Tangentiviivat ympyröihin - Tangent lines to circles

In Euklidinen tasogeometria , joka on tangentin ympyrä on viiva, joka koskettaa ympyrän täsmälleen yksi piste, ei koskaan kirjoittamalla ympyrän sisustukseen. Piirien tangentiviivat muodostavat useita lauseita , ja niillä on tärkeä rooli monissa geometrisissa rakenteissa ja vedoissa . Koska tangentin on ympyrän , jonka piste P on kohtisuorassa sen säde , että kohta, lauseet johon tangenttiviivat liittyy usein säteislinjoihin ja ortogonaaliset ympyrät.

Tangentin viivat yhteen ympyrään

Tangentin t piiriin C leikkaa ympyrän yhden pisteen T . Vertailun vuoksi peräkkäiset viivat leikkaavat ympyrän kahdessa pisteessä, kun taas toinen viiva ei välttämättä leikkaa ympyrää ollenkaan. Tämä tangenttiominaisuuksien ominaisuus säilyy monissa geometrisissa muunnoksissa , kuten skaalaus , kierto , käännökset , käänteiset ja karttaprojektiot . Teknisellä kielellä nämä muunnokset eivät muuta tangentin ja ympyrän esiintymisrakennetta , vaikka viiva ja ympyrä voivat muodonmuuttua.

Ympyrän säde on kohtisuorassa tangentin viivaan sen päätepisteen kautta ympyrän kehällä. Sitä vastoin kohtisuora säde saman päätepisteen läpi on tangentti. Tuloksena olevan ympyrän ja tangentin viivan geometrinen kuvio on heijastussymmetria säteen akselin suhteen.

Pistevoima -lauseen mukaan pituuksien PM · PN tulo mille tahansa säteelle PMN on yhtä suuri kuin PT: n neliö, tangentin viivan segmentin pituus (punainen).

Yhtään ympyrän pisteen läpi ei voi vetää tangenttiviivaa, koska minkä tahansa tällaisen suoran on oltava sivulinja. Kuitenkin kaksi tangenttiviivaa voidaan piirtää ympyrään pisteestä P ympyrän ulkopuolella. Ympyrän geometrisella kuviolla ja molemmilla tangentin viivoilla on myös heijastussymmetria säteittäisen akselin suhteen, joka liittyy P: hen ympyrän keskipisteeseen O. Näin ollen segmenttien pituudet P: stä kahteen tangenttipisteeseen ovat yhtä suuret. Jonka sekantin-tangentti lause , neliö tämän tangentin pituus vastaa teho pisteen P ympyrän C . Tämä teho vastaa tulojen etäisyyksiä P: stä mihin tahansa kahteen ympyrän leikkauspisteeseen, jossa P: n läpi kulkeva sekuntiviiva .

Soinun ja tangentin välinen kulma θ on puolet sointuun kuuluvasta kaaresta.

Tangenttisuoralla t ja tangenttipisteellä T on konjugaattisuhde toisiinsa, mikä on yleistetty ajatukseksi napapisteistä ja napajohdoista . Sama vastavuoroinen suhde on ympyrän ulkopuolella olevan pisteen P ja sen kahden kosketuspisteen yhdistävän sekuntiviivan välillä.

Jos piste P on ympyrän ulkopuolella, jonka keskipiste on O, ja jos kosketusviivat P koskettavat ympyrää pisteissä T ja S, ∠TPS ja ∠TOS täydentävät toisiaan (summa 180 °).

Jos sointu TM vedetään ulkopisteen P tangenttipisteestä T ja ∠PTM ≤ 90 °, ∠PTM = (1/2) OMTOM.

Tangentin ja koordinaatin yhtälö

Oletetaan, että ympyrän yhtälö on keskellä . Sitten ympyrän tangenttilinja on ${\ displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2} = r^{2}}$ ${\ displaystyle (a, b)}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$

{\ displaystyle (x-x_ {1}) (x_ {1} -a)+(y-y_ {1}) (y_ {1} -b) = 0}

Tämä voidaan todistaa ottamalla ympyrän implisiittinen johdannainen.

