Symmetria (fysiikka) - Symmetry (physics)

Ensimmäinen Brillouin-vyöhyke on FCC hila osoittaa symmetria etiketit

In fysiikan , joka on symmetria on fyysinen järjestelmä on fyysinen tai matemaattinen järjestelmän piirre (havaittu tai sisäinen), joka on säilynyt tai pysyy ennallaan tietyissä muutos .

Tiettyjen muutosten perhe voi olla jatkuva (kuten ympyrän kierto ) tai erillinen (esim . Kahdenvälisesti symmetrisen kuvan heijastus tai säännöllisen monikulmion kierto). Jatkuva ja diskreetti muutos synnyttää vastaavanlaisia symmetrioita. Jatkuvia symmetrioita voidaan kuvata Lie -ryhmillä, kun taas erillisiä symmetrioita kuvataan äärellisillä ryhmillä (katso Symmetry -ryhmä ).

Nämä kaksi käsitettä, valhe ja rajalliset ryhmät, muodostavat perustan nykyaikaisen fysiikan perusteorioille. Symmetriat ovat usein alttiita matemaattisille formulaatioille, kuten ryhmäesityksille, ja niitä voidaan lisäksi hyödyntää monien ongelmien yksinkertaistamiseen.

Epäilemättä tärkein esimerkki fysiikan symmetriasta on se, että valon nopeudella on sama arvo kaikissa viitekehyksissä, mitä erityisessä suhteellisuusteoriassa kuvataan avaruusajan muutosten ryhmä, joka tunnetaan nimellä Poincaré -ryhmä . Toinen tärkeä esimerkki on fyysisten lakien muodon muuttumattomuus mielivaltaisissa erilaistuvissa koordinaattimuunnoksissa, mikä on tärkeä ajatus yleisessä suhteellisuusteoriassa .

Eräänlaisena invarianssina

Invarianssin määrittelevät matemaattisesti muunnokset, jotka jättävät jonkin ominaisuuden (esim. Määrän) ennalleen. Tätä ajatusta voidaan soveltaa todellisiin havaintoihin. Esimerkiksi lämpötila voi olla homogeeninen koko huoneessa. Koska lämpötila ei ole riippuvainen tarkkailijan asemasta huoneessa, sanomme, että lämpötila on muuttumaton tarkkailijan aseman muutoksen aikana huoneessa.

Samoin keskipisteensä ympäri kiertynyt yhtenäinen pallo näyttää täsmälleen samalta kuin ennen kiertoa. Pallon sanotaan osoittavan pallomaista symmetriaa . Kierto minkä tahansa pallon akselin ympäri säilyttää pallon "ulkonäön".

Epävarmuus voimassa

Edellä esitetyt ajatukset johtavat hyödylliseen ajatukseen invarianssista, kun keskustellaan havaitusta fyysisestä symmetriasta; tätä voidaan soveltaa myös voimien symmetriaan.

Esimerkiksi äärettömän pituisen sähköisesti varautuneen johdon aiheuttaman sähkökentän sanotaan olevan lieriömäinen symmetria , koska sähkökentän voimakkuus tietyllä etäisyydellä r langasta on sama suuruusluokan jokaisessa lieriön pinnan kohdassa ( jonka akseli on lanka), jonka säde on r . Vaijerin kiertäminen oman akselinsa ympäri ei muuta sen sijaintia tai varaustiheyttä, joten se säilyttää kentän. Kentänvoimakkuus pyörivässä asennossa on sama. Tämä ei yleensä pidä paikkaansa mielivaltaisen maksujärjestelmän osalta.

Newtonin mekaniikkateoriassa annettiin kaksi kappaletta, kumpikin massa m , jotka alkavat lähtökohdasta ja liikkuvat x -akselia pitkin vastakkaisiin suuntiin, toisella nopeudella v ₁ ja toisella nopeudella v ₂ järjestelmän koko kineettinen energia ( alkuperäisen tarkkailijan perusteella) on 1/2m ( v ₁² + v ₂² ) ja pysyy samana, jos nopeudet vaihdetaan. Kokonaiskineettinen energia säilyy y -akselinheijastuksen alla.

