Kaltevuus - Gradient

Kaltevuus, jota edustavat siniset nuolet, osoittaa skalaarifunktion suurimman muutoksen suunnan. Toiminnon arvot esitetään harmaasävyinä ja arvon nousu valkoisesta (matala) tummaksi (korkea).

On vektori hammaskiven , kaltevuus on skalaari-arvo differentiable funktio f on useiden muuttujien on vektori kenttä (tai vektori-funktio ) , jonka arvo pisteessä on vektori , jonka komponentit ovat osittaisderivaatat on osoitteessa . Eli , sen kaltevuus on määritelty pisteessä vuonna n- ulottuvuudessa kuin vektori: ${\ displaystyle \ nabla f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} ^{n} \ - \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ nabla f \ colon \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle p = (x_ {1}, \ pisteitä, x_ {n})}$

${\ displaystyle \ nabla f (p) = {\ alkaa {bmatrix} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {n}}} (p) \ loppu {bmatriisi}}.}$

Nabla symboli , kirjoitettu ylösalaisin kolmio ja lausutaan "del", tarkoittaa vektori ero operaattori . ${\ displaystyle \ nabla}$

Kaltevuusvektori voidaan tulkita "nopeimman kasvun suuntaan ja nopeuteen". Jos funktion kaltevuus ei ole nolla kohdassa p , kaltevuuden suunta on suunta, johon funktio kasvaa nopeimmin p: stä , ja kaltevuuden suuruus on nousunopeus tähän suuntaan, suurin absoluuttinen suuntajohdannainen. Lisäksi kaltevuus on nollavektori pisteessä silloin ja vain, jos se on paikallaan oleva piste (jossa derivaatta katoaa). Kaltevuus on siten keskeinen rooli optimointiteoriassa , jossa sitä käytetään maksimoimaan funktio kaltevuuden nousulla .

Kaltevuus on kaksinkertainen kokonaisjohdannaiseen nähden : gradientin arvo pisteessä on tangenttivektori - vektori kussakin pisteessä; kun taas johdannaisen arvo pisteessä on ko tangenttivektori - lineaarinen funktio vektoreissa. Ne liittyvät, että piste tuote gradientin f pisteessä p toisen tangentti v on sama kuin suunta johdannainen on f on p funktion pitkin v ; eli , . Kaltevuus sallii useita yleistyksiä yleisempiin toimintoihin jakotukissa ; katso § Yleistykset . ${\ displaystyle df}$${\ texttyle \ nabla f (p) \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ mathbf {v}}} (p) = df _ {\ mathbf {v}} (p) }$

Motivaatio

2D -funktion kaltevuus f ( x , y ) = xe ^{- ( x 2 + y 2 )} piirretään sinisinä nuolina funktion pseudovärikaavion päälle.

Tarkastellaan huoneessa, jonka lämpötila on antama skalaarikenttä , T , niin kussakin pisteessä ( x , y , z ) lämpötila on T ( x , y , z ) , riippumaton ajasta. Huoneen jokaisessa pisteessä T : n kaltevuus tässä kohdassa näyttää suunnan, johon lämpötila nousee nopeimmin ja siirtyy pois ( x , y , z ) . Kaltevuuden suuruus määrittää, kuinka nopeasti lämpötila nousee kyseiseen suuntaan.

Tarkastellaan pintaa, jonka korkeus merenpinnan yläpuolella kohdassa ( x , y ) on H ( x , y ) . Gradientti H- pisteessä on taso vektori osoittaa suuntaan jyrkimmän kaltevuus tai luokka tässä vaiheessa. Kaltevuuden jyrkkyys tuossa pisteessä saadaan kaltevuusvektorin suuruudesta.

Kaltevuutta voidaan käyttää myös mittaamaan, kuinka skalaarikenttä muuttuu muihin suuntiin eikä vain suurimman muutoksen suuntaan ottamalla pisteellinen tuote . Oletetaan, että mäen jyrkin rinne on 40%. Suoraan ylämäkeen menevän tien kaltevuus on 40%, mutta mäen ympäri kulkevan tien kaltevuus on matalampi. Esimerkiksi, jos tie on 60 ° kulmassa ylöspäin suunnassa (kun molempiin suuntiin heijastetaan vaakatasossa), sitten kulmakerroin tiellä on piste tuotteen välillä gradienttivektorin ja yksikkövektori tiellä eli 40% kertaa kosini 60 ° tai 20%.