Kompassi- ja suorarakenne

Se on suhteellisen yksinkertaista rakentaa linjan t ympyrän tangentin pisteessä T kehälle ympyrän:

Suora a piirretään ympyrän keskipisteestä O radiaalipisteen T kautta ;
Suora t on kohtisuora viiva kohtaan a .

Tietyn ympyrän (musta) tangentin rakentaminen tietystä ulkoisesta pisteestä (P).

Thalesin teoriaa voidaan käyttää rakentamaan tangenttilinjat ympyrän C ulkopuoliseen pisteeseen P :

Viivaosan OP keskipisteeseen piirretään ympyrä, jonka halkaisija on OP, missä O on jälleen ympyrän C keskipiste .
Ympyrän C ja uuden ympyrän leikkauspisteet T ₁ ja T ₂ ovat P : n läpi kulkevien viivojen tangenttipisteet seuraavalla argumentilla.

Viivasegmentit OT ₁ ja OT ₂ ovat ympyrän C säteitä ; koska molemmat on merkitty puoliympyrään, ne ovat kohtisuorassa viivaosuuksiin PT ₁ ja PT ₂ . Mutta vain tangenttiviiva on kohtisuorassa säteittäiseen viivaan nähden. Näin ollen kaksi suoraa P: stä, jotka kulkevat T _{1: n} ja T _{2: n läpi,} ovat ympyrän C tangentteja .

Toinen tapa rakentaa tangenttilinjat ympyrän ulkopuoliseen pisteeseen P käyttämällä vain suoraa reunaa :

Piirrä kolme eri viivaa annetun pisteen P läpi, jotka leikkaavat ympyrän kahdesti.
Olkoon kuusi leikkauspistettä, joilla on sama kirjain, joka vastaa samaa viivaa ja indeksi 1 vastaa pistettä, joka on lähempänä P. ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, B_ {1}, B_ {2}, C_ {1}, C_ {2}}$
Olkoon D piste, jossa viivat ja leikkaavat ${\ displaystyle A_ {1} B_ {2}}$ ${\ displaystyle A_ {2} B_ {1}}$
Samoin E linjoille ja . ${\ displaystyle B_ {1} C_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {2} C_ {1}}$
Piirrä viiva D: n ja E: n kautta.
Tämä viiva kohtaa ympyrän kahdessa kohdassa, F ja G.
Tangentit ovat viivat PF ja PG.

Analyyttisen geometrian kanssa

Antaa olla ympyrän piste yhtälön kanssa . Tangentilla on yhtälö , koska se sijaitsee molemmilla käyrillä ja on suoran normaali vektori. Tangentti leikkaa x-akselin pisteessä kanssa . ${\ displaystyle P = (a, b)}$ ${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = r^{2}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle ax+by = r^{2}}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ vec {OP}} = (a, b)^{T}}$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle ax_ {0} = r^{2}}$

Tangentit pisteen läpi

Toisaalta, jos yksi alkaa vaiheessa , kuin kaksi tangentit, jotka kulkevat kohtaavat ympyrän kahden pisteen kanssa ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle P_ {1/2} = (a, b _ {\ pm})}$

{\ displaystyle a = {\ frac {r^{2}} {x_ {0}}}, \ qquad b _ {\ pm} = \ pm {\ sqrt {r^{2} -a^{2}}} = \ pm {\ frac {r} {x_ {0}}} {\ sqrt {x_ {0}^{2} -r^{2}}} \ quad}

. Vektorimuodossa kirjoitettu:

{\ displaystyle {\ binom {a} {b _ {\ pm}}} = {\ frac {r^{2}} {x_ {0}}} {\ binom {1} {0}} \ pm {\ frac {r} {x_ {0}}} {\ sqrt {x_ {0}^{2} -r^{2}}} {\ binom {0} {1}} \.}

