Siniaalto - Sine wave

Sini- (kiinteä punainen) ja kosini (pisteviiva sininen) -funktioiden kuvaajat ovat eri vaiheiden sinimuotoja

Siniaalto tai sinusoidi on matemaattinen käyrä , joka kuvaa sileä määräajoin värähtely . Siniaalto on jatkuva aalto . Se on nimetty funktion sinin mukaan, jonka kuvaaja se on . Sitä esiintyy usein sekä puhtaassa että soveltavassa matematiikassa sekä fysiikassa , tekniikassa , signaalinkäsittelyssä ja monilla muilla aloilla. Sen perusmuoto ajan funktiona ( t ) on:

{\ displaystyle y (t) = A \ sin (2 \ pi ft+\ varphi) = A \ sin (\ omega t+\ varphi)}

missä:

A , amplitudi , funktion huippupoikkeama nollasta.
f , tavallinen taajuus , määrä heilahtelut (syklit), jotka tapahtuvat kunkin sekunnin ajan.
ω = 2π f , kulmataajuus , funktion argumentin muutosnopeus radiaaneina sekunnissa
${\ displaystyle \ varphi}$ , vaihe , määrittää ( radiaaneina ) missä syklin värähtely on t = 0.
Kun ei ole nolla, koko aaltomuoto näyttää siirtyneen ajassa φ / ω sekuntia. Negatiivinen arvo edustaa viivästystä ja positiivinen arvo edistystä. ${\ displaystyle \ varphi}$

Siniaalto

2 sekuntia 220 Hz: n siniaaltoa. Tämä on ääniaalto, jota kuvaa sinifunktio, jossa f = 220 värähtelyä sekunnissa.

Ongelmia tämän tiedoston toistamisessa? Katso median ohjeet .

Vaimentamattoman jousimassavärähtelyn tasapainon värähtely on siniaalto.

Siniaalto on tärkeä fysiikassa, koska se säilyttää aaltomuotonsa, kun se lisätään toiseen saman taajuuden ja mielivaltaisen vaiheen ja suuruuden siniaaltoon. Se on ainoa jaksollinen aaltomuoto, jolla on tämä ominaisuus. Tämä ominaisuus johtaa sen tärkeyteen Fourier -analyysissä ja tekee siitä akustisesti ainutlaatuisen.

Yleinen muoto

Yleensä toiminnolla voi olla myös:

paikkatietomuuttuja x, joka edustaa asemaa ulottuvuudessa, jolla aalto etenee, ja ominaisparametri k, jota kutsutaan aaltoluvuksi (tai kulma -aallon numeroksi), joka edustaa suhteellisuutta kulmataajuuden ω ja lineaarisen nopeuden ( etenemisnopeus ) välillä ν ;
nollasta poikkeava keskiamplitudi, D

mikä on

${\ displaystyle y (x, t) = A \ sin (kx- \ omega t+\ varphi)+D}$ , jos aalto liikkuu oikealle
${\ displaystyle y (x, t) = A \ sin (kx+\ omega t+\ varphi)+D}$ , jos aalto liikkuu vasemmalle.

Aaltoluku liittyy kulmataajuuteen seuraavasti:

{\ displaystyle k = {\ frac {\ omega} {v}} = {\ frac {2 \ pi f} {v}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}

jossa λ (lambda) on aallonpituus , f on taajuus ja v on lineaarinen nopeus.

Tämä yhtälö antaa siniaallon yhdelle ulottuvuudelle; siten edellä esitetty yleistetty yhtälö antaa aallon siirtymän kohdassa x hetkellä t yhdellä suoralla. Tätä voitaisiin esimerkiksi pitää aallon arvona lankaa pitkin.

Kahdessa tai kolmessa spatiaalisessa ulottuvuudessa sama yhtälö kuvaa kulkevaa tasoaaltoa, jos asema x ja aaltoluku k tulkitaan vektoreiksi ja niiden tulo pisteeksi . Monimutkaisemmille aalloille, kuten vesi -aallon korkeudelle lampissa kiven pudottamisen jälkeen, tarvitaan monimutkaisempia yhtälöitä.

Esiintyminen

Havainnollistaa kosini -aallon perussuhdetta ympyrään.

Tämä aalto kuvio esiintyy usein luonnossa, kuten tuuli aallot , ääni aaltoja, ja valo aallot.

Kosini aalto sanotaan olevan sinimuotoinen , koska , joka on myös siniaalto, jolla on vaihesiirto on π / 2 radiaania . Tämän etumatkan takia sanotaan usein, että kosinitoiminto johtaa sinifunktiota tai sini jää kosinista. ${\ displaystyle \ cos (x) = \ sin (x+\ pi /2)}$

Ihmisen korva voi tunnistaa siniaallot kuulostavan selkeästi, koska siniaallot edustavat yhtä taajuutta ilman harmonisia .

Ihmisen korvalle ääni, joka on muodostettu useammasta kuin yhdestä siniaallosta, sisältää havaittavia yliaaltoja; eri siniaaltojen lisääminen johtaa erilaiseen aaltomuotoon ja muuttaa siten äänen sävyä . Läsnäolo ylempien harmonisten lisäksi perussyyt vaihtelua sointi, mikä on syy miksi sama nuotti (sama taajuus) toistaa eri instrumenttien ääniä eri. Toisaalta, jos ääni sisältää aperiodisia aaltoja ja siniaaltoja (jotka ovat jaksollisia), ääni koetaan meluisaksi, koska kohinan luonnehditaan olevan jaksottainen tai toistuva.

Fourier -sarja

Sini, neliö , kolmio , ja saha aaltomuodot

Vuonna 1822 ranskalainen matemaatikko Joseph Fourier havaitsi, että sinimuotoisia aaltoja voidaan käyttää yksinkertaisina rakennuspalikoina kuvaamaan ja arvioimaan jaksollisia aaltomuotoja, myös neliöaaltoja . Fourier käytti sitä analyyttisenä työkaluna aaltojen ja lämmön virtauksen tutkimuksessa. Sitä käytetään usein signaalinkäsittelyssä ja aikasarjojen tilastollisessa analyysissä .

Matkustavat ja seisovat aallot

Koska siniaallot etenevät muuttamatta muotoaan hajautetuissa lineaarisissa järjestelmissä , niitä käytetään usein aaltojen etenemisen analysointiin . Siniaallot, jotka kulkevat avaruudessa kahteen suuntaan, voidaan esittää muodossa

{\ displaystyle u (t, x) = A \ sin (kx- \ omega t+\ varphi)}

Kun kaksi aaltoa, joilla on sama amplitudi ja taajuus ja jotka kulkevat vastakkaisiin suuntiin, asettavat toisensa päälle, syntyy seisova aaltokuvio . Huomaa, että kynittyyn merkkijonoon häiritsevät aallot ovat merkkijonon kiinteistä päätepisteistä heijastuneita aaltoja. Siksi seisovia aaltoja esiintyy vain tietyillä taajuuksilla, joita kutsutaan resonanssitaajuuksiksi ja jotka koostuvat perustaajuudesta ja sen ylemmistä harmonisista . Jonon resonanssitaajuudet ovat verrannollisia: kiinteiden päiden välisen pituuden; jännitys merkkijonon; ja kääntäen verrannollinen merkkijonon massayksikköä kohti .

Katso myös

Lue lisää

"Sinusoid" . Matematiikan tietosanakirja . Springer . Haettu 8. joulukuuta 2013 .

Languages

In other projects