Geometrinen vaihe - Geometric phase

On klassinen ja kvanttimekaniikan , geometrinen vaihe on vaihe -ero hankittu aikana on sykli , kun järjestelmä saatetaan syklinen adiabaattinen prosesseja , joka johtuu geometriset ominaisuudet parametrin tila on Hamiltonin . Ilmiön löysivät itsenäisesti T. Kato (1950), S. Pancharatnam (1956) ja HC Longuet-Higgins (1958) ja myöhemmin Sir Michael Berry (1984). Se tunnetaan myös nimellä Pancharatnam -Berry -vaihe , Pancharatnam -vaihe tai Berry -vaihe . Voidaan nähdä, että kartiomainen risteyksessä ja potentiaalista energiaa pintojen ja Aharonov-Böhm vaikutus . Geometristä vaihetta kartiomaisen leikkauskohdan ympärillä, johon liittyy C ₆ H ₃ F ₃ ⁺ -molekyyli-ionin elektroninen maan tila, käsitellään Bunkerin ja Jensenin oppikirjan sivuilla 385-386. Aharonov – Bohm -efektin tapauksessa adiabaattinen parametri on kahden häiriöradan ympäröimä magneettikenttä , ja se on syklinen siinä mielessä, että nämä kaksi polkua muodostavat silmukan. Kartiomaisen leikkauksen tapauksessa adiabaattiset parametrit ovat molekyylikoordinaatit . Kvanttimekaniikan lisäksi sitä esiintyy monissa muissa aaltojärjestelmissä , kuten klassisessa optiikassa . Nyrkkisääntönä se voi tapahtua aina, kun aaltoa luonnehtii ainakin kaksi parametria jonkinlaisen singulaarisuuden tai aukon läheisyydessä; tarvitaan kaksi parametria, koska joko ei -singulaaristen tilojen joukkoa ei yksinkertaisesti yhdistetä tai holonomia on nollasta poikkeava .

Aalloille on ominaista amplitudi ja vaihe , ja ne voivat vaihdella näiden parametrien funktiona. Geometrinen vaihe tapahtuu, kun molempia parametreja muutetaan samanaikaisesti, mutta hyvin hitaasti (adiabaattisesti) ja lopulta palautetaan alkuperäiseen kokoonpanoon. Kvanttimekaniikassa tämä voi sisältää kiertoja, mutta myös hiukkasten käännöksiä, jotka ilmeisesti poistetaan lopussa. Voisi olettaa, että järjestelmän aallot palaavat alkutilaan, jolle on ominaista amplitudit ja vaiheet (ja ajan kuluminen). Kuitenkin, jos parametrien liikkeet vastaavat silmukkaa itsesiirtyvän edestakaisin tapahtuvan vaihtelun sijasta, on mahdollista, että alku- ja lopputila vaihtelevat vaiheissaan. Tämä vaihe -ero on geometrinen vaihe, ja sen esiintyminen osoittaa tyypillisesti, että järjestelmän parametririippuvuus on yksittäinen (sen tila on määrittelemätön) joillekin parametrien yhdistelmille.

Ja mitata geometrinen vaihe aalto System on häiriö kokeilu on tarpeen. Foucault heiluri on esimerkki klassinen mekaniikka , joka on joskus käytetään kuvaamaan geometrinen vaihe. Tämä geometrisen vaiheen mekaniikan analogi tunnetaan Hannay -kulmana .

Marjavaihe kvanttimekaniikassa

Kvanttitilassa järjestelmän n: nnessä eigenstate , adiabaattinen kehitys Hamiltonin näkee järjestelmä edelleen n: nnessä eigenstate Hamiltonin, samalla kun myös saadaan vaiheen tekijä. Saatu vaihe vaikuttaa valtion aikakehitykseen ja toinen ominaistilojen vaihteluihin muuttuvan Hamiltonin kanssa. Toinen termi vastaa Berry-vaihetta ja Hamiltonin epäsyklisten muunnelmien osalta se voidaan saada katoamaan valitsemalla eri vaihe, joka liittyy Hamiltonin ominaistiloihin kussakin evoluution vaiheessa.