Yleisemmin, jos mäkeä korkeus toiminto H on derivoituva , sitten gradientilla H täynnä kanssa yksikkövektori antaa rinteessä suuntaan vektorissa suuntaava johdannainen on H pitkin yksikkövektori.

Merkintä

Gradientti toiminto kohdassa on yleensä kirjoitetaan . Se voidaan myös merkitä jollakin seuraavista: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ nabla f (a)}$

• ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} f (a)}$ : korostaa tuloksen vektori -luonnetta.
• grad f
• ${\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x}} \ oikea | _ {x = a}}$
• ${\ displaystyle \ vasen. {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ mathbf {x}}} \ oikea | _ {\ mathbf {x = a}}}$
• ${\ displaystyle \ partial _ {i} f}$ja  : Einstein -merkintä .${\ displaystyle f_ {i}}$

Määritelmä

Funktion kaltevuus f ( x , y ) = - (cos ² x + cos ² y ) ^{2, joka on} kuvattu projisoiduna vektorikentänä pohjatasolla.

Kaltevuus (tai gradienttivektorin kenttä) on skalaarifunktion f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , ..., x _n ) on merkitty ∇ f tai ∇ → f jossa ∇ ( nabla ) tarkoittaa vektori ero operaattori , del . Merkintää grad f käytetään myös yleisesti kaltevuuden esittämiseen. F: n kaltevuus määritellään ainutlaatuiseksi vektorikenttään, jonka pistetulo minkä tahansa vektorin v kanssa kussakin pisteessä x on f: n suuntajohdannainen pitkin v . Tuo on,

${\ displaystyle {\ big (} \ nabla f (x) {\ big)} \ cdot \ mathbf {v} = D _ {\ mathbf {v}} f (x).}$

Muodollisesti kaltevuus on kaksoiskappale johdannaiseen; katso suhde johdannaiseen .

Kun funktio riippuu myös parametrista, kuten ajasta, kaltevuus viittaa usein yksinkertaisesti vain sen spatiaalisten derivaattojen vektoriin (katso Spatial gradient ).

Kaltevuusvektorin suuruus ja suunta ovat riippumattomia tietystä koordinaattiesityksestä .

Suorakulmaiset koordinaatit

Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa, jossa on euklidinen mittari , kaltevuus, jos sellainen on, annetaan:

${\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x}} \ mathbf {i} +{\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen y}} \ mathbf {j} +{\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen z}} \ mathbf {k},}$

jossa i , j , k ovat vakioyksikkövektoreita x- , y- ja z -koordinaattien suunnassa . Esimerkiksi funktion kaltevuus

${\ displaystyle f (x, y, z) = 2x+3y^{2}-\ sin (z)}$

On

${\ displaystyle \ nabla f = 2 \ mathbf {i} +6y \ mathbf {j} -\ cos (z) \ mathbf {k}.}$

Joissakin sovelluksissa on tapana esittää gradientti sen osien rivi- tai sarakevektorina suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä; tässä artikkelissa noudatetaan sitä käytäntöä, että kaltevuus on sarakevektori, kun taas johdannainen on rivivektori.

Sylinterimäiset ja pallomaiset koordinaatit

On sylinterimäinen koordinaatit , jossa euklidisen metrinen, gradientti on:

${\ displaystyle \ nabla f (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ rho}} \ mathbf {e} _ {\ rho}+{\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ varphi}} \ mathbf {e} _ {\ varphi}+{\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen z}} \ mathbf {e} _ { z},}$

jossa ρ on aksiaalinen etäisyys, φ on atsimuutti- tai atsimuuttikulma, z on aksiaalikoordinaatti ja e _ρ , e _φ ja e _z ovat koordinaattisuuntia pitkin osoittavat yksikkövektorit.

In pallokoordinaateissa , gradientti on:

${\ displaystyle \ nabla f (r, \ theta, \ varphi) = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen r}} \ mathbf {e} _ {r}+{\ frac {1} {r}} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta}+{\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen \ varphi}} \ mathbf {e} _ {\ varphi},}$

missä r on säteittäinen etäisyys, φ on atsimutaalikulma ja θ on napakulma, ja e _r , e _θ ja e _φ ovat jälleen paikallisia yksikkövektoreita, jotka osoittavat koordinaattisuunnissa (eli normalisoitu kovarianssiperusta ).

