Vuokaavio (matematiikka) - Flow graph (mathematics)

Virtaus kaavio on muoto suunnattu graafi liittyy lineaarisen algebrallisen tai differentiaaliyhtälöt:

"Signaalin vuokaavio on solmujen (tai pisteiden) verkko, joka on kytketty toisiinsa suunnattujen haarojen avulla ja edustaa lineaaristen algebrallisten yhtälöiden joukkoa. Vuokaavion solmuja käytetään kuvaamaan muuttujia tai parametreja ja yhdistäviä haaroja edustamaan kertoimia. vuokaavio liittyy lukuisiin yksinkertaisiin sääntöihin, jotka mahdollistavat kaikkien [yhtälöihin liittyvien] ratkaisujen löytämisen. "

Vaikka tässä määritelmässä käytetään termejä "signaalivirta-kaavio" ja "vuokaavio" keskenään vaihdettavasti, termiä "signaalivirta-kaavio" käytetään useimmiten Mason-signaalivirta-kaavion osoittamiseen , Mason on tämän terminologian alullepanija työssä sähköverkoissa. Samoin jotkut kirjoittajat käyttävät termiä "virtauskaavio" tarkasti viitaten Coatesin virtauskaavioon . Henley & Williamsin mukaan:

"Nimikkeistö on kaukana standardisoidusta, ja ... standardointia ei voida odottaa lähitulevaisuudessa."

Nimitys "virtauskaavio", joka sisältää sekä Mason-kaavion että Coates-kaavion, ja useita muita sellaisten kaavioiden muotoja, näyttää olevan hyödyllinen, ja se on yhtä mieltä Abrahamsin ja Coverleyn sekä Henleyn ja Williamsin lähestymistavan kanssa.

Suunnattu verkko - kutsutaan myös virtauksen verkko - on tietyn tyyppinen tilavuokaavio. Verkko on kuvaaja, jossa on todellinen määrä, joka liittyy kuhunkin sen reunat, ja jos kuvaaja on suunnattu graafi, tuloksena on suunnattu verkko . Virtauksen kaavio on yleisempi kuin suunnattu verkko, että reunat voivat liittyä voittoja, haara voitot tai läpäisevyydet , tai jopa toiminnot Laplace-operaattori s , jolloin niitä kutsutaan siirtofunktiot .

Kaavioiden ja matriisien sekä graafisten ja matriisien välillä on läheinen suhde. "Matriisien algebrallinen teoria voidaan saada vaikuttamaan kaavioteoriaan tulosten saamiseksi tyylikkäästi", ja päinvastoin, lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen käytetään vuokaavioihin perustuvia kaavioteoreettisia lähestymistapoja.

Johdetaan vuokaavio yhtälöistä

Esimerkki signaalivirta-kaaviosta
Vuokaavio kolmelle samanaikaiselle yhtälölle. Kummassakin solmussa olevat reunat väritetään eri tavalla vain korostamiseksi.

Esitetään esimerkki joihinkin lähtöyhtälöihin liitetystä vuokaaviosta.

Yhtälöryhmän tulisi olla johdonmukainen ja lineaarisesti riippumaton. Esimerkki tällaisesta joukosta on:

Joukkojen yhtälöiden johdonmukaisuus ja riippumattomuus osoitetaan, koska kertoimien determinantti ei ole nolla, joten ratkaisu voidaan löytää käyttämällä Cramerin sääntöä .

Käyttämällä esimerkkejä signaalivirta-kaavioiden alaosasta rakennamme kaavion Kuvassa tässä tapauksessa signaalivirta-kaavio. Voit tarkistaa, että kaavio edustaa annettuja yhtälöitä, siirtymällä solmuun x 1 . Katso tähän solmuun saapuvia nuolia (korostettuna vihreällä) ja niihin kiinnitettyjä painoja. X 1: n yhtälö täyttyy yhtälöimällä se saapuviin nuoliin kiinnitettyjen solmujen summaan kerrottuna näihin nuoliin kiinnitetyillä painoilla. Samoin punaiset nuolet ja niiden painot antavat yhtälön x 2 : lle ja siniset nuolet x 3: lle .

Toinen esimerkki on yleinen tapaus kolmesta samanaikaisesta yhtälöstä määrittelemättömillä kertoimilla:

Vuokaavion asettamiseksi yhtälöt muotoillaan uudelleen, joten kukin tunnistaa yhden muuttujan lisäämällä sen molemmille puolille. Esimerkiksi:

Käyttäen kaaviota ja summaamalla tapahtuvat haarat x 1: ksi, tämän yhtälön katsotaan täyttyvän.

Kun kaikki kolme muuttujaa syötetään näihin uudelleenlaadittuihin yhtälöihin symmetrisesti, symmetria säilyy kaaviossa sijoittamalla kukin muuttuja tasasivuisen kolmion kulmaan. Luvun kiertäminen 120 ° yksinkertaisesti indeksoi indeksit. Tämä rakenne voidaan laajentaa useampaan muuttujaan sijoittamalla solmu jokaiselle muuttujalle säännöllisen monikulmion kärkeen, jossa on niin monta kärkeä kuin muuttujia on.

Tietysti kertoimet ovat merkityksellisiä vain sellaisille arvoille, että yhtälöt ovat riippumattomia ja johdonmukaisia.

Katso myös

Lisälukemista

  • Richard A.Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Määrittävät tekijät" . Kombinatorinen lähestymistapa matriisiteoriaan ja sen sovelluksiin . Chapman & Hall / CRC. s. 63 s . ISBN   9781420082234 . Keskustelu Coatesista ja Mason-vuokaavioista.

Viitteet