Jos piste ei ole x-akselilla: Vektorimuodossa yksi korvataan etäisyydellä ja yksikköpohjavektorit ortogonaalisilla yksikkövektoreilla . Sitten kosketinpisteen koskettajat koskettavat pisteiden ympyrää ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle \ d_ {0} = {\ sqrt {x_ {0}^{2}+y_ {0}^{2}}} \}$ ${\ displaystyle \ {\ vec {e}} _ {1} = {\ frac {1} {d_ {0}}} {\ binom {x_ {0}} {y_ {0}}}, \ {\ vec {e}} _ {2} = {\ frac {1} {d_ {0}}} {\ binom {-y_ {0}} {x_ {0}}} \}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$

{\ displaystyle {\ binom {x_ {1/2}} {y_ {1/2}}} = {\ frac {r^{2}} {d_ {0}^{2}}} {\ binom {x_ {0}} {y_ {0}}} \ pm {\ frac {r} {d_ {0}^{2}}} {\ sqrt {d_ {0}^{2} -r^{2}}} {\ binom {-y_ {0}} {x_ {0}}} \.}

Sillä ei ole tangentteja. Sillä piste sijaitsee ympyrässä ja on vain yksi tangentti yhtälön kanssa . Jos on 2 tangenttia yhtälöillä . ${\ displaystyle d_ {0} <r}$
${\ displaystyle d_ {0} = r}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0} x+y_ {0} y = r^{2}}$
${\ displaystyle d_ {0}> r}$ ${\ displaystyle \ x_ {1} x+y_ {1} y = r^{2}, \ x_ {2} x+y_ {2} y = r^{2}}$

Suhde ympyrän kääntämiseen : Yhtälö kuvaa pisteen ympyrän kääntämistä . ${\ displaystyle ax_ {0} = r^{2}}$ ${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$

Suhde napaan ja polaariin : Pisteen polaarilla on yhtälö . ${\ displaystyle (x_ {0}, 0)}$ ${\ displaystyle xx_ {0} = r^{2}}$

Tangentiaaliset monikulmio

Tangentiaalinen monikulmio on monikulmio , joiden kunkin puolin on tangentti tiettyyn piiriin, jota kutsutaan sen incircle . Jokainen kolmio on tangentiaalinen monikulmio, kuten jokainen säännöllinen monikulmio, jolla on useita sivuja; lisäksi jokaista monikulmion sivumäärää kohti on ääretön määrä ei- yhteneviä tangentiaalisia monikulmioita.

Tangentin nelikulmainen lause ja piirretyt ympyrät

Tangentiaalinen nelisivuinen ABCD on suljettu luku neljä suoraa sivua, jotka ovat tangentti tietyn ympyrän C . Vastaavasti ympyrä C on kirjoitettu nelikulmioon ABCD. Vuoteen Pitot lauseen , summia vastakkaisilla puolilla tällaisen nelisivuinen ovat samanarvoisia, eli

{\ displaystyle {\ overline {AB}}+{\ overline {CD}} = {\ overline {BC}}+{\ overline {DA}}.}

Tangentiaalinen nelikulmio

Tämä johtopäätös seuraa nelikulmion neljän kärjen tangenttisegmenttien yhtäläisyydestä. Olkoon tangenttipisteet merkitty P (segmentillä AB), Q (segmentillä BC), R (segmentillä CD) ja S (segmentillä DA). ABCD: n kunkin pisteen symmetriset tangenttisegmentit ovat yhtä suuret, esim. BP = BQ = b , CQ = CR = c , DR = DS = d ja AS = AP = a . Mutta nelikulmion molemmat puolet koostuvat kahdesta tällaisesta tangenttisesta segmentistä

{\ displaystyle {\ overline {AB}}+{\ overline {CD}} = (a+b)+(c+d) = {\ overline {BC}}+{\ overline {DA}} = (b+ c)+(d+a)}

todistaa lause.

Päinvastainen on myös totta: jokaiseen nelikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä, jossa vastakkaisten sivujen pituudet ovat sama arvo.