Muiden ortogonaalisten koordinaattijärjestelmien kaltevuus , katso Ortogonaaliset koordinaatit (differentiaalioperaattorit kolmessa ulottuvuudessa) .

Yleiset koordinaatit

Tarkastelemme yleisiä koordinaatteja , jotka kirjoitamme x ¹ ,…, x ⁱ ,…, x ⁿ , missä n on alueen mittojen lukumäärä. Tässä ylempi indeksi viittaa sijaintiin koordinaatin tai komponentin luettelossa, joten x ² viittaa toiseen komponenttiin - ei määrään x neliöinä. Indeksimuuttuja i viittaa mielivaltaiseen elementtiin x ⁱ . Käyttämällä Einstein -merkintää gradientti voidaan sitten kirjoittaa seuraavasti:

${\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x^{i}}} g^{ij} \ mathbf {e} _ {j}}$ (Huomaa, että sen kaksoiskappale on ),${\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x ^{i}}} \ mathbf {e} ^{i}}$

missä ja viittaavat vastaavasti normalisoimattomiin paikallisiin kovarianteihin ja vastaaviin emäksiin , on käänteinen metrinen tensori , ja Einsteinin summauskäytäntö viittaa yhteenlaskuun yli i: n ja j: n . ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ osittainen \ mathbf {x} /\ osittainen x^{i}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} ^{i} = \ mathrm {d} x ^{i}}$${\ displaystyle g^{ij}}$

Jos koordinaatit ovat ortogonaalisia, voimme ilmaista kaltevuuden (ja differentiaalin ) helposti normalisoiduilla kannoilla, joita kutsumme nimellä, ja käyttämällä mittakaavakertoimia (tunnetaan myös nimellä Lamé -kertoimet )  : ${\ displaystyle {\ hattu {\ mathbf {e}}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ hattu {\ mathbf {e}}}^{i}}$${\ displaystyle h_ {i} = \ lVert \ mathbf {e} _ {i} \ rVert = 1 \,/\ lVert \ mathbf {e} ^{i} \ rVert}$

${\ displaystyle \ nabla f = \ summa _ {i = 1}^{n} \, {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x^{i}}} {\ frac {1} {h_ {i} }} \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$ (ja ),${\ displaystyle \ mathrm {d} f = \ summa _ {i = 1}^{n} \, {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x^{i}}} {\ frac {1} {h_ {i}}} \ mathbf {\ hat {e}} ^{i}}$

jossa emme voi käyttää Einsteinin merkintätapaa, koska on mahdotonta välttää useamman kuin kahden indeksin toistumista. Käytöstä huolimatta ylemmän ja alemman indeksit, , , ja eivät ole contravariant eivätkä covariant. ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} ^{i}}$${\ displaystyle h_ {i}}$

Jälkimmäinen lauseke arvioi edellä esitettyjen lieriömäisten ja pallomaisten koordinaattien lausekkeiden perusteella.

Suhde johdannaiseen

Suhde kokonaisjohdannaiseen

Kaltevuus liittyy läheisesti kokonaisjohdannaiseen ( kokonaisero ) : ne on transponoitu ( kaksoiskappale ) toisiinsa. Käyttämällä käytäntöä, jonka mukaan vektoreita edustavat sarakevektorit ja että covektorit (lineaariset kartat ) edustavat rivivektoreita , gradientti ja johdannainen ilmaistaan ​​sarake- ja rivivektorina, vastaavasti samoilla komponenteilla, mutta kukin niistä muu: ${\ displaystyle df}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ nabla f}$${\ displaystyle df}$

${\ displaystyle \ nabla f (p) = {\ alkaa {bmatrix} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {n}}} (p) \ loppu {bmatriisi}};}$

${\ displaystyle df_ {p} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (p) & \ cdots & {\ frac {\ partial f} {\ partical x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}}.}$