Viimeinen esimerkki havainnollistaa toista tapaa ilmaista symmetrioita, nimittäin yhtälöiden avulla, jotka kuvaavat jotakin fyysisen järjestelmän osaa. Yllä oleva esimerkki osoittaa, että koko kineettinen energia on sama, jos v ₁ ja v ₂ vaihdetaan keskenään.

Paikallista ja maailmanlaajuista

Symmetria voidaan luokitella laajasti globaaliksi tai paikalliseksi . Globaali symmetria on yksi, joka pitää ominaisuus invariantti muunnoksen, jota käytetään samanaikaisesti kaikissa kohdissa avaruusaika , kun taas paikallinen symmetria on yksi, joka pitää ominaisuus muuttumattomana, kun mahdollisesti eri symmetria muunnosta sovelletaan jokaisessa pisteessä avaruusaika ; Erityisesti paikallinen symmetriamuunnos parametroidaan avaruusajan koordinaateilla, kun taas globaali symmetria ei ole. Tämä tarkoittaa, että globaali symmetria on myös paikallinen symmetria. Paikallisilla symmetrioilla on tärkeä rooli fysiikassa, koska ne muodostavat perustan mittateorioille .

Jatkuva

Edellä kuvatut kaksi esimerkkiä pyörimissymmetriasta - pallomainen ja lieriömäinen - ovat kukin jatkuvan symmetrian tapauksia . Näille on ominaista epävarmuus järjestelmän geometrian jatkuvan muutoksen jälkeen. Esimerkiksi lankaa voidaan kiertää minkä tahansa kulman läpi akselinsa ympäri ja kentänvoimakkuus on sama tietyssä sylinterissä. Matemaattisesti jatkuvia symmetrioita kuvataan muunnoksilla, jotka muuttuvat jatkuvasti niiden parametroinnin funktiona. Fysiikan jatkuvien symmetrioiden tärkeä alaluokka ovat avaruusaikasymmetriat.

Tila -aika

Jatkuvat avaruusaikasymmetriat ovat symmetrioita, joihin liittyy tilan ja ajan muutoksia . Nämä voidaan edelleen luokitella avaruussymmetrioiksi , joihin kuuluu vain fyysiseen järjestelmään liittyvä tilageometria; ajallinen symmetria , johon liittyy vain ajan muutoksia; tai avaruussymmetriat , joihin liittyy muutoksia sekä avaruudessa että ajassa.

