Järjestetty pari - Ordered pair

On matematiikka , järjestetty pari ( , b ) on pari esineitä. Järjestys, jossa objektit esiintyvät parissa, on merkittävä: tilattu pari ( a , b ) on eri kuin tilattu pari ( b , a ), ellei a = b . (Sitä vastoin järjestämätön pari { a , b } vastaa järjestämätöntä paria { b , a }.)

Järjestettyjä pareja kutsutaan myös 2-tupleiksi tai sekvensseiksi (joskus luetteloiksi tietotekniikan kontekstissa), joiden pituus on 2. Järjestettyjä skalaaripareja kutsutaan joskus 2-ulotteisiksi vektoreiksi . (Teknisesti tämä on väärinkäyttöä terminologian koska järjestetty pari ei tarvitse olla osa on vektoriavaruudessa .) Merkinnät tilatun pari voi olla muita tilata paria, joka mahdollistaa rekursiivinen määritelmä tilata n -tuples (tilataan luettelot n esineitä). Esimerkiksi tilattu kolminkertainen ( a , b , c ) voidaan määritellä ( a , ( b , c )), eli yhdeksi pariksi, joka on sisäkkäin.

On järjestetty pari ( , b ), kohde kutsutaan ensimmäisen merkinnän , ja objektin b toinen merkintä parin. Vaihtoehtoisesti objekteja kutsutaan ensimmäiseksi ja toiseksi komponentiksi , ensimmäiseksi ja toiseksi koordinaatiksi tai tilatun parin vasempaan ja oikeaan projektioon .

Karteesiset tuotteet ja binäärisuhteet (ja siten funktiot ) määritellään järjestettyinä pareina.

Yleistä

Antaa ja tilata pareittain. Sitten tilatun parin ominaisuus (tai määrittävä ) ominaisuus on: ${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1})}$ ${\ displaystyle (a_ {2}, b_ {2})}$

{\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) = (a_ {2}, b_ {2}) {\ text {jos ja vain jos}} a_ {1} = a_ {2} {\ text {ja }} b_ {1} = b_ {2}.}

Joukko kaikista tilata paria, jonka ensimmäinen osa on joissakin joukko ja jonka toinen osa on joissakin joukko B kutsutaan karteesinen tuote on ja B , ja kirjallinen x B . Binäärirelaatio välillä vahvistetaan ja B on osajoukko on × B .

$( , B)$ merkintää voidaan käyttää muihin tarkoituksiin, erityisesti sillä tarkoitetaan auki välein on reaaliluku linja . Tällaisissa tilanteissa asiayhteys tekee yleensä selväksi, mikä merkitys on tarkoitettu. Lisäselvyyden vuoksi tilattua paria voidaan merkitä varianttimerkinnällä , mutta tällä merkinnällä on myös muita käyttötarkoituksia. ${\ texttyle \ langle a, b \ rangle}$

Parin p vasen ja oikea projektio on yleensä merkitty $π$ ₁ ( p ) ja $π$ ₂ ( p ) tai $π$ _ℓ ( p ) ja $π$ _r ( p ). Kontekstissa, joissa harkitaan mielivaltaisia n -pistettä, $π$ ⁿ
_i( t ) on yleinen merkintä n -kertaisen t: n i: nteen komponenttiin .

Epäviralliset ja muodolliset määritelmät

Joissakin johdantomatematiikan oppikirjoissa annetaan epävirallinen (tai intuitiivinen) määritelmä tilatusta parista, kuten

Kahdelle objektille $a$ ja $b$ tilattu pari $(a, b)$ on merkintä, joka määrittää kaksi kohdetta $a$ ja $b$ tässä järjestyksessä.

Tätä seuraa yleensä vertailu kahden elementin joukkoon; huomauttaa, että joukon $a$ ja $b$ on oltava erilaisia, mutta järjestetyssä parissa ne voivat olla yhtä suuret ja että vaikka joukon elementtien luettelointijärjestyksellä ei ole väliä, tilatussa parissa eri merkintöjen järjestystä muutetaan tilattu pari.