Vaikka näillä molemmilla on samat komponentit, ne eroavat toisistaan ​​matemaattisen objektin suhteen: kussakin kohdassa derivaatta on kotangenttivektori , lineaarinen muoto ( covector ), joka ilmaisee kuinka paljon (skalaari) lähtö muuttuu tietyn äärettömän pienen suhteen muutos (vektori) -tulossa, kun taas kussakin kohdassa kaltevuus on tangenttivektori , joka edustaa äärettömän pientä muutosta (vektori) syötteessä. Symboleihin, kaltevuus on osa tangenttitilan pisteessä, samalla kun johdannainen on kartta tangenttitilan todellinen määrä, . Tangentin tilat jokaisessa pisteessä voidaan "luonnostaan" tunnistetaan vektorilla tilaa itse, ja vastaavasti kotangentti tila kussakin kohdassa voidaan luonnollisesti tunnistetaan kaksi vektori tila on covectors; näin ollen gradientin arvo tietyssä kohdassa voidaan ajatella vektoria alkuperäisessä , ei vain tangenttivektoria. ${\ displaystyle \ nabla f (p) \ in T_ {p} \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle df_ {p} \ kaksoispiste T_ {p} \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^{n}) ^{*}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Laskennallisesti vektori voidaan kertoa tangenttivektorin avulla derivaatalla (matriiseina), joka vastaa pistetulon ottamista gradientilla:

${\ displaystyle (df_ {p}) (v) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {1}}} (p) & \ cdots & {\ frac {\ part f } {\ osittainen x_ {n}}} (p) \ loppu {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} = \ summa _ { i = 1}^{n} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {i}}} (p) v_ {i} = {\ aloita {bmatrix} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {1}}} (p) \\\ vdots \\ {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {n}}} (p) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\\ vdots \\ v_ {n} \ end {bmatrix}} = \ nabla f (p) \ cdot v}$

Differentiaali- tai (ulkopuolinen) johdannainen

Paras lineaarinen lähentäminen eriytettävään funktioon

${\ displaystyle f \ kaksoispiste \ mathbb {R} ^{n} \ - \ mathbb {R}}$

pisteessä x on R ⁿ on lineaarinen kartan R ⁿ ja R , joka on usein merkitty df _x tai Df ( x ) ja kutsutaan ero tai koko johdannainen on f on x . Toiminnon df , joka kartoittaa x on df _x , kutsutaan koko ero tai ulkopuoli johdannainen on f ja on esimerkki ero 1-muodossa .

Paljon kuin johdannainen funktiona yhden muuttujan edustaa kulmakerroin on tangentin on kuvaaja funktion, suuntaava johdannainen toiminnon useiden muuttujien edustaa Tangentin kulmakerroin hypertason suuntaan vektorin.

Kaltevuus liittyy differentiaaliin kaavalla

${\ displaystyle (\ nabla f) _ {x} \ cdot v = df_ {x} (v)}$

missä tahansa v ∈ R ⁿ , missä on pistetulo : vektorin pistetuloksen ottaminen gradientilla on sama kuin suuntajohdannaisen ottaminen vektoria pitkin. ${\ displaystyle \ cdot}$

Jos R ⁿ nähdään (ulottuvuuden n ) sarakevektoreiden (todellisten lukujen) avaruutena, df voidaan pitää rivivektorina, jossa on komponentteja

${\ displaystyle \ vasen ({\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {1}}}, \ pisteitä, {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x_ {n}}} \ oikea),}$

niin että df _x ( v ) saadaan matriisin kertomalla . Olettaen, että standardi Euklidisen metriikan on R ⁿ , gradientti niin vastaava sarake vektori, joka on,

${\ displaystyle (\ nabla f) _ {i} = df_ {i}^{\ mathsf {T}}.}$

Lineaarinen lähentäminen funktioon

Paras funktion lineaarinen lähentäminen voidaan ilmaista gradientilla eikä johdannaisella. Kaltevuus on funktio f päässä euklidinen avaruus R ⁿ ja R missä tahansa tietyssä pisteessä x ₀ on R ⁿ on ominaista paras lineaarinen approksimaatio on f on x ₀ . Arviointi on seuraava:

${\ displaystyle f (x) \ noin f (x_ {0})+(\ nabla f) _ {x_ {0}} \ cdot (x-x_ {0})}$

ja x lähellä x ₀ , jossa (∇ f  ) _{x 0} on gradientti f lasketussa x ₀ , ja piste tarkoittaa piste tuotteen R ⁿ . Tämä yhtälö vastaa f : n x ₀ : n monimuuttujaisen Taylor -sarjan laajennuksen kahta ensimmäistä termiä .

