testinä . Vaikka Pépinin testi ja Prothin lause on toteutettu tietokoneilla joidenkin Fermat -numeroiden koostumuksen osoittamiseksi, kumpikaan testi ei anna erityistä ei -triviaalista tekijää. Itse asiassa n  = 20 ja 24 ei tunneta erityisiä alkutekijöitä .

Fermat -lukujen tekijä

Fermat -numeroiden koon vuoksi on vaikea laskea primaarisuutta tai jopa tarkistaa. Pépinin testi antaa tarvittavan ja riittävän ehdon Fermat -lukujen primaarisuudelle, ja se voidaan toteuttaa nykyaikaisilla tietokoneilla. Elliptinen käyrä Menetelmä on nopea tapa löytää pieniä alkutekijät numeroita. Hajautettu tietojenkäsittelyprojekti Fermatsearch on löytänyt joitain Fermat -lukujen tekijöitä. Yves Gallotin proth.exe -tiedostoa on käytetty suurten Fermat -lukujen tekijöiden löytämiseen. Édouard Lucas , parantaen Eulerin edellä mainittua tulosta, osoitti vuonna 1878, että jokainen Fermat-luvun tekijä , jossa n on vähintään 2, on muodossa (ks. Proth-luku ), jossa k on positiivinen kokonaisluku. Tämä itsessään helpottaa tunnettujen Fermat -alukkeiden primitiivisyyden todistamista. ${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle k \ kertaa 2^{n+2} +1}$

Kahdentoista ensimmäisen Fermat -luvun tekijät ovat:

F 0	=	2 1	+	1	=	3 on ensisijainen
F 1	=	2 2	+	1	=	5 on ensisijainen
F 2	=	2 4	+	1	=	17 on paras
F 3	=	2 8	+	1	=	257 on paras
F 4	=	2 16	+	1	=	65 537 on suurin tunnettu Fermat prime
F 5	=	2 32	+	1	=	4 294 967 297
					=	641 × 6700417 (täysin laskettu 1732)
F 6	=	2 64	+	1	=	18 446 744 073 709 551 617 (20 numeroa)
					=	274177 × 67280421,310,721 (14 numeroa) (täysin tekijä 1855)
F 7	=	2 128	+	1	=	340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457 (39 numeroa)
					=	59 649 589 127 497 217 (17 numeroa) × 5 704 689 200 600 855 129 054 721 (22 numeroa) (täysin tekijä 1970)
F 8	=	2 256	+	1	=	115792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639,937 (78 numeroa)
					=	1 238 926 361 552 897 (16 numeroa) × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 055 237 541 638 18580 280 321 (62 numeroa) (täysin tekijä 1980)
F 9	=	2 512	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49006084097 (155 merkkiä)
					=	2424833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 numeroa) x 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759, 504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 numeroa) (täysin laskelmiin 1990)
F 10	=	2 1024	+	1	=	179769313,486,231,590,772,930 ... 304835356329624224,137,217 (309 numeroa)
					=	45592,577 × 6487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 numeroa) × 130,439,874,405,488,189,727,484 ... 806,217,820,753,127,014,424,577 (252 numeroa) (täysin tekijä 1995)
F 11	=	2 2048	+	1	=	32317,006,071,311,007,300,714,8 ... 193555853,611,059,596,230,657 (617 numeroa)
					=	319489 × 974849 × 167998556341 760475137 (21 numeroa) × 3 560 841 906 445 833 920 513 (22 numeroa) × 173 462 447 179 147 555 430 258 ... 491 382 441 723 306 598 834 177 (564 numeroa)

Vuodesta 2018 lähtien vain F ₀ - F ₁₁ on otettu täysin huomioon . Hajautetun laskennan projekti Fermat'n Hae etsii uusia tekijöitä Fermat'n numeroita. Kaikkien Fermat -tekijöiden joukko on A050922 (tai lajiteltu, A023394 ) OEIS: ssä .

