Toisen asteen integraali - Quadratic integral

On matematiikka , joka on toisen asteen kiinteä on kiinteä muotoa

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a+bx+cx^{2}}}.}

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a+bx+cx^{2}}} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {dx} {\ left (x+{\ frac {b} {2c}} \ oikea)^{2}+\ vasen ({\ frac {a} {c}}-{\ frac {b^{2}} {4c^{2}}} \ oikea) }}.}

Positiivinen-syrjivä tapaus

Oletetaan, että erottelija q = b ² - 4 ac on positiivinen. Määritä tällöin u ja A by

{\ displaystyle u = x+{\ frac {b} {2c}},}

ja

{\ displaystyle -A^{2} = {\ frac {a} {c}} -{\ frac {b^{2}} {4c^{2}}} = {\ frac {1} {4c^{ 2}}} \ vasen (4ac-b^{2} \ oikea).}

Toisen asteen integraali voidaan nyt kirjoittaa muodossa

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a+bx+cx^{2}}} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {du} {u^{2} -A ^{2}}} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {du} {(u+A) (uA)}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {(u+A) (uA)}} = {\ frac {1} {2A}} \ vasen ({\ frac {1} {uA}}-{\ frac {1 } {u+A}} \ oikea)}

avulla voimme arvioida integraalin:

{\ displaystyle {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {du} {(u+A) (uA)}} = {\ frac {1} {2Ac}} \ ln \ left ({\ frac {uA} {u+A}} \ oikea)+{\ teksti {vakio}}.}

Lopullisen tuloksen alkuperäiselle integraalille olettaen, että q > 0 on

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a+bx+cx^{2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {q}}} \ ln \ left ({\ frac {2cx+b -{\ sqrt {q}}} {2cx+b+{\ sqrt {q}}}} \ oikea)+{\ teksti {vakio}}.}

Jos erottaja q = b ² - 4 ac on negatiivinen, nimittäjän toinen termi

{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a+bx+cx^{2}}} = {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {dx} {\ left (x+{\ frac {b} {2c}} \ oikea)^{2}+\ vasen ({\ frac {a} {c}}-{\ frac {b^{2}} {4c^{2}}} \ oikea) }}.}

on positiivinen. Sitten integraali muuttuu

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {c}} \ int {\ frac {du} {u^{2}+A^{2}}} & = {\ frac {1} { cA}} \ int {\ frac {du/A} {(u/A)^{2} +1}} \\ [9pt] & = {\ frac {1} {cA}} \ int {\ frac { dw} {w^{2} +1}} \\ [9pt] & = {\ frac {1} {cA}} \ arctan (w)+\ mathrm {vakio} \\ [9pt] & = {\ frac {1} {cA}} \ arctan \ vasen ({\ frac {u} {A}} \ oikea)+{\ text {vakio}} \\ [9pt] & = {\ frac {1} {c {\ sqrt {{\ frac {a} {c}}-{\ frac {b^{2}} {4c^{2}}}}}}} \ arctan \ left ({\ frac {x+{\ frac {b } {2c}}} {\ sqrt {{\ frac {a} {c}}-{\ frac {b^{2}} {4c^{2}}}}}} \ oikea)+{\ teksti { vakio}} \\ [9pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {4ac-b^{2} \,}}} \ arctan \ left ({\ frac {2cx+b} {\ sqrt {4ac -b^{2}}}} \ oikea)+{\ teksti {vakio}}. \ loppu {tasattu}}}

Weisstein, Eric W. " Toisen asteen integraali ". Kohteesta MathWorld --Huomaa Wolfram WWW-resurssin, jolloin seuraava viitataan:
Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Juri Veniaminovitš ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [lokakuu 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (toim.). Taulukko integraaleista, sarjoista ja tuotteista . Kääntäjä Scripta Technica, Inc. (8 toim.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276 .