Kuitenkin, jos vaihtelu on suhdannevaihtelua, marjavaihetta ei voida peruuttaa; se on muuttumaton ja siitä tulee järjestelmän havaittavissa oleva ominaisuus. Tarkastelemalla Todiste adiabaattisen lauseen antama Max Born ja Vladimir Fockin , vuonna Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), voisimme luonnehtia koko muutos adiabaattisen prosessin vaihe aikavälillä. Adiabaattisen approksimaation alla adiabaattisen prosessin n: nnen ominaistason kerroin saadaan

missä on Berryn vaihe parametrin t suhteen. Kun muuttuja t muutetaan yleistetyiksi parametreiksi, voimme kirjoittaa Berryn vaiheen uudelleen ${\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)}$ missä parametrisoidaan syklinen adiabaattinen prosessi. Huomaa, että normalisointi tarkoittaa, että integraali on kuvitteellinen, joten se on todellinen. Se seuraa suljettua polkua sopivassa parametriavaruudessa. Geometrinen vaihe suljetulla reitillä voidaan myös laskea integroimalla Marjan kaarevuus reunalla olevan pinnan yli . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ left | n, t \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} [C]}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

Esimerkkejä geometrisista vaiheista

Foucaultin heiluri

Yksi helpoimmista esimerkeistä on Foucault -heiluri . Wilczek ja Shapere antavat helpon selityksen geometrisille vaiheille

Miten heiluri etenee, kun se kulkee yleisen polun C ympäri? Kuljetusta pitkin päiväntasaajaa , heiluri ei kiertävät. [...] Jos C muodostuu geodeettisista segmenteistä, kaikki esiasteet tulevat kulmista, joissa geodeettisten segmenttien kohtaamispaikka on; kokonaispredessio on yhtä suuri kuin alijäämäkulma, joka puolestaan ​​on yhtä suuri kuin C -modulo 2π: n ympäröimä kiinteä kulma . Lopuksi voimme lähentää mitä tahansa silmukkaa geodeettisten segmenttien sekvenssillä, joten yleisin tulos (pallon pinnalla tai sen ulkopuolella) on, että nettoprecessio on yhtä suuri kuin suljettu kiinteä kulma.

Toisin sanoen ei ole olemassa inertiavoimia, jotka voisivat tehdä heilurista esiasteen, joten precessio (suhteessa heilurin kantavan polun liikesuuntaan) johtuu kokonaan tämän polun kääntymisestä. Täten heilurin suunta kulkee rinnakkaiskuljetuksella . Alkuperäisessä Foucault -heilurissa polku on leveyspiiri, ja Gauss – Bonnet -lauseen mukaan vaihesiirto saadaan oheisesta kiinteästä kulmasta.

Polarisoitu valo optisessa kuidussa

Toinen esimerkki on lineaarisesti polarisoitu valo, joka tulee yksimuotoiseen optiseen kuituun . Oletetaan, että kuitu jäljittää jonkin reitin avaruudessa ja valo poistuu kuidusta samaan suuntaan kuin se tuli. Vertaa sitten alkuperäistä ja lopullista polarisaatiota. Puoliklassisessa lähestymistavassa kuitu toimii aaltoputkena ja valon liikemäärä on aina tangenttia kuidulle. Polarisaatiota voidaan ajatella suuntauksena kohtisuorassa vauhtiin nähden. Kun kuitu jäljittää polkunsa, valon momenttivektori jäljittää pallon polun liiketila -avaruudessa . Polku on suljettu, koska valon alku- ja loppusuunta osuvat yhteen, ja polarisaatio on palloa tangenttinen vektori. Vauhtitilaan siirtyminen vastaa Gaussin kartan ottamista . Ei ole voimia, jotka voisivat saada polarisaation kääntymään, vain rajoite pysyä pallon tangenttina. Täten polarisaatio siirtyy rinnakkain ja vaihesiirto saadaan suljetusta kiinteästä kulmasta (kertaa spin, joka valon tapauksessa on 1).