Tämä "määritelmä" ei ole tyydyttävä, koska se on vain kuvaava ja perustuu intuitiiviseen käsitykseen järjestyksestä . Kuitenkin, kuten joskus huomautetaan, tähän kuvaukseen luottaminen ei aiheuta haittaa, ja lähes kaikki ajattelevat tilattuja pareja tällä tavalla.

Tyydyttävämpi lähestymistapa on havaita, että yllä esitetty järjestettyjen parien ominaisominaisuus on kaikki mitä tarvitaan järjestettyjen parien roolin ymmärtämiseksi matematiikassa. Näin ollen tilattua paria voidaan pitää primitiivisenä käsityksenä , jonka aksiooma on ominaisominaisuus. Tätä lähestymistapaa käytti N. Bourbaki -ryhmä vuonna 1954 julkaistussa sarjojensa teoriassa. Tällä lähestymistavalla on kuitenkin myös haittoja, koska sekä tilattujen parien olemassaolo että niiden ominaisominaisuus on oletettava aksiomaattisesti.

Toinen tapa käsitellä tiukasti järjestettyjä pareja on määritellä ne muodollisesti joukkoteorian yhteydessä. Tämä voidaan tehdä useilla tavoilla ja sillä on se etu, että olemassaolo ja ominaisuus voidaan todistaa joukkoteorian määrittelevistä aksioomista. Yksi mainituimmista versioista tästä määritelmästä johtuu Kuratowskista (katso alla), ja hänen määritelmäänsä käytettiin Bourbakin Theory of Sets -julkaisun toisessa painoksessa , joka julkaistiin vuonna 1970. Jopa ne matemaattiset oppikirjat, jotka antavat epävirallisen määritelmän järjestetyille pareille, ovat usein mainita Kuratowskin muodollinen määritelmä harjoituksessa.

Tilatun parin määrittäminen joukkoteorian avulla

Jos yksi myöntää, että joukko-oppi on houkutteleva matematiikan perusteet , niin kaikki matemaattiset objektit on määritettävä sarjaa jonkinlaisia. Jos siis tilattua paria ei pidetä primitiivisenä, se on määriteltävä joukkona. Alla on useita joukkoteoreettisia määritelmiä tilatusta parista (katso myös).

Wienerin määritelmä

Norbert Wiener ehdotti ensimmäistä teoreettista määritelmää tilatusta parista vuonna 1914:

{\ displaystyle \ left (a, b \ right): = \ vasen \ {\ vasen \ {\ vasen \ {a \ oikea \}, \, \ tyhjäsarja \ oikea \}, \, \ vasen \ {\ vasen \ {b \ oikea \} \ oikea \} \ oikea \}.}

Hän totesi, että tämän määritelmän avulla voitiin määritellä tyyppejä ja Principia Mathematica sarjoina. Principia Mathematica oli pitänyt tyyppejä ja siten kaikkien ariteettien suhteita alkeellisina .

Wiener käyttää {{ b }} sijasta { b } tehdä määritelmä soveltuu tyyppi teoriaan jossa kaikki elementit luokan on oltava sama "tyyppi". Kun b on lisätty joukkoon, sen tyyppi on yhtä suuri kuin 's. ${\ displaystyle \ {\ {a \}, \ tyhjäsarja \}}$

Hausdorffin määritelmä

Noin samaan aikaan kuin Wiener (1914), Felix Hausdorff ehdotti määritelmää:

{\ displaystyle (a, b): = \ vasen \ {\ {a, 1 \}, \ {b, 2 \} \ oikea \}}

"jossa 1 ja 2 ovat kaksi erillistä kohdetta, jotka eroavat a: sta ja b: stä."

