Vakiopisteet - Standard score
In tilastoja , standardi pisteet on määrä keskihajonnat , jonka arvo on raaka pisteet (eli havaittu arvo tai datapiste) on yli tai alle keskiarvon arvo, mitä on havaittu tai mitattu. Keskimääräistä korkeammilla raakapisteillä on positiiviset standardipisteet, kun taas keskiarvon alapuolella olevilla on negatiiviset standardipisteet.
Se lasketaan vähentämällä populaation keskiarvo yksittäisestä raakapisteestä ja jakamalla sitten ero populaation keskihajonnalla. Tätä prosessia raakapisteiden muuttamisesta standardipisteiksi kutsutaan standardoimiseksi tai normalisoimiseksi ("normalisointi" voi kuitenkin viitata monenlaisiin suhteisiin; katso lisätietoja normalisoinnista ).
Vakiopisteitä kutsutaan yleisimmin z -pisteiksi ; näitä kahta termiä voidaan käyttää keskenään, kuten ne ovat tässä artikkelissa. Muut ehdot sisältävät z-arvot, normaalipiste , standardoitu muuttujat ja vetää sisään paljon energiaa fysiikan .
Z-pistemäärän laskeminen edellyttää, että tiedetään koko väestön keskiarvo ja keskihajonta, johon datapiste kuuluu; Jos on vain otos populaation havainnoista, analoginen laskenta otoskeskiarvolla ja otoksen keskihajonnalla tuottaa t -tilastot .
Laskeminen
Jos populaation keskiarvo ja populaation keskihajonta tiedetään, raakapisteet x muunnetaan vakioarvoiksi
missä:
- μ on populaation keskiarvo .
- σ on populaation keskihajonta .
Z: n absoluuttinen arvo edustaa raakapisteen x ja populaation keskiarvon välistä etäisyyttä keskihajonnan yksiköissä. z on negatiivinen, kun raakapistemäärä on alle keskiarvon, positiivinen, kun se on yli.
Z: n laskeminen tällä kaavalla edellyttää populaation keskiarvoa ja populaation keskihajontaa, ei otoksen keskiarvoa tai otospoikkeamaa. Mutta populaation todellisen keskiarvon ja keskihajonnan tunteminen on usein epärealistista lukuun ottamatta tapauksia, kuten standardoitu testaus , jossa mitataan koko populaatio.
Kun populaation keskiarvo ja väestön keskihajonta eivät ole tiedossa, standardipistemäärä voidaan laskea käyttämällä otoskeskiarvoa ja otoksen keskihajontaa arvioina väestöarvoista.
Näissä tapauksissa z -pisteet ovat
missä:
- on näytteen keskiarvo .
- S on näytteen keskihajonta .
Kummassakin tapauksessa, koska yhtälön osoittaja ja nimittäjä on molemmat ilmaistava samoina mittayksiköinä ja koska yksiköt poistuvat jakautumisen kautta, z jätetään ulottuvamattomaksi suureksi .
Sovellukset
Z-testi
Z-pistettä käytetään usein z-testissä standardoidussa testauksessa- Studentin t-testin analogina populaatiolle, jonka parametrit ovat tiedossa eikä arvioitu. Koska on hyvin epätavallista tietää koko populaatio, t-testiä käytetään paljon laajemmin.
Ennustusvälit
Vakiopistettä voidaan käyttää ennustevälien laskemiseen . Ennustusväli [ L , U ], joka koostuu alemmasta päätepisteestä, joka on merkitty L: llä, ja ylemmästä päätepisteestä , joka on merkitty U: lla , on aikaväli sellainen, että tuleva havainto X on suurella todennäköisyydellä aikavälillä , ts.
Standardin pisteet Z on X se antaa:
Määrittämällä kvantti z siten, että
se seuraa:
Prosessinhallinta
Prosessinohjaussovelluksissa Z-arvo antaa arvion siitä, kuinka prosessi ei ole kohde.
Vertailu eri asteikolla mitatuista pisteistä: ACT ja SAT
Kun pisteet mitataan eri asteikolla, ne voidaan muuntaa z-pisteiksi vertailun helpottamiseksi. Dietz et ai. anna seuraava esimerkki vertaamalla (vanhojen) SAT- ja ACT -lukiotestien opiskelijoiden pisteitä. Taulukossa esitetään SAT- ja ACT -pisteiden keskiarvo ja keskihajonta. Oletetaan, että opiskelija A sai 1800 pistettä SAT: llä ja opiskelija B pisteytti 24 pistettä ACT: llä. Kuka oppilas menestyi paremmin verrattuna muihin testaajiin?