Seuraavat Fermat -lukujen tekijät olivat tiedossa ennen vuotta 1950 (sen jälkeen digitaaliset tietokoneet ovat auttaneet löytämään lisää tekijöitä):

Vuosi	Finder	Fermatin numero	Tekijä
1732	Euler	${\ displaystyle F_ {5}}$	${\ displaystyle 5 \ cdot 2^{7} +1}$
1732	Euler	${\ displaystyle F_ {5}}$ (täysin huomioitu)	${\ displaystyle 52347 \ cdot 2^{7} +1}$
1855	Clausen	${\ displaystyle F_ {6}}$	${\ displaystyle 1071 \ cdot 2^{8} +1}$
1855	Clausen	${\ displaystyle F_ {6}}$ (täysin huomioitu)	${\ displaystyle 262814145745 \ cdot 2^{8} +1}$
1877	Pervushin	${\ displaystyle F_ {12}}$	${\ displaystyle 7 \ cdot 2^{14} +1}$
1878	Pervushin	${\ displaystyle F_ {23}}$	${\ displaystyle 5 \ cdot 2^{25} +1}$
1886	Seelhoff	${\ displaystyle F_ {36}}$	${\ displaystyle 5 \ cdot 2^{39} +1}$
1899	Cunningham	${\ displaystyle F_ {11}}$	${\ displaystyle 39 \ cdot 2^{13} +1}$
1899	Cunningham	${\ displaystyle F_ {11}}$	${\ displaystyle 119 \ cdot 2^{13} +1}$
1903	Läntinen	${\ displaystyle F_ {9}}$	${\ displaystyle 37 \ cdot 2^{16} +1}$
1903	Läntinen	${\ displaystyle F_ {12}}$	${\ displaystyle 397 \ cdot 2^{16} +1}$
1903	Läntinen	${\ displaystyle F_ {12}}$	${\ displaystyle 973 \ cdot 2^{16} +1}$
1903	Läntinen	${\ displaystyle F_ {18}}$	${\ displaystyle 13 \ cdot 2^{20} +1}$
1903	Cullen	${\ displaystyle F_ {38}}$	${\ displaystyle 3 \ cdot 2^{41} +1}$
1906	Morehead	${\ displaystyle F_ {73}}$	${\ displaystyle 5 \ cdot 2^{75} +1}$
1925	Kraitchik	${\ displaystyle F_ {15}}$	${\ displaystyle 579 \ cdot 2^{21} +1}$

Tammikuusta 2021 lähtien tunnetaan 356 Fermat -luvun alkutekijää ja 312 Fermat -lukua tiedetään olevan yhdistettyjä. Vuosittain löydetään useita uusia Fermat -tekijöitä.

Pseudoprimes ja Fermat -numerot

Kuten komposiitti numerot muotoa 2 ^p - 1, joka komposiitti Fermat numero on vahva näennäisalkuluku perustaa 2. Tämä johtuu siitä, että kaikki vahvoja näennäisalkuluku tukiasemalle 2 on myös Fermat'n näennäisalkuluku - ts

${\ displaystyle 2^{F_ {n} -1} \ equiv 1 {\ pmod {F_ {n}}}}$

kaikille Fermat -numeroille.

Vuonna 1904 Cipolla osoitti, että vähintään kahden erillisen alkuluku- tai yhdistelmäfermatiluvun tulo on Fermat -pseudoprime pohjaan 2, jos ja vain jos . ${\ displaystyle F_ {a} F_ {b} \ dots F_ {s},}$ ${\ displaystyle a> b> \ pisteet> s> 1}$${\ displaystyle 2^{s}> a}$

Muut lauseet Fermat -numeroista

Suhde rakennettaviin monikulmioihin

Tunnettujen rakennettavien monikulmioiden sivujen määrä, joissa on enintään 1000 sivua (lihavoitu) tai pariton sivumäärä (punainen)

Carl Friedrich Gauss kehitti teorian Gaussin aikoja hänen Disquisitiones Arithmeticae ja laatinut riittävä edellytys varten constructibility säännöllisen polygoneja. Gauss totesi, että tämä ehto oli myös välttämätön , mutta ei koskaan julkaissut todisteita. Pierre Wantzel esitti täydellisen todistuksen tarpeellisuudesta vuonna 1837. Tulos tunnetaan Gauss -Wantzel -lauseena :

N sivuinen monikulmio, voidaan rakentaa kompassi ja viivoitinkonstruktioin jos ja vain jos n on tuote, jonka teho on 2 ja eri Fermat'n alkuluvut: toisin sanoen, jos ja vain jos n on muotoa n = 2 ^k p ₁ p ₂ ... p _s , jossa k, s ovat ei -negatiivisia kokonaislukuja ja p _i ovat erillisiä Fermat -alukkeita.