Suhde Fréchet -johdannaiseen

Olkoon U olla avoin joukko on R ⁿ . Jos toiminto f  : U → R on derivoituva, niin ero on f on Fréchet johdannainen on f . Siten ∇ f on funktio U: sta avaruuteen R ⁿ siten, että

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {| f (x+h) -f (x)-\ nabla f (x) \ cdot h |} {\ | h \ |}} = 0 ,}$

missä · on pisteellinen tuote.

Tämän seurauksena johdannaisen tavanomaiset ominaisuudet säilyvät kaltevuudessa, vaikka kaltevuus ei ole itse johdannainen, vaan pikemminkin kaksinkertainen johdannaiseen nähden:

Lineaarisuus

Gradientti on lineaarinen siinä mielessä, että jos f ja g ovat kaksi todellista-funktioiden differentioituva pisteessä ∈ R ⁿ , ja α ja β ovat kaksi vakioita, sitten aF + pG on derivoituva on , ja lisäksi

${\ displaystyle \ nabla \ left (\ alfa f+\ beta g \ right) (a) = \ alpha \ nabla f (a)+\ beta \ nabla g (a).}$

Tuotesääntö

Jos f ja g ovat reaaliarvoisia funktioita, jotka ovat eriytettävissä pisteessä a ∈ R ⁿ , tuotesääntö väittää, että tuote fg on eriytettävä kohdassa a , ja

${\ displaystyle \ nabla (fg) (a) = f (a) \ nabla g (a)+g ​​(a) \ nabla f (a).}$

Ketjusääntö

Oletetaan, että f  : → R on reaaliarvoinen funktio määritelty osajoukko on R ⁿ , ja että f on derivoituva pisteessä . Kaltevuuteen sovelletaan kahta ketjusäännön muotoa. Oletetaan ensin, että funktio g on parametrinen käyrä ; toisin sanoen funktio g  : I → R ⁿ kuvaa osajoukon I ⊂ R osaksi R ⁿ . Jos g on eriytettävä pisteessä c ∈ I siten, että g ( c ) = a , niin

${\ displaystyle (f \ circ g) '(c) = \ nabla f (a) \ cdot g' (c),}$

jossa ∘ on koostumusoperaattori : (  f  ∘  g ) ( x ) = f ( g ( x )) .

Yleisemmin, jos sen sijaan I ⊂ R ^k , seuraava pätee:

${\ displaystyle \ nabla (f \ circ g) (c) = {\ big (} Dg (c) {\ big)}^{\ mathsf {T}} {\ big (} \ nabla f (a) {\ iso)},}$

jossa ( Dg ) ^T tarkoittaa transponoivaa jakobilaista matriisia .

Ja toisessa muodossa ketjun säännön, oletetaan, että h  : I → R on reaaliarvoinen funktio osajoukko I on R , ja että h on derivoituva pisteessä f ( ) ∈ I . Sitten

${\ displaystyle \ nabla (h \ circ f) (a) = h '{\ big (} f (a) {\ big)} \ nabla f (a).}$

Muita ominaisuuksia ja sovelluksia

Tasosarjat

Tasainen pinta tai isopinta on kaikkien pisteiden joukko, joissa jollakin funktiolla on tietty arvo.

Jos f on eriytettävä, niin gradientin pistetulo (∇ f  ) _x ⋅ v pisteessä x vektorilla v antaa f: n suuntajohdannaisen x : ssä suunnassa v . Tästä seuraa, että tässä tapauksessa gradienttia f on ortogonaalinen sen tason sarjaa ja f . Esimerkiksi tasopinta kolmiulotteisessa avaruudessa määritetään yhtälöllä, jonka muoto on F ( x , y , z ) = c . F: n kaltevuus on sitten normaali pintaan nähden.

Yleisemmin ottaen mikä tahansa Riemannin jakotukin upotettu hypersurface voidaan leikata yhtälönä muodossa F ( P ) = 0 siten, että dF ei ole missään nolla. F: n kaltevuus on tällöin normaali hyperpintaan nähden.