Tällä lauseella ja sen käänteellä on erilaisia käyttötarkoituksia. Esimerkiksi ne osoittavat heti, ettei yhdelläkään suorakulmiolla voi olla kaiverrettu ympyrä, ellei se ole neliö , ja että jokaisella rombilla on kaiverrettu ympyrä, kun taas yleisellä rinnakkaisella ei ole.

Tangentin viivat kahteen ympyrään

Kahden ympyrän ulkoinen (yläpuolella) ja sisäinen (alla) homoteettinen keskus S.

Kahden ympyrän osalta on yleensä neljä erillistä viivaa, jotka ovat tangentteja molemmille ( bitangentti ) - jos kaksi ympyrää ovat toistensa ulkopuolella - mutta rappeutuneissa tapauksissa nollan ja neljän bittiagentin välillä voi olla mikä tahansa luku; näitä käsitellään alla. Näistä kahdesta, ulkoisista tangenttiviivoista, ympyrät putoavat viivan samalle puolelle; kahdelle muulle, sisäisille tangentiviivoille, ympyrät putoavat viivan vastakkaisille puolille. Ulkoiset tangenttilinjat leikkaavat ulkoisessa homoteettisessa keskuksessa , kun taas sisäiset tangenttilinjat leikkaavat sisäisessä homoteettisessä keskuksessa. Sekä ulkoinen että sisäinen homoteettinen keskus sijaitsevat keskusten linjalla (kahden ympyrän keskipisteitä yhdistävä viiva), lähempänä pienemmän ympyrän keskustaa: sisäinen keskipiste on kahden ympyrän välisessä segmentissä, kun taas ulkoinen keskus ei ole pisteiden välissä, vaan pikemminkin ulkopuolella, pienemmän ympyrän keskellä. Jos molempien ympyröiden säde on sama, on edelleen neljä bitangenttia, mutta ulkoiset tangenttilinjat ovat yhdensuuntaiset ja affiinitasossa ei ole ulkoista keskipistettä ; on projektiivinen taso , ulkoinen homotetiakeskus sijaitsee sen pisteen ääretön vastaa kaltevuus nämä linjat.

Ulkoinen tangentti

Ulkoisen tangentin löytäminen. Kahden ympyrän ulommat tangentit.

Punainen viiva yhdistää pisteitä ja on kahden ympyrän välinen ulkoinen tangentti. Annetaan pisteitä , pisteitä , voidaan helposti laskea avustuksella kulman : ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {4}, y_ {4})}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ ${\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle (x_ {4}, y_ {4})}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x_ {3} & = x_ {1} \ pm r \ sin \ alpha \\ y_ {3} & = y_ {1} \ pm r \ cos \ alpha \\ x_ {4 } & = x_ {2} \ pm R \ sin \ alpha \\ y_ {4} & = y_ {2} \ pm R \ cos \ alpha \\\ end {aligned}}}

Tässä R ja r merkitse kahden ympyrän säteet ja kulma voidaan laskea käyttämällä trigonometriaa. Teillä on kanssa ja . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ gamma -\ beta}$ ${\ displaystyle \ gamma =-\ arctan \ left ({\ tfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} \ oikea)}$ ${\ displaystyle \ beta = \ pm \ arcsin \ left ({\ tfrac {Rr} {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1})^{2}+(y_ {2} -y_ {1}) ^{2}}}} \ oikea)}$

Sisäinen tangentti

Sisäinen tangentti. Ulkoiset tangenttilinjat kulkevat sisäisen homoteettisen keskuksen läpi.

Sisäinen tangentti on tangentti, joka leikkaa segmentin, joka yhdistää kaksi ympyrän keskipistettä. Huomaa, että sisäistä tangenttia ei määritellä tapauksissa, joissa kaksi ympyrää ovat päällekkäin.