Positiivinen kokonaisluku n on edellä esitetyn muotoinen silloin ja vain, jos sen kokonaisluku φ ( n ) on potenssi 2.

Fermat -numeroiden sovellukset

Pseudo -satunnaislukujen luominen

Fermat-alukkeet ovat erityisen hyödyllisiä muodostettaessa näennäissatunnaisia ​​numerosarjoja alueella 1 ... N , jossa N on potenssi 2. Yleisin käytetty menetelmä on ottaa mikä tahansa siemenarvo välillä 1 ja P- 1, missä P on Fermat prime. Nyt moninkertaistaa tämä useilla , joka on suurempi kuin neliöjuuri on P ja on primitiivinen juuri modulo P (eli se ei ole neliönjäännös ). Sitten ottaa tulos modulo P . Tuloksena on RNG: n uusi arvo.

${\ displaystyle V_ {j+1} = \ vasen (A \ kertaa V_ {j} \ oikea) {\ bmod {P}}}$(katso lineaarinen kongruentiivinen generaattori , RANDU )

Tästä on hyötyä tietotekniikassa, koska useimmissa tietorakenteissa on jäseniä, joilla on 2 ^X mahdollista arvoa. Esimerkiksi tavulla on 256 (2 ⁸ ) mahdollista arvoa (0–255). Siksi tavun tai tavujen täyttämiseksi satunnaisarvoilla voidaan käyttää satunnaislukugeneraattoria, joka tuottaa arvot 1–256, ja tavu ottaa tulosarvon −1. Tästä syystä erittäin suuret Fermat -alukkeet ovat erityisen kiinnostuneita tietojen salauksesta. Tämä menetelmä tuottaa vain näennäissatunnaisia arvoja, koska P -1 -toistojen jälkeen sekvenssi toistuu. Huonosti valittu kerroin voi johtaa sekvenssin toistumiseen nopeammin kuin P - 1.

Muita mielenkiintoisia faktoja

Fermat -numero ei voi olla täydellinen luku tai osa sovinnollisia numeroita . ( Luca 2000 )

Kaikkien Fermat -lukujen pääjakajien vastavuoroisten sarja on yhtenevä . ( Křížek, Luca & Somer 2002 )

Jos n ⁿ + 1 on prime, on olemassa kokonaisluku m siten, että n = 2 ^{2 m} . Yhtälö n ⁿ + 1 = F _{(2 ^m + m )} pätee tässä tapauksessa.

Anna suurin tärkein tekijä Fermat'n numero F _n on P ( F _n ). Sitten,

${\ displaystyle P (F_ {n}) \ geq 2^{n+2} (4n+9) +1.}$( Grytczuk, Luca & Wójtowicz 2001 )

Yleistetyt Fermat -numerot

Lomakkeen numeroita, joissa on a , b mitä tahansa rinnakkaislukua , a > b > 0, kutsutaan yleistetyiksi Fermat -numeroiksi . Pariton alkuluku p on yleistetty Fermat -luku silloin ja vain, jos p on yhdenmukainen 1: n kanssa (mod 4) . (Tässä tarkastellaan vain tapausta n > 0, joten 3 = ei ole vastaesimerkki.) ${\ displaystyle a^{2^{\ overset {n} {}}} \! \!+b^{2^{\ overset {n} {}}}}$${\ displaystyle 2^{2^{0}} \!+1}$

Esimerkki tämän muodon todennäköisestä alkupisteestä on 124 ⁶⁵⁵³⁶ + 57 ⁶⁵⁵³⁶ (löytänyt Valeryi Kuryshev).