Samoin affiininen algebrallinen hypersurface voidaan määritellä yhtälöllä F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , jossa F on polynomi. F: n kaltevuus on nolla hyperpinnan yksittäisessä kohdassa (tämä on singulaaripisteen määritelmä). Ei-singulaarisessa kohdassa se on nollasta poikkeava normaali vektori.

Konservatiiviset vektorikentät ja kaltevuuslause

Funktion kaltevuutta kutsutaan kaltevuuskentäksi. (Jatkuva) kaltevuuskenttä on aina konservatiivinen vektorikenttä : sen viivaintegraali millä tahansa polulla riippuu vain polun päätepisteistä, ja se voidaan arvioida gradienttilauseella (viivaintegraalien laskentaperuste). Sitä vastoin (jatkuva) konservatiivinen vektorikenttä on aina funktion gradientti.

Yleistykset

Jacobian

Jacobin matriisi on yleistys gradientin vektori-funktioiden useiden muuttujien ja differentioituvia karttojen välillä Euclidean tilojen tai, yleisemmin, pakosarjat . Toinen yleistys Banach -tilojen väliselle funktiolle on Fréchet -johdannainen .

Oletetaan, että f  : ℝ ⁿ → ℝ ^m on sellainen funktio, että jokainen sen ensimmäisen kertaluvun osajohdannaisista on olemassa kohdassa ℝ ⁿ . Sitten f: n jakobilainen matriisi on m × n -matriisi, joka on merkitty tai yksinkertaisesti . ( I , j ) : nnen merkintä on . Selkeästi ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbb {f}} (\ mathbb {x})}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ osittainen f_ {i}} {\ osittainen x_ {j}}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ alkaa {bmatrix} {\ dfrac {\ osittainen \ mathbf {f}} {\ osittainen x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ osittainen \ mathbf {f }} {\ osittainen x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ nabla ^{\ mathsf {T}} f_ {1} \\\ vdots \\\ nabla ^{\ mathsf {T}} f_ {m} \ end {bmatrix}} = {\ aloita {bmatrix} {\ dfrac {\ osittainen f_ {1}} {\ osittainen x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ osittainen f_ {1}} {\ osittainen x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ osittainen f_ {m}} {\ osittainen x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ osittainen f_ {m}} {\ osittainen x_ {n}}} \ loppu {bmatriisi}}.}$

Vektorikentän kaltevuus

Koska vektorikentän kokonaisjohdannainen on lineaarinen kartoitus vektoreista vektoreihin, se on tensorimäärä .

Suorakulmaisissa koordinaateissa vektorikentän kaltevuus f = (  f ¹ , f ² , f ³ ) määritetään seuraavasti:

${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f} = g^{jk} {\ frac {\ osittainen f^{i}} {\ osittainen x^{j}}} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ matematiikka {e} _ {k},}$

(jossa Einstein summaus merkintää käytetään ja tensoritulo vektorien e _i ja e _k on dyadic tensorin tyypin (2,0)). Kaiken kaikkiaan tämä lauseke vastaa Jaakobin matriisin transponointia:

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen f^{i}} {\ osittainen x^{j}}} = {\ frac {\ osittainen (f^{1}, f^{2}, f^{3} )} {\ osittainen (x^{1}, x^{2}, x^{3})}}}}$

Kaarevissa koordinaateissa tai yleisemmin kaarevassa jakotukissa kaltevuus sisältää Christoffel -symboleja :

${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f} = g^{jk} \ vasen ({\ frac {\ osittainen f^{i}} {\ osittainen x^{j}}}+{\ Gamma^{i}} _ {jl} f^{l} \ oikea) \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {k},}$

jossa g ^jk ovat käänteisen metrisen tensorin komponentit ja e _i ovat koordinaattipohjaiset vektorit.

Muuttumattomammin ilmaistuna vektorikentän f kaltevuus voidaan määrittää Levi-Civita-yhteydellä ja metrijärjestelmällä:

${\ displaystyle \ nabla^{a} f^{b} = g^{ac} \ nabla _ {c} f^{b},}$

missä ∇ _c on yhteys.