Stokastinen pumpun vaikutus

Stokastinen pumppu on klassinen stokastinen järjestelmä, joka reagoi keskimäärin nollasta poikkeavilla virtauksilla parametrien säännöllisiin muutoksiin. Stokastinen pumppuvaikutus voidaan tulkita geometrisen vaiheen muodossa stokastisten virtojen momentinmuodostusfunktion kehityksessä.

Spin 1 / 2

Geometrinen vaihe voidaan arvioida tarkasti varten spin 1 / 2 hiukkanen magneettikentässä.

Geometrinen vaihe määritelty vetimissä

Vaikka Berryn formulaatio oli alun perin määritelty lineaarisille Hamiltonin järjestelmille, Ning ja Haken ymmärsivät pian, että samanlainen geometrinen vaihe voidaan määritellä täysin eri järjestelmille, kuten epälineaarisille hajautumisjärjestelmille, joilla on tiettyjä syklisiä vetovoimia. Ne osoittivat, että tällaisia ​​syklisiä houkuttimia on olemassa epälineaaristen hajottavien järjestelmien luokassa, joilla on tiettyjä symmetrioita.

Valotus molekyylien adiabaattisen potentiaalin pisteiden leikkauspisteissä

Born Oppenheimer -kehyksen sisällä on useita tapoja laskea geometrinen vaihe molekyyleissä. Yksi tapa on määritellä "ei-adiabaattinen kytkentämatriisi " ${\ displaystyle M \ kertaa M}$

$${\ displaystyle \ tau _ {ij} ^{\ mu} = \ vasen \ langle \ psi _ {i} | \ osittainen ^{\ mu} \ psi _ {j} \ oikea \ rangle}$$

missä on adiabaattinen elektroninen aaltofunktio ydinparametreista riippuen . Ei -adiabaattista kytkentää voidaan käyttää määrittämään silmukkaintegraali, joka on analoginen Wilson -silmukan (1974) kanssa kenttäteoriassa ja jonka M. Baer (1975, 1980, 2000) on kehittänyt itsenäisesti molekyylikehystä varten. Koska suljettu silmukka , parametroitu missä on parametri ja . D-matriisin antaa: ${\ displaystyle \ psi _ {i}}$${\ displaystyle R _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle R _ {\ mu} \ vasen (t \ oikea)}$${\ displaystyle t \ in \ vasen [0,1 \ oikea]}$${\ displaystyle R _ {\ mu} \ vasen (t+1 \ oikea) = R _ {\ mu} \ vasen (t \ oikea)}$

$${\ displaystyle D \ left [\ Gamma \ right] = {\ hat {P}} e ^{\ oint _ {\ Gamma} {\ tau ^{\ mu} dR _ {\ mu}}}}$$

(tässä on polun tilaussymboli). Voidaan osoittaa, että kun matriisi on riittävän suuri (eli riittävä määrä elektronisia tiloja otetaan huomioon), tämä matriisi on lävistäjä ja diagonaalielementit ovat yhtä suuret kuin missä ovat geometriset vaiheet, jotka liittyvät silmukkaan adiabaattista elektronista tilaa varten. ${\ displaystyle {\ hattu {P}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle e^{i \ beta _ {j}}}$${\ displaystyle \ beta _ {j}}$${\ displaystyle j}$