Analogisesti tavallisten Fermat'n numeroita, se on yhteinen kirjoittaa yleisen Fermat numerot muodossa kuin F _n ( ). Tässä merkinnässä esimerkiksi luku 100 000 001 kirjoitetaan F ₃ (10). Seuraavassa rajoitumme vain tämän muotoisiin alkeisiin, joita kutsutaan "Fermat -alukekohta a ". Tietenkin nämä alkuluvut ovat olemassa vain, jos a on parillinen . ${\ displaystyle a^{2^{\ overset {n} {}}} \! \!+1}$${\ displaystyle a^{2^{\ overset {n} {}}} \! \!+1}$

Jos vaadimme n > 0, Landaun neljäs ongelma kysyy, onko olemassa äärettömän paljon yleistettyjä Fermat -alukkeita F _n ( a ).

Yleistetyt Fermat -alukkeet

Koska primaarisuutensa todistaminen on helppoa, yleistetyistä Fermat -primeistä on tullut viime vuosina lukuteorian tutkimuksen aihe. Monet suurimmista tunnetuista alukkeista ovat yleistettyjä Fermat -alukkeita.

Yleistynyt Fermat numeroita voi olla ensisijainen vain edes , koska jos on pariton jälkeen joka yleistää Fermat'n numero on jaollinen 2. pienin alkuluku kanssa on , tai 30 ³² + 1. Lisäksi voimme määritellä "puoli yleistynyt Fermat'n numerot "Parittoman kannan osalta puoliksi yleistetty Fermat -luku a: n (parittoman a ) perustana on , ja on myös odotettavissa, että kullekin parittomalle emäkselle on vain rajallisesti monta puoliksi yleistettyä Fermat -aluketta. ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$${\ displaystyle n> 4}$${\ displaystyle F_ {5} (30)}$${\ displaystyle {\ frac {a^{2^{n}} \!+1} {2}}}$

(Luettelosta, yleistynyt Fermat'n numerot ( ) ja jopa ovat , outoa , ne ovat . Jos on täydellinen teho pariton eksponentti (sekvenssi A070265 on OEIS ), sitten kaikki yleisen Fermat'n määrä voi olla algebrallinen tekijät, joten ne eivät voi olla ensisijaisia) ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$${\ displaystyle a^{2^{n}} \!+1}$${\ displaystyle {\ frac {a^{2^{n}} \! \!+1} {2}}}$

(Katso pienin numero , joka on alkuluku, katso OEIS :  A253242 ) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {n} (a)}$

${\ displaystyle a}$	sellaisia ​​numeroita , jotka ovat alkulähteitä ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$	${\ displaystyle a}$	sellaisia ​​numeroita , jotka ovat alkulähteitä ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$	${\ displaystyle a}$	sellaisia ​​numeroita , jotka ovat alkulähteitä ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$	${\ displaystyle a}$	sellaisia ​​numeroita , jotka ovat alkulähteitä ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$
2	0, 1, 2, 3, 4, ...	18	0, ...	34	2, ...	50	...
3	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...	19	1, ...	35	1, 2, 6, ...	51	1, 3, 6, ...
4	0, 1, 2, 3, ...	20	1, 2, ...	36	0, 1, ...	52	0, ...
5	0, 1, 2, ...	21	0, 2, 5, ...	37	0, ...	53	3, ...
6	0, 1, 2, ...	22	0, ...	38	...	54	1, 2, 5, ...
7	2, ...	23	2, ...	39	1, 2, ...	55	...
8	(ei mitään)	24	1, 2, ...	40	0, 1, ...	56	1, 2, ...
9	0, 1, 3, 4, 5, ...	25	0, 1, ...	41	4, ...	57	0, 2, ...
10	0, 1, ...	26	1, ...	42	0, ...	58	0, ...
11	1, 2, ...	27	(ei mitään)	43	3, ...	59	1, ...
12	0, ...	28	0, 2, ...	44	4, ...	60	0, ...
13	0, 2, 3, ...	29	1, 2, 4, ...	45	0, 1, ...	61	0, 1, 2, ...
14	1, ...	30	0, 5, ...	46	0, 2, 9, ...	62	...
15	1, ...	31	...	47	3, ...	63	...
16	0, 1, 2, ...	32	(ei mitään)	48	2, ...	64	(ei mitään)
17	2, ...	33	0, 3, ...	49	1, ...	65	1, 2, 5, ...