Riemannin jakotukit

Minkä tahansa sileän funktion f osalta Riemannin jakotukissa ( M , g ) f: n kaltevuus on vektorikenttä ∇ f sellainen, että minkä tahansa vektorikentän X ,

${\ displaystyle g (\ nabla f, X) = \ osittainen _ {X} f,}$

tuo on,

${\ displaystyle g_ {x} {\ big (} (\ nabla f) _ {x}, X_ {x} {\ big)} = (\ osittainen _ {X} f) (x),}$

jossa g _x (,) tarkoittaa sisemmän tuote tangentin vektoreita x määritelty metrinen g ja ∂ _X  f on funktio, joka ottaa minkä tahansa pisteen x ∈ M suuntakytkimelle johdannainen f suunnassa X , arvioitiin x . Toisin sanoen, on koordinoida kaavion φ avoimesta osajoukko M avoimeen osajoukko R ⁿ , (∂ _X  f  ) ( x ) on:

${\ displaystyle \ sum _ {j = 1}^{n} X^{j} {\ big (} \ varphi (x) {\ big)} {\ frac {\ partial} {\ osittainen x_ {j}} } (f \ circ \ varphi ^{-1}) {\ Bigg |} _ {\ varphi (x)},}$

jossa X ^j merkitsee j : nnen komponentin X tässä koordinaatistossa kaaviossa.

Joten kaltevuuden paikallinen muoto on muoto:

${\ displaystyle \ nabla f = g^{ik} {\ frac {\ osittainen f} {\ osittainen x^{k}}} {\ textbf {e}} _ {i}.}$

Yleistäen tapausta M = R ⁿ , funktion gradientti liittyy sen ulkoiseen derivaattaan, koska

${\ displaystyle (\ osittainen _ {X} f) (x) = (df) _ {x} (X_ {x}).}$

Tarkemmin sanottuna, gradientti ∇ f on vektori kenttä liittyvän differentiaalisen 1-muodossa df käyttäen musiikin isomorphism

${\ displaystyle \ sharp = \ terävä ^{g} \ kaksoispiste T ^{*} M \ to TM}$

(kutsutaan "teräväksi"), jonka määrittelee metriikka g . Suhde ulkopinnan johdannaisen ja kaltevuus on toiminto R ⁿ on erikoistapaus tämän, jossa tieto on tasainen metrinen antama pistetulo.

Katso myös

• Kiemura
• Eroaminen
• Neljä gradienttia
• Hessenin matriisi
• Vino kaltevuus

Huomautuksia

Viitteet

• Bachman, David (2007), Advanced Calculus Demystified , New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-148121-2
• Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Ensimmäinen kurssi lineaarisessa algebrassa: valinnaisella johdannolla ryhmiin, renkaisiin ja kenttiin , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Downing, Douglas, tohtori (2010), Barronin EZ Calculus , New York: Barron's , ISBN 978-0-7641-4461-5
• Dubrovin, BA; Fomenko, AT; Novikov, SP (1991). Moderni geometria - menetelmät ja sovellukset: Osa I: Pintojen geometria, muunnosryhmät ja kentät . Graduate Texts in Mathematics (2. painos). Springer. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Harper, Charlie (1976), Johdatus matemaattiseen fysiikkaan , New Jersey: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3. painos), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• "McGraw Hillin tieteen ja teknologian tietosanakirja". McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10. painos). New York: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Moise, Edwin E. (1967), Calculus: Complete , Reading: Addison-Wesley
• Protter, Murray H .; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2. painos), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
• Schey, HM (1992). Div, Grad, Curl ja All That (2. painos). WW Norton. ISBN 0-393-96251-2. OCLC  25048561 .
• Stoker, JJ (1969), Differentiaaligeometria , New York: Wiley , ISBN 0-471-82825-4
• Swokowski, Earl W .; Olinick, Michael; Pence, Dennis; Cole, Jeffery A. (1994), Calculus (6. painos), Boston: PWS Publishing Company, ISBN 0-534-93624-5

Lue lisää

• Korn, Theresa M .; Korn, Granino Arthur (2000). Matemaattinen käsikirja tutkijoille ja insinööreille: Määritelmät, lauseet ja kaavat viitteille ja katsauksille . Doverin julkaisut. s. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC  43864234 .

Ulkoiset linkit

• "Kaltevuus" . Khan Academy .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Gradient" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Weisstein, Eric W. "Gradient" . MathWorld .