Aikamuunnos : Fyysisellä järjestelmällä voi olla samat ominaisuudet tietyllä aikavälillä Δ t ; tämä on ilmaista matemaattisesti invarianssia muuntosektorilla t → t + mitään todellista parametrien t ja t + aikavälissä. Esimerkiksi klassisessa mekaniikassa pelkästään painovoiman vaikutuksesta hiukkasella on painovoimapotentiaalienergiaa mgh, kun se ripustetaan korkeudelta h maanpinnan yläpuolelle. Jos hiukkasen korkeus ei muutu, tämä on hiukkasen koko painovoiman potentiaalienergia koko ajan. Toisin sanoen, kun otetaan huomioon hiukkasen tila jossain vaiheessa t ₀ ja myös t ₀ + a , hiukkasen kokonaispainovoimaenergia säilyy.
Spatiaalinen käännös : Näitä avaruussymmetrioita edustavat muodon r → → r → + a → muunnoksetja ne kuvaavat tilanteita, joissa järjestelmän ominaisuus ei muutu jatkuvalla sijainnin muutoksella. Esimerkiksi huoneen lämpötila voi olla riippumaton siitä, missä lämpömittari sijaitsee huoneessa.
Avaruuskierto : Nämä avaruussymmetriat luokitellaan oikeiksi kierroksiksi ja vääriksi kiertoiksi . Edelliset ovat vain "tavallisia" kierroksia; matemaattisesti, ne edustavat neliömatriiseja kanssa yksikkö determinantin . Jälkimmäisiä edustavat neliömatriisit, joilla on determinantti −1, ja ne koostuvat oikeasta pyörimisestä yhdistettynä tilaheijastukseen ( inversio ). Esimerkiksi pallolla on oikea pyörimissymmetria. Muita avaruuskiertotyyppejä kuvataan artikkelissa Kiertosymmetria .
Poincarén muunnokset : Nämä ovat aika-avaruussymmetrioita, jotka säilyttävät etäisyydet Minkowskin avaruusajassa , eli ne ovat Minkowskin avaruuden isometrioita. Niitä tutkitaan pääasiassa erityis suhteellisuusteoriassa . Niitä isometrioita, jotka jättävät alkuperän kiinteäksi, kutsutaan Lorentzin muunnoksiksi ja ne muodostavat symmetrian, joka tunnetaan Lorentzin kovarianssina .
Projektiiviset symmetriat : Nämä ovat aika-avaruussymmetrioita, jotka säilyttävät avaruusajan geodeettisen rakenteen . Ne voidaan määritellä millä tahansa sileällä jakotukilla, mutta niillä on monia sovelluksia tarkkojen ratkaisujen tutkimuksessa yleisessä suhteellisuusteoriassa .
Käänteismuunnokset : Nämä ovat aika-avaruussymmetrioita, jotka yleistävät Poincarén muunnoksia sisällyttämällä niihin muita konformaalisia yksi-yhteen -muunnoksia tila-aika-koordinaateissa. Pituudet eivät ole muuttumattomia käänteismuunnosten alla, mutta ristipiste on neljässä pisteessä, joka on invariantti.

Matemaattisesti, spacetime symmetriat ovat yleensä kuvata sileä vektori kentät on sileä moninaiset . Vektorikenttiin liittyvät taustalla olevat paikalliset diffeomorfismit vastaavat suoraan fyysisiä symmetrioita, mutta itse vektorikenttiä käytetään useammin fyysisen järjestelmän symmetrioita luokiteltaessa.

Jotkut tärkeimmistä vektorikentistä ovat Killing -vektorikentät, jotka ovat niitä avaruusaikasymmetrioita, jotka säilyttävät jakoputken taustalla olevan metrisen rakenteen. Karkeasti sanottuna tappamisvektorikentät säilyttävät jakoputken kahden pisteen välisen etäisyyden ja käyttävät usein isometrioita .

Erillinen

Diskreetti symmetria on symmetria, joka kuvaa ei-jatkuva muutoksia järjestelmään. Esimerkiksi neliöllä on erillinen pyörimissymmetria, koska vain suorakulmioiden moninkertaiset kierrokset säilyttävät neliön alkuperäisen ulkonäön. Erillisiin symmetriaan liittyy joskus jonkinlaista "vaihtamista", joita yleensä kutsutaan heijastuksiksi tai vaihtuviksi .

Ajan kääntö : Monet fysiikan lait kuvaavat todellisia ilmiöitä, kun ajan suunta käännetään. Matemaattisesti tämä edustaa muutosta,. Esimerkiksi Newtonin toisen lain liikkeen pitää vielä, jos yhtälössä,korvataan. Tätä voidaan havainnollistaa nauhoittamalla pystysuoraan nostetun esineen liike (ilmanvastusta huomiotta) ja toistamalla se sitten. Kohde seuraa samaa parabolista rataa ilmassa, toistetaanko tallenne normaalisti vai päinvastoin. Siten sijainti on symmetrinen suhteessa siihen hetkeen, kun kohde on suurimmalla korkeudellaan. ${\ displaystyle t \, \ rightarrow -t}$ ${\ displaystyle F \, = m {\ ddot {r}}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle -t}$
Spatiaalinen inversio : Näitä edustavat muodon muunnoksetja ne osoittavat järjestelmän invarianssin ominaisuuden, kun koordinaatit käännetään. Toisin sanoen nämä ovat symmetrioita tietyn kohteen ja sen peilikuvan välillä . ${\ displaystyle {\ vec {r}} \, \ rightarrow -{\ vec {r}}}$
Liukuva heijastus : Niitä edustaa käännös ja heijastus. Näitä symmetrioita esiintyy joissakin kiteissä ja joissakin tasomaisissa symmetrisissä muodoissa, joita kutsutaan tapettisymmetrisiksi .

