Täydellinen kokonaisluku - Perfect totient number

In numero teoria , joka on täydellinen totient numero on kokonaisluku, joka on yhtä suuri kuin summa sen iteroidaan totients . Toisin sanoen käytämme totient -funktiota numeroon n , sovellamme sitä uudelleen tuloksena olevaan totienttiin ja niin edelleen, kunnes numero 1 saavutetaan, ja laskemme yhteen tuloksena olevan numerosarjan; jos summa on n , niin n on täydellinen kokonaisluku.

Esimerkiksi positiivisia kokonaislukuja on alle 9 ja suhteellisen alkulukuisia , joten kokonaisluku 9 on 6; kaksi numeroa on alle 6 ja suhteellisen alkulukuisia, joten kokonaisluku 6 on 2; ja yksi numero on pienempi kuin 2 ja suhteellisen alkuluku, joten kokonaisluku 2 on 1; ja 9 = 6 + 2 + 1 , joten 9 on täydellinen kokonaisluku.

Ensimmäiset täydelliset kokonaisluvut ovat

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (sekvenssi A082897 on OEIS ).

Symboleissa kirjoitetaan

${\ displaystyle \ varphi ^{i} (n) = {\ begin {tapaukset} \ varphi (n) ja {\ text {if}} i = 1 \\\ varphi (\ varphi ^{i-1} ( n)), & {\ teksti {if}} i \ geq 2 \ end {tapaukset}}}$

iteroidulle totient -funktiolle. Sitten jos c on kokonaisluku niin, että

${\ displaystyle \ displaystyle \ varphi ^{c} (n) = 2,}$

yksi on, että n on täydellinen kokonaisluku, jos

${\ displaystyle n = \ summa _ {i = 1} ^{c+1} \ varphi ^{i} (n).}$

Kolmen kerrannaiset ja voimat

Voidaan havaita, että monet täydelliset totientit ovat 3: n kerrannaisia ; itse asiassa 4375 on pienin täydellinen totientiluku, joka ei ole jaollinen 3: lla. Kaikki 3: n potenssit ovat täydellisiä totenttilukuja, kuten voidaan nähdä induktiolla käyttämällä sitä tosiasiaa, että

${\ displaystyle \ displaystyle \ varphi (3^{k}) = \ varphi (2 kertaa 3^{k}) = 2 kertaa 3^{k-1}.}$

Venkataraman (1975) löysi toisen täydellisten kokonaislukujen perheen: jos p = 4 × 3 ^k  + 1 on alkuluku , niin 3 p on täydellinen kokonaisluku. Tällöin täydellisiin kokonaislukuihin johtavat k: n arvot ovat

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (sekvenssi A005537 on OEIS ).

Yleisemmin, jos p on alkuluku, joka on suurempi kuin 3, ja 3 p on täydellinen kokonaisluku, niin p ≡ 1 ( mod 4) (Mohan ja Suryanarayana 1982). Kaikki tämän muodon p eivät johda täydellisiin kokonaislukuihin; esimerkiksi 51 ei ole täydellinen kokonaisluku. Iannucci et ai. (2003) osoittivat, että jos 9 p on täydellinen kokonaisluku, p on alkuluku jossakin kolmesta paperissaan luetellusta lomakkeesta. Ei tiedetä, onko olemassa täydellisiä kokonaislukuja muodossa 3 ^k p, jossa p on alkuluku ja k > 3.

Viitteet

• Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). "Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos". Revista Matematica Hispano-Americana . 5 (3): 45–50.

• Guy, Richard K. (2004). Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa . New York: Springer-Verlag. s. §B41. ISBN 0-387-20860-7.

• Iannucci, Douglas E .; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). "Täydellisillä kokonaisluvuilla" (PDF) . Journal of Integer Sequence . 6 (4): 03.4.5. MR  2051959 . Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 12.8.2017 . Haettu 2007-02-07 .

• Luca, Florian (2006). "Täydellisten totientien jakamisesta" (PDF) . Journal of Integer Sequence . 9 (4): 06.4.4. MR  2247943 . Arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 11.8.2017 . Haettu 2007-02-07 .

• Mohan, AL; Suryanarayana, D. (1982). "Täydelliset kokonaisluvut". Numeroteoria (Mysore, 1981) . Luennon muistiinpanoja matematiikassa, voi. 938, Springer-Verlag. s. 101–105. MR  0665442 .

• Venkataraman, T. (1975). "Täydellinen kokonaisluku". Matematiikan opiskelija . 43 : 178. MR  0447089 .

Tämä artikkeli sisältää materiaalia Perfect Totient Numberista PlanetMathissa , joka on lisensoitu Creative Commons Attribution/Share-Alike License -lisenssillä .