Aikakäänteisille symmetrisille elektronisille hamiltonilaisille geometrinen vaihe heijastaa silmukan ympäröimien kartiomaisten leikkausten määrää. Tarkemmin:

$${\ displaystyle e^{i \ beta _ {j}} = \ vasen (-1 \ oikea)^{N_ {j}}}$$

missä on silmukan ympäröimän adiabaattisen tilan kartiomaisten leikkausten määrä . ${\ displaystyle N_ {j}}$${\ displaystyle \ psi _ {j}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Vaihtoehto D-matriisimenetelmälle olisi Pancharatnam-vaiheen suora laskeminen. Tämä on erityisen hyödyllistä, jos olet kiinnostunut vain yhden adiabaattisen tilan geometrisista vaiheista. Tässä lähestymistavassa otetaan useita kohtia pitkin silmukan kanssa ja sitten käytetään vain

j : nnen adiabaattinen todetaan laskee Pancharatnam tuote päällekkäisyyksien: ${\ displaystyle N+1}$${\ displaystyle \ left (n = 0, \ pisteitä, N \ oikea)}$${\ displaystyle R \ vasen (t_ {n} \ oikea)}$${\ displaystyle t_ {0} = 0}$${\ displaystyle t_ {N} = 1}$${\ displaystyle \ psi _ {j} \ vasen [R \ vasen (t_ {n} \ oikea) \ oikea]}$

$${\ displaystyle I_ {j} \ left (\ Gamma, N \ right) = \ prod \ limits _ {n = 0}^{N-1} {\ left \ langle \ psi _ {j} \ left [R \ vasen (t_ {n} \ oikea) \ oikea] | \ psi _ {j} \ vasen [R \ vasen (t_ {n+1} \ oikea) \ oikea] \ oikea \ rangle}}$$

Raja -arvossa on (katso Ryb & Baer 2004 selityksiä ja joitain sovelluksia): ${\ displaystyle N \ to \ infty}$

$${\ displaystyle I_ {j} \ vasen (\ Gamma, N \ oikea) \ - e^{i \ beta _ {j}}}$$

Syklotroniliikkeen geometrinen vaihe ja kvantisointi

Magneettikentälle altistunut elektroni liikkuu pyöreällä (syklotroni) kiertoradalla. Klassisesti mikä tahansa syklotronin säde on hyväksyttävä. Kvanttimekaanisesti vain erilliset energiatasot (

Landau-tasot ) ovat sallittuja, ja koska se liittyy elektronin energiaan, tämä vastaa kvantisoituja arvoja . Schrödingerin yhtälön ratkaisemisella saatu energiakvantisointiehto lukee esimerkiksi vapaille elektroneille (tyhjiössä) tai grafeenissa oleville elektronille missä . Vaikka näiden tulosten johtaminen ei ole vaikeaa, on olemassa vaihtoehtoinen tapa johtaa ne, mikä tarjoaa jossain suhteessa paremman fyysisen näkemyksen Landau -tason kvantisoinnista. Tämä vaihtoehtoinen tapa perustuu puoliklassiseen Bohr-Sommerfeldin kvantisointiehtoon${\ displaystyle B}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle R_ {c}}$${\ displaystyle E = (n+\ alfa) \ hbar \ omega _ {c}, \ alpha = 1/2}$${\ texttyle E = v {\ sqrt {2 (n+\ alpha) eB \ hbar}}, \ alpha = 0}$${\ displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$

joka sisältää geometrisen vaiheen , jonka elektroni ottaa vastaan, kun se suorittaa (todellisen tilan) liikkeen syklotronin kiertoradan suljettua silmukkaa pitkin. Vapaille elektroneille, kun taas elektronille grafeenissa. Osoittautuu, että geometrinen vaihe liittyy suoraan vapaisiin elektroneihin ja grafeenin elektroneihin. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = \ pi}$${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$

Katso myös

• Riemannin kaarevuustensori - yhteys matematiikkaan
• Marjaliitos ja kaarevuus
• Tšernin luokka
• Optinen kierto
• Käämitysnumero

Huomautuksia

^ Yksinkertaisuuden vuoksi katsomme elektronit, jotka rajoittuvat tasoon, kuten2DEGja magneettikenttä kohtisuoraan tasoon nähden.