Rakentaminen

Bittiagenttiviivat voidaan rakentaa joko rakentamalla homoteettiset keskukset, kuten tässä artikkelissa on kuvattu, ja rakentamalla sitten tangenttilinjat yhden ympyrän tangenttisen keskipisteen läpi jollakin edellä kuvatuista menetelmistä. Tuloksena oleva viiva on sitten myös toisen ympyrän tangentti. Vaihtoehtoisesti tangenttilinjat ja tangenttipisteet voidaan rakentaa suoremmin, kuten alla on kuvattu. Huomaa, että rappeutuneissa tapauksissa nämä rakenteet hajoavat; selityksen yksinkertaistamiseksi tätä ei käsitellä tässä osassa, mutta rakenne voi toimia rajatapauksissa (esim. kaksi ympyrää, jotka ovat tangentteja yhdessä kohdassa).

Synteettinen geometria

Olkoon O ₁ ja O ₂ kahden ympyrän, C ₁ ja C ₂ , keskukset ja olkoon r ₁ ja r ₂ niiden säteet , joissa r ₁ > r ₂ ; toisin sanoen, ympyrä C ₁ määritellään suurempi kahdesta piireissä. Kahta eri menetelmää voidaan käyttää ulkoisten ja sisäisten tangentiviivojen muodostamiseen.

Ulkoiset tangentit

Ulkoisen tangentin rakentaminen

Uusi ympyrä C ₃ , jonka säde on r ₁ - r _2, piirretään keskelle O ₁ . Yllä olevalla menetelmällä vedetään O _{2: sta} kaksi viivaa, jotka ovat tangentteja tälle uudelle ympyrälle. Nämä ovat samansuuntaisia halutun tangentti linjat, koska tilanne vastaa kutistuu sekä piireissä C ₁ ja C- ₂ vakiomäärällä, r ₂ , joka kutistuu C ₂ kohtaan. Kaksi säteittäistä viivaa voidaan vetää keskustasta O ₁C _3: n tangenttipisteiden kautta ; nämä leikkaavat C ₁ halutut tangenttipisteet. Halutut ulkoiset tangenttilinjat ovat näihin säteittäisiin viivoihin näissä tangenttipisteissä kohtisuorat viivat, jotka voidaan rakentaa edellä kuvatulla tavalla.

Sisäiset tangentit

Sisäisen tangentin rakentaminen

Uusi ympyrä C ₃ , jonka säde on r ₁ + r _2, piirretään keskelle O ₁ . Yllä olevalla menetelmällä vedetään O _{2: sta} kaksi viivaa, jotka ovat tangentteja tälle uudelle ympyrälle. Nämä ovat samansuuntaisia halutun tangentti linjat, koska tilanne vastaa kutistuu C ₂ kohtaan ja laajentaa C ₁ vakiomäärällä, r ₂ . Kaksi säteittäistä viivaa voidaan vetää keskustasta O ₁C _3: n tangenttipisteiden kautta ; nämä leikkaavat C ₁ haluttuissa tangenttipisteissä. Halutut sisäiset tangenttilinjat ovat näihin säteittäisiin viivoihin näissä tangenttipisteissä kohtisuorat viivat, jotka voidaan rakentaa edellä kuvatulla tavalla.

Analyyttinen geometria

Olkoon ympyröillä keskipisteet c ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) ja c ₂ = ( x ₂ , y ₂ ), joiden säde on r ₁ ja r ₂ . Suoran ilmaiseminen yhtälöllä normalisaatiolla a ² + b ² = 1, sitten bitangentti täyttää: ${\ displaystyle ax+x+c = 0,}$

ax ₁ + by ₁ + c = r ₁ ja

ax ₂ + by ₂ + c = r ₂ .

Ratkaisu vähentämällä ensimmäinen toisesta ${\ displaystyle (a, b, c)}$

a Δ x + b Δ y = Δ r

jossa Δ x = x ₂ - x ₁ , Δ y = y ₂ - y ₁ ja Δ r = r ₂ - r ₁ .