SAT | TOIMIA | |
---|---|---|
Tarkoittaa | 1500 | 21 |
Keskihajonta | 300 | 5 |
Opiskelijan A z-pisteet ovat
Opiskelijan B z-pisteet ovat
Koska opiskelija A: lla on korkeampi z-pisteet kuin opiskelijalla B, opiskelija A suoriutui paremmin kuin muut testin tekijät kuin opiskelija B.
Havaintojen prosenttiosuus z-pisteen alapuolella
Jatkamalla esimerkkiä ACT- ja SAT-pisteistä, jos voidaan edelleen olettaa, että sekä ACT- että SAT-pisteet jakautuvat normaalisti (mikä on suunnilleen oikein), z-pisteitä voidaan käyttää laskemaan alempien testitulosten prosenttiosuus pisteitä kuin opiskelijat A ja B.
Klusterianalyysi ja moniulotteinen skaalaus
"Joissakin monimuuttujatekniikoissa, kuten moniulotteisessa skaalaus- ja klusterianalyysissä, käsite etäisyydestä datassa olevien yksiköiden välillä on usein erittäin kiinnostava ja tärkeä ... Kun monimuuttujaisen tietojoukon muuttujat ovat eri asteikolla, on järkevämpää laskea etäisyydet jonkinlaisen standardoinnin jälkeen. "
Pääkomponenttien analyysi
Pääkomponenttien analyysissä "Muuttujat, jotka on mitattu eri asteikolla tai yleisellä asteikolla, jolla on hyvin erilaiset alueet, on usein standardoitu."
Muuttujien suhteellinen merkitys moninkertaisessa regressiossa: Standardoidut regressiokertoimet
Muuttujien standardointia ennen moninkertaista regressioanalyysiä käytetään joskus tulkinnan apuna. (sivu 95).
"Standardoitu regressiokaltevuus on regressioyhtälön kaltevuus, jos X ja Y ovat standardoituja ... X: n ja Y: n standardointi tehdään vähentämällä kunkin keskiarvon keskiarvot ja jakamalla vastaavilla keskihajonnoilla ... Moninkertaisessa regressiossa, jossa useita X -muuttujia käytetään, standardoidut regressiokertoimet kvantifioivat kunkin X -muuttujan suhteellisen osuuden. "
Kuitenkin Kutner et ai. (s. 278) antaa seuraavan varoituksen: "... kaikkien regressiokertoimien tulkinnassa on oltava varovainen, olivatpa ne vakioituja tai ei. Syy on se, että kun ennustemuuttujat korreloivat keskenään,… muut ennustemuuttujat vaikuttavat regressiokertoimiin mallissa… Standardoitujen regressiokertoimien suuruuksiin vaikuttavat paitsi ennustemuuttujien väliset korrelaatiot, myös havaintojen välit kussakin näistä muuttujista. Joskus nämä välit voivat olla varsin mielivaltaisia. tavallisesti ei ole viisasta tulkita standardoitujen regressiokertoimien suuruuksia heijastamaan ennustavien muuttujien vertailevaa merkitystä. "
Matemaattisten tilastojen standardointi
In tilastomatematiikka , joka on satunnainen muuttuja X on standardoitu vähentämällä sen odotusarvo ja jakamalla erotus sen keskihajonta
Jos satunnaismuuttuja tarkasteltavana on otoskeskiarvo pistokoe on X :
sitten standardoitu versio on
T-pisteet
Koulutuksellisessa arvioinnissa T-pisteet ovat vakiopisteitä Z, joita on siirretty ja skaalattu siten, että niiden keskiarvo on 50 ja keskihajonta on 10.
Luutiheyden mittauksissa T-pisteet ovat mittauksen vakiopisteet verrattuna terveiden 30-vuotiaiden aikuisten populaatioon.
Katso myös
Viitteet
Lue lisää
- Carroll, Susan Rovezzi; Carroll, David J. (2002). Tilastot yksinkertaistettu koulunjohtajille (kuvitettu toim.). Rowman & Littlefield. ISBN 978-0-8108-4322-6. Haettu 7. kesäkuuta 2009 .
- Larsen, Richard J .; Marx, Morris L. (2000). Johdatus matemaattisiin tilastoihin ja niiden sovelluksiin (kolmas painos). s. 282. ISBN 0-13-922303-7.