Kuratowskin määritelmä

Vuonna 1921 Kazimierz Kuratowski tarjosi tilatun parin ( a , b ) nyt hyväksytyn määritelmän :

{\ displaystyle (a, \ b) _ {K} \;: = \ \ {\ {a \}, \ \ {a, \ b \} \}.}

Huomaa, että tätä määritelmää käytetään, vaikka ensimmäinen ja toinen koordinaatti ovat identtiset:

{\ displaystyle (x, \ x) _ {K} = \ {\ {x \}, \ {x, \ x \} \} = \ {\ {x \}, \ \ {x \} \} = \ {\ {x \} \}}

Joidenkin tilattujen parien p perusteella ominaisuus " x on p: n ensimmäinen koordinaatti " voidaan muotoilla seuraavasti:

{\ displaystyle \ koko Y \ in p: x \ in Y.}

Ominaisuus " x on p: n toinen koordinaatti " voidaan muotoilla seuraavasti:

{\ displaystyle (\ olemassa Y \ in p: x \ in Y) \ land (\ kaikkialla Y_ {1}, Y_ {2} \ in p: Y_ {1} \ neq Y_ {2} \ rightarrow (x \ notin Y_ {1} \ lor x \ notin Y_ {2})).}

Siinä tapauksessa, että vasen ja oikea koordinaatti ovat identtiset, oikea konjunktiivi on vähäpätöinen, koska Y ₁ ≠ Y ₂ ei koskaan pidä paikkaansa. ${\ displaystyle (\ kaikkiaan Y_ {1}, Y_ {2} \ in p: Y_ {1} \ neq Y_ {2} \ oikea nuoli (x \ notin Y_ {1} \ lor x \ notin Y_ {2})) }$

Näin voimme poimia parin ensimmäisen koordinaatin (käyttämällä mielivaltaisen leikkauksen ja mielivaltaisen liitoksen merkintätapaa ):

{\ displaystyle \ pi _ {1} (p) = \ bigcup \ bigcap s.}

Toinen koordinaatti voidaan poimia seuraavasti:

{\ displaystyle \ pi _ {2} (p) = \ isokuppi \ vasen \ {\ vasen.x \ sisään \ isokuppi p \, \ oikea | \, \ iso kuppi p \ neq \ bigcap p \ oikea nuoli x \ notin \ bigcap p \ oikea \}.}

Vaihtoehdot

Edellä oleva Kuratowskin määritelmä tilatusta parista on "riittävä", koska se täyttää ominaisominaisuuden, jonka tilatun parin on täytettävä, nimittäin sen . Erityisesti se ilmaisee riittävästi "järjestystä", mikä on väärin, ellei . On myös muita samankaltaisia tai vähemmän monimutkaisia määritelmiä, jotka ovat yhtä riittäviä: ${\ displaystyle (a, b) = (x, y) \ leftrightarrow (a = x) \ land (b = y)}$ ${\ displaystyle (a, b) = (b, a)}$ ${\ displaystyle b = a}$

${\ displaystyle (a, b) _ {\ text {reverse}}: = \ {\ {b \}, \ {a, b \} \};}$
${\ displaystyle (a, b) _ {\ text {short}}: = \ {a, \ {a, b \} \};}$
${\ displaystyle (a, b) _ {\ text {01}}: = \ {\ {0, a \}, \ {1, b \} \}.}$

Päinvastainen määritelmä on vain vähäpätöinen variantti Kuratowski määritelmän ja sellaisenaan ei ole mitään riippumatonta etua. Lyhyt määritelmä on niin sanottu, koska se vaatii kaksi eikä kolme paria hakasulkeita . Osoittaa, että short täyttää ominaisuusominaisuuden, vaatii Zermelo - Fraenkelin joukkoteorian säännöllisyyden aksiooman . Lisäksi, jos käytetään von Neumann asetetun teoreettista rakentaminen luonnolliset luvut , sitten 2 on määritelty joukon {0, 1} = {0, {0}}, jotka eivät ole erotettavissa pari (0, 0) _lyhyt . Vielä yksi lyhyen parin haittapuoli on se, että vaikka a ja b ovat samantyyppisiä, lyhyen parin elementit eivät ole. (Jos = b niin lyhyt versio pitää ottaa mahtavuutta 2, joka on jotain voisi odottaa mitään "parin", mukaan lukien "järjestetty pari". Huomaa myös, että lyhyttä versiota käytetään Tarski-Grothendieck joukko-oppi , johon Mizar -järjestelmä perustuu.)