Jos etäisyys c _1: stä c _{2: een} voidaan normalisoida X = Δ x / d , Y = Δ y / d ja R = Δ r / d yksinkertaistaa yhtälöitä, jolloin saadaan yhtälöt aX + bY = R ja a ² + b ² = 1, ratkaise nämä saadaksesi kaksi ratkaisua ( k = ± 1) kahdelle ulkoiselle tangenttilinjalle: ${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x)^{2}+(\ Delta y)^{2}}}}$

a = RX - kY √ (1 - R ² )

b = RY + kX √ (1 - R ² )

c = r ₁ - ( ax ₁ + by ₁ )

Geometrisesti tämä vastaa tangenttilinjojen ja keskiviivan muodostaman kulman laskemista ja sitten sen avulla keskipisteen yhtälön kiertämiseen, jotta saadaan tangenttilinjan yhtälö. Kulma lasketaan laskemalla trigonometriset funktiot suorakulmiosta, jonka kärkipisteet ovat (ulkoinen) homoteettinen keskipiste, ympyrän keskipiste ja tangenttipiste; hypotenuusa on tangentin viivalla, säde on kulmaa vastapäätä ja viereinen sivu on keskusten viivalla.

( X , Y ) on yksikkövektori, joka osoittaa kohdasta c ₁ kohtaan c ₂ , kun taas R on missä on keskiviivan ja tangenttilinjan välinen kulma. on sitten (riippuen merkistä , vastaavasti pyörimissuunta), ja yllä olevat yhtälöt ovat ( X , Y ): n kierto käyttämällä kiertomatriisia: ${\ displaystyle \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {1-R^{2}}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ pm \ theta,}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} R & \ mp {\ sqrt {1-R^{2}}} \\\ pm {\ sqrt {1-R^{2}}} ja R \ end {pmatrix}}}

k = 1 on tangentti, joka on ympyröiden oikealla puolella kohdasta c ₁ kohtaan c ₂ .

k = −1 on tangenttiviiva, joka on ympyröiden oikealla puolella kohdasta c ₂ kohtaan c ₁ .

Edellä oletetaan, että jokaisella ympyrällä on positiivinen säde. Jos r ₁ on positiivinen ja r ₂ negatiivinen, c ₁ on jokaisen viivan vasemmalla puolella ja c ₂ oikealla, ja kaksi tangenttiviivaa leikkaavat. Tällä tavalla saadaan kaikki neljä ratkaisua. Kummankin sädekytkimen k = 1 ja k = −1 kytkentämerkit .

Vektorit

Ulkoisen tangentin löytäminen. Ympyröi tangentit.

Yleensä kosketuspisteet t ₁ ja t ₂ neljälle suoralle, jotka koskettavat kahta ympyrää, joiden keskiöt ovat v ₁ ja v ₂ ja säteet r ₁ ja r _2, annetaan ratkaisemalla samanaikaiset yhtälöt:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} (t_ {2} -v_ {2}) \ cdot (t_ {2} -t_ {1}) & = 0 \\ (t_ {1} -v_ {1}) \ cdot (t_ {2} -t_ {1}) & = 0 \\ (t_ {1} -v_ {1}) \ cdot (t_ {1} -v_ {1}) & = r_ {1}^{2 } \\ (t_ {2} -v_ {2}) \ cdot (t_ {2} -v_ {2}) & = r_ {2}^{2} \\\ end {aligned}}}

Nämä yhtälöt ilmaisevat, että tangentti, joka on yhdensuuntainen, on kohtisuorassa säteisiin nähden ja että tangenttipisteet sijaitsevat niiden ympyröissä. ${\ displaystyle t_ {2} -t_ {1},}$

Nämä ovat neljä toisen asteen yhtälöä kahdessa kaksiulotteisessa vektorimuuttujassa, ja yleensä niissä on neljä paria ratkaisuja.