C, P ja T.

Standardimalli on hiukkasfysiikan on kolme liittyvien luonnollisten lähes symmetries. Nämä sanovat, että maailmankaikkeuden, jossa elämme, pitäisi olla erottamattomasti sellaisesta, jossa tietyntyyppinen muutos otetaan käyttöön.

C-symmetria (varaussymmetria), universumi, jossa jokainen hiukkanen korvataan sen antihiukkasella
P-symmetria (pariteettisymmetria), universumi, jossa kaikki peilataan kolmea fyysistä akselia pitkin. Tämä sulkee pois heikot vuorovaikutukset, kuten Chien-Shiung Wu on osoittanut .

T-symmetria (ajan kääntösymmetria), maailmankaikkeus, jossa ajan suunta käännetään. T-symmetria on intuitiivinen (tulevaisuus ja menneisyys eivät ole symmetrisiä), mutta se selittyy sillä, että vakiomalli kuvaa paikallisia ominaisuuksia, ei globaaleja, kuten entropiaa . Ajan suunnan kääntämiseksi oikein olisi pakko laittaa alkuräjähdys ja siitä johtuva matalan entropian tila "tulevaisuuteen". Koska havaitsemme "menneisyyden" ("tulevaisuuden") olevan alempi (korkeampi) entropia kuin nykyisyys, tämän hypoteettisen aikakäänteisen maailmankaikkeuden asukkaat näkisivät tulevaisuuden samalla tavalla kuin me havaitsemme menneisyyden ja päinvastoin.

Nämä symmetriat ovat lähellä symmetrioita, koska jokainen niistä on rikki nykypäivän universumissa. Vakiomalli kuitenkin ennustaa, että näiden kolmen yhdistelmän (eli kaikkien kolmen muunnoksen samanaikaisen soveltamisen) on oltava symmetria, jota kutsutaan CPT -symmetriaksi . CP-rikkomus , C- ja P-symmetrian yhdistelmän rikkominen, on välttämätön merkittävän määrän baryonisen aineen esiintymiselle maailmankaikkeudessa. CP -rikkomus on hedelmällinen alue hiukkasfysiikan nykyisessä tutkimuksessa .

Supersymmetria

Supersymmetriana tunnettua symmetriaa on käytetty yrittämään teoreettisia edistysaskeleita vakiomallissa. Supersymmetria perustuu ajatukseen, että vakiomallissa kehitettyjen lisäksi on olemassa toinen fyysinen symmetria, erityisesti symmetria bosonien ja fermionien välillä . Supersymmetria väittää, että jokaisella bosonityypillä on supersymmetrisenä kumppanina fermioni, jota kutsutaan superpartneriksi, ja päinvastoin. Supersymmetriaa ei ole vielä kokeellisesti varmennettu: yhdelläkään tunnetulla hiukkasella ei ole oikeita ominaisuuksia ollakseen minkään muun tunnetun hiukkasen superpartneri. Tällä hetkellä LHC valmistautuu ajeluun, jossa testataan supersymmetriaa.

Fysikaalisen symmetrian matematiikka

Fyysisiä symmetrioita kuvaavat muunnokset muodostavat tyypillisesti matemaattisen ryhmän . Ryhmäteoria on fyysikoille tärkeä matematiikan alue.