Todistetaan, että määritelmät täyttävät ominaisominaisuuden

Todista: ( a , b ) = ( c , d ) jos ja vain jos a = c ja b = d .

Kuratowski :
Jos . Jos a = c ja b = d , niin {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}. Siten ( a, b ) _K = ( c, d ) _K .

Vain jos . Kaksi tapausta: a = b ja a ≠ b .

Jos a = b :

( a, b ) _K = {{ a }, { a, b }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }}.

( c, d ) _K = {{ c }, { c, d }} = {{ a }}.

Näin { c } = { c, d } = { a }, mikä tarkoittaa a = c ja a = d . Hypoteesin mukaan a = b . Siksi b = d .

Jos a ≠ b , niin ( a, b ) _K = ( c, d ) _K merkitsee {{ a }, { a, b }} = {{ c }, { c, d }}.

Oletetaan, että { c, d } = { a }. Sitten c = d = a ja niin {{ c }, { c, d }} = {{ a }, { a, a }} = {{ a }, { a }} = {{ a }}. Mutta silloin {{ a }, { a, b }} olisi myös yhtä kuin {{ a }}, joten b = a, joka on ristiriidassa kohdan a ≠ b kanssa .

Oletetaan, että { c } = { a, b }. Sitten a = b = c , joka on myös ristiriidassa a ≠ b: n kanssa .

Siksi { c } = { a }, niin että c = a ja { c, d } = { a, b }.

Jos d = a olivat totta, { c, d } = { a, a } = { a } ≠ { a, b }, ristiriita. Näin ollen d = b on niin, että a = c ja b = d .

Käänteinen :
( a, b ) _käänteinen = {{ b }, { a, b }} = {{ b }, { b, a }} = ( b, a ) _K .

Jos . Jos ( a, b ) _käänteinen = ( c, d ) _taaksepäin , ( b, a ) _K = ( d, c ) _K . Siksi b = d ja a = c .

Vain jos . Jos a = c ja b = d , niin {{ b }, { a, b }} = {{ d }, { c, d }}. Siten ( a, b ) _käänteinen = ( c, d ) _käänteinen .

Lyhyt:

Jos : Jos a = c ja b = d , niin { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Siten ( a, b ) _lyhyt = ( c, d ) _lyhyt .

Vain jos : Oletetaan { a , { a, b }} = { c , { c, d }}. Sitten a on vasemmalla puolella ja siten oikealla puolella. Koska yhtäläisillä joukkoilla on yhtä suuret elementit, on oltava jokin a = c tai a = { c, d }.

Jos a = { c, d }, { a, b } on samalla tavalla kuin edellä, oikealla puolella, joten { a, b } = c tai { a, b } = { c, d }.

Jos { a, b } = c, niin c on kohteessa { c, d } = a ja a on c , ja tämä yhdistelmä on ristiriidassa säännöllisyyden aksiooman kanssa, koska { a, c }: lla ei ole minimielementtiä suhteessa "elementti" . "

Jos { a, b } = { c, d }, niin on osa , mistä = { c, d } = { a, b }, jälleen ristiriitaisia säännöllisyys.

Siksi a = c on pidettävä.

Näemme jälleen, että { a, b } = c tai { a, b } = { c, d }.

Vaihtoehto { a, b } = c ja a = c merkitsee sitä, että c on osa c , ristiriitaisia säännöllisyys.

Meillä on siis a = c ja { a, b } = { c, d } ja näin: { b } = { a, b } \ { a } = { c, d } \ { c } = { d }, niin b = d .