(Katso lisätietoja (parilliset emäkset 1000 asti), katso myös parittomat emäkset)

(Lomakkeen pienin alkuluku (pariton ), katso myös OEIS :  A111635 ) ${\ displaystyle F_ {n} (a, b)}$${\ displaystyle a+b}$

${\ displaystyle a}$	${\ displaystyle b}$	sellaisia ​​numeroita , jotka ovat alkulähteitä ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ frac {a^{2^{n}}+b^{2^{n}}} {\ gcd (a+b, 2)}} (= F_ {n} (a, b) )}$
2	1	0, 1, 2, 3, 4, ...
3	1	0, 1, 2, 4, 5, 6, ...
3	2	0, 1, 2, ...
4	1	0, 1, 2, 3, ...
4	3	0, 2, 4, ...
5	1	0, 1, 2, ...
5	2	0, 1, 2, ...
5	3	1, 2, 3, ...
5	4	1, 2, ...
6	1	0, 1, 2, ...
6	5	0, 1, 3, 4, ...
7	1	2, ...
7	2	1, 2, ...
7	3	0, 1, 8, ...
7	4	0, 2, ...
7	5	1, 4, ...
7	6	0, 2, 4, ...
8	1	(ei mitään)
8	3	0, 1, 2, ...
8	5	0, 1, 2, ...
8	7	1, 4, ...
9	1	0, 1, 3, 4, 5, ...
9	2	0, 2, ...
9	4	0, 1, ...
9	5	0, 1, 2, ...
9	7	2, ...
9	8	0, 2, 5, ...
10	1	0, 1, ...
10	3	0, 1, 3, ...
10	7	0, 1, 2, ...
10	9	0, 1, 2, ...
11	1	1, 2, ...
11	2	0, 2, ...
11	3	0, 3, ...
11	4	1, 2, ...
11	5	1, ...
11	6	0, 1, 2, ...
11	7	2, 4, 5, ...
11	8	0, 6, ...
11	9	1, 2, ...
11	10	5, ...
12	1	0, ...
12	5	0, 4, ...
12	7	0, 1, 3, ...
12	11	0, ...
13	1	0, 2, 3, ...
13	2	1, 3, 9, ...
13	3	1, 2, ...
13	4	0, 2, ...
13	5	1, 2, 4, ...
13	6	0, 6, ...
13	7	1, ...
13	8	1, 3, 4, ...
13	9	0, 3, ...
13	10	0, 1, 2, 4, ...
13	11	2, ...
13	12	1, 2, 5, ...
14	1	1, ...
14	3	0, 3, ...
14	5	0, 2, 4, 8, ...
14	9	0, 1, 8, ...
14	11	1, ...
14	13	2, ...
15	1	1, ...
15	2	0, 1, ...
15	4	0, 1, ...
15	7	0, 1, 2, ...
15	8	0, 2, 3, ...
15	11	0, 1, 2, ...
15	13	1, 4, ...
15	14	0, 1, 2, 4, ...
16	1	0, 1, 2, ...
16	3	0, 2, 8, ...
16	5	1, 2, ...
16	7	0, 6, ...
16	9	1, 3, ...
16	11	2, 4, ...
16	13	0, 3, ...
16	15	0, ...

(Pienimmille tasaiselle alustalle että on alkuluku, katso OEIS :  A056993 ) ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$

${\ displaystyle n}$	perustaa a , joka on ensisijainen (ota huomioon vain a ) ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$	OEIS -sekvenssi
0	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, ...	A006093
1	2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, ...	A005574
2	2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, ...	A000068
3	2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, ...	A006314
4	2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, ​​396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, ...	A006313
5	30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, ...	A006315
6	102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, .. .	A006316
7	120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, .. .	A056994
8	278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, ...	A056995
9	46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, ...	A057465
10	824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, ...	A057002
11	150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, ...	A088361
12	1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, ...	A088362
13	30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, ...	A226528
14	67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, ...	A226529
15	70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, ...	A226530
16	48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, ...	A251597
17	62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, ...	A253854
18	24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, ...	A244150
19	75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, ...	A243959
20	919444, 1059094, ...	A321323