Jatkuva symmetria määritetään matemaattisesti jatkuvilla ryhmillä (nimeltään Lie -ryhmät ). Monet fysikaaliset symmetriat ovat isometrioita ja symmetriaryhmät määrittelevät ne. Joskus tätä termiä käytetään yleisemmille symmetrialajeille. Joukko kaikkia oikeita kierroksia (mistä tahansa kulmasta) pallon minkä tahansa akselin läpi muodostaa Lie -ryhmän, jota kutsutaan erityiseksi ortogonaaliseksi ryhmäksi SO (3). ("3" viittaa tavallisen pallon kolmiulotteiseen tilaan.) Siten pallon symmetriaryhmä, jolla on oikeat pyörimiset, on SO (3). Mikä tahansa kierto säilyttää etäisyydet pallon pinnalla. Kaikkien Lorentzin muunnosten joukko muodostaa ryhmän nimeltä Lorentz -ryhmä (tämä voidaan yleistää Poincaré -ryhmään ).

Diskreetit ryhmät kuvaavat erillisiä symmetrioita. Esimerkiksi tasasivuisen kolmion symmetrialle on tunnusomaista symmetrinen ryhmä S ₃ .

Tyyppi fyysinen teoria, joka perustuu paikallisen symmetrian kutsutaan mittari teoria ja symmetrioihin luonnollinen tällaiseen teoriaan kutsutaan mittari symmetrioita . Standardimallin mittareiden symmetriat , joita käytetään kuvaamaan kolmea perusvuorovaikutusta , perustuvat ryhmään SU (3) × SU (2) × U (1) . (Karkeasti ottaen SU (3) -ryhmän symmetria kuvaa voimakasta voimaa , SU (2) -ryhmä heikkoa vuorovaikutusta ja U (1) -ryhmä kuvaa sähkömagneettista voimaa .)

Myös vähennys symmetria energian funktionaalisen vaikutuksen alaisena ryhmä ja spontaani symmetriarikkoja muunnoksia symmetrinen ryhmät näyttävät valaista viesteihin hiukkasfysiikan (esimerkiksi yhdistäminen on sähkömagneettinen ja heikko voima on fyysinen kosmologian ).

Suojelulait ja symmetria

Fyysisen järjestelmän symmetriaominaisuudet liittyvät läheisesti kyseistä järjestelmää luonnehtiviin säilyttämislakeihin . Noetherin lause kuvaa tämän suhteen tarkasti. Lauseen mukaan jokainen fyysisen järjestelmän jatkuva symmetria merkitsee, että jokin järjestelmän fyysinen ominaisuus säilyy. Päinvastoin, jokaisella säilyneellä suurella on vastaava symmetria. Esimerkiksi spatiaalinen käännössymmetria (eli avaruuden homogeenisuus) saa aikaan (lineaarisen) vauhdin säilymisen ja ajallinen käännössymmetria (eli ajan homogeenisuus) energian säästämisen .

Seuraavassa taulukossa on yhteenveto joistakin perustavanlaatuisista symmetriikoista ja niihin liittyvästä säilytetystä määrästä.

Luokka	Invarianssit	Säilytetty määrä
Oikea ortokroninen Lorentzin symmetria	käännös ajassa ( homogeenisuus )	energiaa
	käännös avaruudessa ( homogeenisuus )	lineaarinen liikemäärä
	kierto avaruudessa ( isotropia )	kulmamomentti
	Lorentzin tehostus ( isotropia )	massamomentti N = t p - E r
Diskreetti symmetria	P, koordinaattien kääntö	tilapariteetti
	C, varauksen konjugaatio	veloituspariteetti
	T, ajan kääntö	ajan pariteetti
	CPT	pariteettien tuote
Sisäinen symmetria (riippumatta avaruusajan koordinaateista )	U (1) mittarin muunnos	sähkövaraus
	U (1) mittarin muunnos	leptonin sukupolven numero
	U (1) mittarin muunnos	ylikuormitus
	U (1) _Y -mittarin muunnos	heikko hyperlataus
	U (2) [ U (1) × SU (2) ]	sähköheikko voima
	SU (2) mittarin muunnos	isospin
	SU (2) _L -mittarin muunnos	heikko isospiini
	P × SU (2)	G-pariteetti
	SU (3) "käämitysnumero"	baryonin numero
	SU (3) mittarin muunnos	kvarkin väri
	SU (3) (likimääräinen)	kvarkin maku
	S (U (2) × U (3)) [ U (1) × SU (2) × SU (3) ]	Vakiomalli