Quine -Rosserin määritelmä

Rosser (1953) käytti Quinen johdosta määritetyn parin määritelmää, joka edellyttää luonnollisten lukujen määrittämistä etukäteen . Antaa olla joukko luonnollisia numeroita ja määritellä ensin ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle \ sigma (x): = {\ aloita {tapaukset} x ja {\ teksti {if}} x \ ei \ matemaattisessa {N}, \\ x+1 ja {\ teksti {if} } x \ in \ mathbb {N}. \ end {tapaukset}}}

Funktio lisää argumenttiaan, jos se on luonnollinen luku, ja jättää sen muutoin; numero 0 ei näy funktionaalisena arvona . Kuten joukko elementtejä ei jatka ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle x \ smallsetminus \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle \ varphi (x): = \ sigma [x] = \ {\ sigma (\ alpha) \ mid \ alpha \ in x \} = (x \ smallsetminus \ mathbb {N}) \ cup \ {n+ 1: n \ in (x \ cap \ mathbb {N}) \}.}

Tämä on joukko kuva joukko alle , joskus merkitään mukaan samoin. Funktion käyttäminen joukkoon x yksinkertaisesti lisää jokaista sen luonnollista lukua. Erityisesti ei koskaan sisällä numero 0, joten mistään sarjaa x ja y , ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma '' x}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi (x)}$

{\ displaystyle \ varphi (x) \ neq \ {0 \} \ cup \ varphi (y).}

Määrittele lisäksi

{\ displaystyle \ psi (x): = \ sigma [x] \ cup \ {0 \} = \ varphi (x) \ cup \ {0 \}.}

Tämä sisältää aina numeron 0. ${\ displaystyle \ psi (x)}$

Määritä lopuksi tilattu pari ( A , B ) erilliseksi liitokseksi

{\ displaystyle (A, B): = \ varphi [A] \ cup \ psi [B] = \ {\ varphi (a): a \ in A \} \ cup \ {\ varphi (b) \ cup \ { 0 \}: b \ paikassa B \}.}

(joka on vaihtoehtoisessa merkinnässä). ${\ displaystyle \ varphi '' A \ cup \ psi '' B}$

Talteen kaikki elementit pari, jotka eivät sisällä 0 ja avaamalla saannot . Samoin B voidaan palauttaa parin elementeistä, jotka sisältävät 0. ${\ displaystyle \ varphi}$

Esimerkiksi pari on koodattu toimitettuna . ${\ displaystyle (\ {\ {a, 0 \}, \ {b, c, 1 \} \}, \ {\ {d, 2 \}, \ {e, f, 3 \} \})}$ ${\ displaystyle \ {\ {a, 1 \}, \ {b, c, 2 \}, \ {d, 3,0 \}, \ {e, f, 4,0 \}}$ ${\ displaystyle a, b, c, d, e, f \ notin \ mathbb {N}}$

In tyyppi teoria ja outgrowths sen, kuten itsestään selvää set theory NF , Quine-Rosser pari on samaa tyyppiä kuin sen ulokkeet ja näin ollen kutsutaan "tyyppi-tason" järjestetty pari. Tästä syystä tällä määritelmällä on se etu, että se mahdollistaa järjestetyn parin joukkona määritellyn funktion tyypin, joka on vain 1 korkeampi kuin sen argumenttien tyyppi. Tämä määritelmä toimii vain, jos luonnollisten lukujen joukko on ääretön. Näin on NF: ssä , mutta ei tyyppiteoriassa tai NFU: ssa . J. Barkley Rosser osoitti, että tällaisen tyyppitason järjestetyn parin olemassaolo (tai jopa "tyypin korotus yhdellä" järjestetyllä parilla) merkitsee äärettömyyden aksioomaa . Laajasta keskustelusta tilatusta parista Quinianin joukkoteorioiden yhteydessä, katso Holmes (1998).