Pienin pohja b, niin että b ^{2 n} + 1 on prime

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, ... (sekvenssi A056993 , että OEIS )

Pienimmät k, niin että (2 n ) ^k + 1 on prime, ovat

1, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 4, 1, ... (Seuraava termi on tuntematon) (sekvenssi A079706 vuonna OEIS ) (katso myös OEIS :  A228101 ja OEIS :  A084712 )

Kehittyneempää teoriaa voidaan käyttää ennustamaan niiden emästen lukumäärä, joille kiinteä on ensisijainen . Yleistettyjen Fermat -alukkeiden määrän voidaan suunnilleen puolittaa, kun sitä lisätään yhdellä. ${\ displaystyle F_ {n} (a)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Suurimmat tunnetut yleistetyt Fermat -alukkeet

Seuraavassa on luettelo viidestä suurimmasta tunnetusta yleistetystä Fermat -alukkeesta. Ne ovat kaikki megaprimejä . PrimeGrid- hankkeen osallistujat löytävät koko top-5: n .

On Prime sivut voi löytää nykyisen top 100 yleistynyt Fermat alkulukuja .

Katso myös

• Rakennettava monikulmio : mitkä säännölliset monikulmiot voidaan rakentaa, riippuu osittain Fermat -alukkeista.
• Kaksinkertainen eksponentiaalinen funktio
• Lucasin lause
• Mersenne prime
• Pierpont prime
• Primaatiotesti
• Prothin lause
• Pseudoprime
• Sierpińskin numero
• Sylvesterin sekvenssi

Huomautuksia

Viitteet

• Golomb, SW (1. tammikuuta 1963), "Fermat-lukujen vastavuoroisuuksien ja niihin liittyvien irrationaalisuuksien summasta", Canadian Journal of Mathematics , 15 : 475–478, doi : 10.4153/CJM-1963-051-0
• Grytczuk, A .; Luca, F. & Wójtowicz, M. (2001), "Toinen huomautus Fermat-lukujen suurimmista alkutekijöistä", Kaakkois-Aasian Bulletin of Mathematics , 25 (1): 111–115, doi : 10.1007/s10012-001-0111 -4 , S2CID  122332537
• Guy, Richard K. (2004), Ratkaisemattomat ongelmat lukuteoriassa , Ongelmakirjat matematiikassa, 1 (3. painos), New York: Springer Verlag , s. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2001), 17 luentoa Fermat -numeroista: lukuteoriasta geometriaan , CMS -kirjat matematiikassa, 10 , New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 - Tämä kirja sisältää laajan luettelon viitteistä.
• Křížek, Michal; Luca, Florian & Somer, Lawrence (2002), "Fermat -numeroihin liittyvien alukkeiden vastavuoroisten sarjojen lähentymisestä" (PDF) , Journal of Number Theory , 97 (1): 95–112, doi : 10.1006/jnth .2002.2782
• Luca, Florian (2000), " Antisosiaalinen Fermat-numero" , American Mathematical Monthly , 107 (2): 171–173, doi : 10.2307/2589441 , JSTOR  2589441
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3. painos), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Robinson, Raphael M. (1954), "Mersenne and Fermat Numbers", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (5): 842–846, doi : 10.2307/2031878 , JSTOR  2031878
• Yabuta, M. (2001), "Yksinkertainen todiste Carmichaelin lauseesta alkeellisista jakajista" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 : 439-443

Ulkoiset linkit

• Chris Caldwell, Prime -sanasto: Fermat -numero The Prime Pagesissa .
• Luigi Morelli, Fermat -numeroiden historia
• John Cosgrave, Mersennen ja Fermat -numeroiden yhdistäminen
• Wilfrid Keller, Fermat -lukujen päätekijät
• Weisstein, Eric W. "Fermat -numero" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fermat Prime" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fermat Pseudoprime" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Yleistetty Fermat -numero" . MathWorld .
• Yves Gallot, yleistetty Fermat Prime Search
• Mark S. Manasse, täydellinen tekijöihinjako yhdeksännen Fermat'n numero (alkuperäinen ilmoitus)
• Peyton Hayslette, suurin tunnettu yleistetty Fermat Prime -ilmoitus