Matematiikka

Fysiikan jatkuva symmetria säilyttää muunnokset. Symmetria voidaan määrittää näyttämällä, kuinka hyvin pieni muunnos vaikuttaa eri hiukkaskenttiin . Kommutaattorin näistä kahden äärettömän muunnokset ovat vastaavat kolmasosaa äärettömän muutosta samanlaista siten ne muodostavat Lie algebran .

Yleisellä kentällä kuvatulla yleisellä koordinaattimuunnoksella (tunnetaan myös nimellä diffeomorfismi ) on äärettömän pieni vaikutus skalaari- , spinori- tai vektorikenttään, joka voidaan ilmaista (käyttäen indeksin summauskäytäntöä ): ${\ displaystyle h (x)}$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ ${\ displaystyle \ psi (x)}$ ${\ displaystyle A (x)}$

{\ displaystyle \ delta \ phi (x) = h^{\ mu} (x) \ osittainen _ {\ mu} \ phi (x)}

{\ displaystyle \ delta \ psi ^{\ alpha} (x) = h ^{\ mu} (x) \ osittainen _ {\ mu} \ psi ^{\ alfa} (x)+\ osittainen _ {\ mu} h _ {\ nu} (x) \ sigma _ {\ mu \ nu} ^{\ alfa \ beta} \ psi ^{\ beta} (x)}

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} (x) = h^{\ nu} (x) \ osittainen _ {\ nu} A _ {\ mu} (x)+A _ {\ nu} (x) \ osittainen _ {\ mu} h^{\ nu} (x)}

Ilman painovoimaa säilytetään vain Poincaré -symmetria, joka rajoittuu olemaan muodossa: ${\ displaystyle h (x)}$

{\ displaystyle h^{\ mu} (x) = M^{\ mu \ nu} x _ {\ nu}+P^{\ mu}}

jossa M on epäsymmetrinen matriisi (joka antaa Lorentzin ja kiertosymmetriat) ja P on yleinen vektori (antaa translaatiosymmetriat). Muut symmetriat vaikuttavat useisiin kenttiin samanaikaisesti. Esimerkiksi paikalliset mittarimuunnokset koskevat sekä vektoria että spinorikenttää:

{\ displaystyle \ delta \ psi ^{\ alfa} (x) = \ lambda (x). \ tau ^{\ alfa \ beta} \ psi ^{\ beta} (x)}

{\ displaystyle \ delta A _ {\ mu} (x) = \ osittainen _ {\ mu} \ lambda (x),}

missä ovat tietyn Lie -ryhmän generaattorit . Toistaiseksi oikealla olevat muutokset ovat sisältäneet vain samantyyppisiä kenttiä. Supersymmetria määritellään sen mukaan, miten eri tyyppiset sekoituskentät . ${\ displaystyle \ tau}$

Toinen symmetria, joka kuuluu joihinkin fysiikan teorioihin eikä muihin, on mittakaavan muutos, johon liittyy seuraavanlaisia Weyl -muunnoksia:

{\ displaystyle \ delta \ phi (x) = \ Omega (x) \ phi (x)}

Jos kentillä on tämä symmetria, voidaan osoittaa, että kenttäteoria on lähes varmasti myös konformaalisesti invariantti. Tämä tarkoittaa, että ilman painovoimaa h (x) rajoittuisi muotoon:

{\ displaystyle h^{\ mu} (x) = M^{\ mu \ nu} x _ {\ nu}+P^{\ mu}+Dx _ {\ mu}+K^{\ mu} | x |^ {2} -2K^{\ nu} x _ {\ nu} x _ {\ mu},}

jossa D tuottaa mittakaavassa muunnokset ja K muodostetaan erityinen conformal muutoksia. Esimerkiksi N = 4 super- Yang-Mills -teorialla on tämä symmetria, kun taas yleisellä suhteellisuusteorialla ei ole, vaikka muilla painovoimateorioilla, kuten konformaalipainolla, on . Kenttäteorian "toiminta" on muuttumaton kaikkien teorian symmetrioiden alla. Suuri osa nykyaikaisesta teoreettisesta fysiikasta liittyy spekulointiin maailmankaikkeuden eri symmetrisyyksillä ja invarianttien löytämiseen kenttäteorioiden rakentamiseksi malleina.

Merkkijonoteorioissa merkkijono voidaan jakaa äärettömäksi määräksi hiukkaskenttiä, joten merkkijonomaailman symmetria vastaa erityisiä muunnoksia, jotka sekoittavat äärettömän määrän kenttiä.

Katso myös

Viitteet

Yleiset lukijat

Leon Lederman ja Christopher T. Hill (2005) Symmetria ja kaunis maailmankaikkeus . Amherst NY: Prometheus Books.
Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things . Johns Hopkins Univ. Lehdistö.
Victor J.Stenger (2000) Ajaton todellisuus: symmetria, yksinkertaisuus ja useita universumeja . Buffalo NY: Prometheus Books. Chpt. 12 on lempeä johdatus symmetriaan, invarianssiin ja säilyttämislakeihin.
Anthony Zee (2007) Pelottava symmetria: Kauneuden etsiminen nykyaikaisessa fysiikassa , 2. painos. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00946-9 . 1986 1. painos. julkaisija Macmillan.

Tekniset lukijat

Brading, K., ja Castellani, E., toim. (2003) Symmetries in Physics: Philosophical Reflections . Cambridgen yliopisto Lehdistö.
-------- (2007) "Symmetriat ja invariansseja klassisen fysiikan" Butterfieldin, J., ja John Earman , toim., Filosofia Physic B osan . Pohjois-Hollanti: 1331-68.
Debs, T. ja Redhead, M. (2007) Objektiivisuus, invarianssit ja yleissopimus: Symmetry in Physical Science . Harvardin yliopisto Lehdistö.
John Earman (2002) " Lait, symmetria ja symmetrian rikkominen : muuttumattomuus, säilyttämisperiaatteet ja objektiivisuus " . Puhe Tiedefilosofian yhdistyksen kokoukselle vuonna 2002 .
G. Kalmbach HE: Kvanttimatematiikka: WIGRIS. RGN -julkaisut, Delhi, 2014
Mainzer, K. (1996) Symmetries of nature . Berliini: De Gruyter.
Mouchet, A. "Pohdintoja symmetrian neljästä näkökulmasta: miten fysiikka kuvaa järkevää ajattelua". European Physical Journal H 38 (2013) 661 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00637572
Thompson, William J. (1994) Angular Momentum: Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems . Wiley. ISBN 0-471-55264-X .
Bas Van Fraassen (1989) Lait ja symmetria . Oxford Univ. Lehdistö.
Eugene Wigner (1967) Symmetriat ja heijastukset . Indiana Univ. Lehdistö.

Ulkoiset linkit

The Feynman Lectures on Physics Vuosikerta I Ch. 52: Fyysisten lakien symmetria
Stanfordin filosofian tietosanakirja : " Symmetria " - K. Brading ja E. Castellani.
Pedagogiset apuvälineet kvanttikenttäteoriaan Napsauttamalla linkkiä lukuun 6: Symmetria, invarianssit ja säilyttäminen saat yksinkertaistetun, vaiheittaisen johdannon fysiikan symmetriaan.

Languages

In other projects