Cantor -Fregen määritelmä

Joukoteorian kehityksen alkuvaiheessa, ennen paradoksien löytämistä, Cantor seurasi Fregea määrittelemällä kahden joukon järjestetty pari kaikkien näiden joukkojen välisten suhteiden luokkaan olettaen, että suhteen käsite on alkeellinen:

{\ displaystyle (x, y) = \ {R: xRy \}.}

Tätä määritelmää ei voida hyväksyä useimmissa nykyaikaisissa muodollisissa joukkoteorioissa, ja se on metodologisesti samanlainen kuin joukon kardinaalin määrittäminen kaikkien annettujen joukkojen kanssa yhtäläisten joukkojen luokiksi.

Morsen määritelmä

Morse -Kelley -joukkoteoria käyttää ilmaisia oikeita luokkia . Morse määritti tilatun parin siten, että sen projektiot voivat olla oikeita luokkia ja joukkoja. (Kuratowskin määritelmä ei salli tätä.) Hän määritteli ensin järjestetyt parit, joiden projektiot ovat joukkoja Kuratowskin tapaan. Sitten hän määritteli parin uudelleen

{\ displaystyle (x, y) = (\ {0 \} \ times s (x)) \ cup (\ {1 \} \ times s (y))}

missä komponentit Cartesian -tuotteet ovat Kuratowski -sarjaparia ja missä

{\ displaystyle s (x) = \ {\ tyhjäsarja \} \ kuppi \ {\ {t \} \ puolivälissä \ \ x \}}

Tämä tekee mahdollisista pareista, joiden projektiot ovat oikeita luokkia. Yllä oleva Quine -Rosser -määritelmä sallii myös oikeat luokat ennusteina. Samoin kolminkertainen määritellään 3-tupleksi seuraavasti:

{\ displaystyle (x, y, z) = (\ {0 \} \ times s (x)) \ cup (\ {1 \} \ times s (y)) \ cup (\ {2 \} \ times s (z))}

Yksittäisjoukon, johon on lisätty tyhjä joukko, käyttö antaa tupleille ainutlaatuisuusominaisuuden, että jos a on n -piste ja b on m -monikerta ja a = b, niin n = m . Tilattuilla kolminkertaisilla, jotka määritellään tilatuiksi pareiksi, ei ole tätä ominaisuutta tilattujen parien suhteen. ${\ displaystyle s (x)}$

Aksomaattinen määritelmä

Tilatut parit voidaan ottaa käyttöön myös Zermelo – Fraenkel -joukkoteoriassa (ZF) aksioomaattisesti lisäämällä ZF: ään vain uusi funktion symboli ariteetti 2 (se yleensä jätetään pois) ja määrittävä aksiooma seuraaville : ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f (a_ {1}, b_ {1}) = f (a_ {2}, b_ {2}) {\ text {jos ja vain jos}} a_ {1} = a_ {2} {\ text {ja}} b_ {1} = b_ {2}.}

Tämä määritelmä on hyväksyttävä, koska tämä ZF: n laajennus on konservatiivinen laajennus .

Määritelmä auttaa välttämään niin kutsuttuja tahattomia lauseita, kuten (a, a) = {{a}}, {a} ∈ (a, b), jos Kuratowskin määritelmä (a, b) = {{a}, {a, b }} käytettiin.

Luokka teoria

Kommutatiivinen kaavio asetetulle tuotteelle X ₁ × X ₂ .

Luokan teoreettista tuote x B on luokan sarjaa edustaa joukko tilata paria, ensimmäisen elementin kanssa, jotka ovat peräisin ja toinen tulevan B . Tässä yhteydessä tunnusomainen ominaisuus edellä on seurausta yleinen ominaisuus tuotteen ja se, että elementit joukko X voidaan tunnistaa morphisms 1 (yksi elementti sarja), jolloin X . Vaikka eri esineillä voi olla yleinen ominaisuus, ne ovat kaikki luonnostaan isomorfisia .

Languages

In other projects