^ on syklotronitaajuus (vapaille elektroneille) jaFermin nopeus (grafeenissa olevien elektronien). ${\ displaystyle \ omega _ {c} = eB/m}$${\ displaystyle v}$

Alaviitteet

Lähteet

• Jeeva Anandan; Ilo Christian; Kazimir Wanelik (1997). "Lähdekirje GPP-1: Geometriset vaiheet fysiikassa". Olen. J. Phys . 65 (3): 180. arXiv : quant-ph/9702011 . Bibcode : 1997AmJPh..65..180A . doi : 10.1119/1.18570 .
• Cantoni, V .; Mistrangioli, L. (1992). "Kolmen pisteen vaihe, symplektinen mitta ja Berry-vaihe". International Journal of Theoretical Physics . 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP ... 31..937C . doi : 10.1007/BF00675086 .
• Richard Montgomery (8. elokuuta 2006). Kiertue Subriemannian geometriasta, niiden geodeesiasta ja sovelluksista . American Mathematical Soc. s. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5. (Katso luku 13 matemaattisesta käsittelystä)
• Yhteyksiä muihin fyysisiin ilmiöihin (kuten Jahn -Teller -ilmiö ) käsitellään tässä: Berryn geometrinen vaihe: katsaus
• Kirjailija: Galvez Colgaten yliopistossa, joka kuvaa Geometric Phase in Optics: Applications of Geometric Phase in Optics
• Surya Ganguli, kuitukimput ja mittariteoriat klassisessa fysiikassa: yhtenäinen kuvaus putoavista kissoista, magneettisista monopoleista ja marjan vaiheesta
• Robert Batterman, putoavat kissat, rinnakkainen pysäköinti ja polarisoitu valo
• Baer, ​​M. (1975). "Adiabaattiset ja diabeettiset esitykset atomien ja molekyylien törmäyksille: kollineaarisen järjestelyn hoito". Kemiallisen fysiikan kirjeet . 35 (1): 112–118. Bibcode : 1975CPL .... 35..112B . doi : 10.1016/0009-2614 (75) 85599-0 .
• M. Baer, Elektroniset ei-adiabaattiset siirtymät: Yleisen adiabaattisen ja diabeettisen transformaatiomatriisin johtaminen , Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Diabeettisten potentiaalien olemassaolo ja nonadiabaattisen matriisin kvantisointi , J. Phys. Chem. A 104, 3181-3184 (2000).
• Ryb, minä; Baer, ​​R (2004). "Yhdistelmämuunnelmat ja kovarianssit kartiomaisten leikkausten välineinä". Journal of Chemical Physics . 121 (21): 10370-5. Bibcode : 2004JChPh.12110370R . doi : 10.1063/1.1808695 . PMID  15549915 .
• Wilczek, Frank ; Shapere, A. (1989). Geometriset vaiheet fysiikassa . World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Jerrold E. Marsden; Richard Montgomery; Tudor S. Ratiu (1990). Pelkistys, symmetria ja vaiheet mekaniikassa . AMS -kirjakauppa. s. 69. ISBN 978-0-8218-2498-6.
• C. Pisani (1994). Kvanttimekaaninen Ab-initio Laskenta kiteisten materiaalien ominaisuuksista (Italian kemian yhdistyksen IV School of Computational Chemistry -toimikunta, toim.). Springer. s. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
• Mangiarotti, Gennadiĭ Aleksandrovich Sardanashvili (1998). Mittarimekaniikka . World Scientific. s. 281. ISBN 978-981-02-3603-8.
• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Ferrosähköisen fysiikan nykyaikainen näkökulma . Springer. s. 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
• Michael Baer (2006). Syntynyt Oppenheimer . Wiley. ISBN 978-0-471-77891-2.
• CZNing ja H. Haken (1992). "Geometriset vaihe- ja amplitudikertymät dissipatiivisissa järjestelmissä, joissa on syklisiä vetäjiä". Phys. Lett . 68 (14): 2109–2122. Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109 . PMID  10045311 .
• CZNing ja H. Haken (1992). "Geometrinen vaihe epälineaarisissa dissipatiivisissa järjestelmissä". Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541–1568. Bibcode : 1992MPLB .... 6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 .

Lue lisää

• Michael V. Berry; Geometrinen vaihe, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4]