Rappeutuneet tapaukset

Kahdessa erillisessä ympyrässä voi olla nollasta neljään bittiagenttia kokoonpanosta riippuen; ne voidaan luokitella keskipisteiden ja säteiden välisen etäisyyden perusteella. Jos lasketaan moninkertaisesti (lasketaan yhteinen tangentti kahdesti), bittiagentteja on nolla, kaksi tai neljä. Bitangentin viivat voidaan myös yleistää ympyröihin, joiden säde on negatiivinen tai nolla. Degeneroituneita tapauksissa ja monikerrat voidaan myös ymmärtää suhteen rajat muiden kokoonpanojen - esimerkiksi, raja kahden ympyrän että melkein koskettaa, ja siirtämällä yhtä, niin että ne koskettavat tai ympyrän pieni säde kutistuu ympyrän nolla säde .

Jos ympyrät ovat toistensa ulkopuolella ( ), mikä on yleinen sijainti , on olemassa neljä bitangenttia. ${\ displaystyle d> r_ {1}+r_ {2}}$
Jos ne koskettavat ulkoisesti yhdessä kohdassa ( ) - niillä on yksi ulkoinen tangenttipiste - silloin niillä on kaksi ulkoista bitangenttia ja yksi sisäinen bittiagentti, nimittäin yhteinen tangentti. Tällä yhteisellä tangentiviivalla on monikertaisuus kaksi, koska se erottaa ympyrät (yksi vasemmalla, yksi oikealla) kumman tahansa suunnan (suunnan) suhteen. ${\ displaystyle d = r_ {1}+r_ {2}}$
Jos ympyrät leikkaavat kaksi pistettä ( ), niillä ei ole sisäisiä bitangentteja ja kahta ulkoista bitangenttia (niitä ei voi erottaa toisistaan, koska ne leikkaavat toisiaan, joten ei sisäisiä bitangentteja). ${\ displaystyle | r_ {1} -r_ {2} | <d <r_ {1}+r_ {2}}$
Jos ympyrät koskettavat sisäisesti yhdessä kohdassa ( ) - niillä on yksi sisäinen tangenttipiste - niillä ei ole sisäisiä bittiagentteja ja yksi ulkoinen bittiagentti, nimittäin yhteinen tangentti, jonka kerroin on kaksi, kuten yllä. ${\ displaystyle d = | r_ {1} -r_ {2} |}$
Jos yksi ympyrä on kokonaan toisen sisällä ( ), niillä ei ole bitangentteja, koska ulomman ympyrän tangentti ei leikkaa sisäpiiriä, tai päinvastoin sisäpiirin tangentti on ulkoinen ympyrä. ${\ displaystyle d <| r_ {1} -r_ {2} |}$

Lopuksi, jos kaksi ympyrää ovat identtisiä, mikä tahansa ympyrän tangentti on yhteinen tangentti ja siten (ulkoinen) bittiagentti, joten ympyrän arvoisia bitangentteja on.

Lisäksi bitangenttien käsite voidaan laajentaa ympyröihin, joilla on negatiivinen säde (sama pisteiden sijainti, mutta pidetään "ulospäin"), jolloin jos säteillä on vastakkainen merkki (toisella ympyrällä on negatiivinen säde ja toisella positiivinen säde) ulkoiset ja sisäiset homoteettiset keskukset sekä ulkoiset ja sisäiset bitangentit vaihdetaan, kun taas jos säteillä on sama merkki (sekä positiiviset säteet että molemmat negatiiviset säteet), "ulkoisilla" ja "sisäisillä" on sama tavallinen merkitys (yhden merkin vaihtaminen ne, joten molempien vaihtaminen vaihtaa ne takaisin). ${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = (-r)^{2},}$

Bitangentin viivat voidaan myös määrittää, kun yhden tai molempien ympyröiden säde on nolla. Tässä tapauksessa ympyrä, jonka säde on nolla, on kaksoispiste, ja siten mikä tahansa sen läpi kulkeva suora leikkaa pisteen kertoimella kaksi, joten se on "tangentti". Jos yhden ympyrän säde on nolla, bittiagentti on yksinkertaisesti ympyrän tangentti ja pisteen läpi kulkeva viiva, ja se lasketaan kertoimella kaksi. Jos molempien ympyröiden säde on nolla, bittiagentti on niiden määrittämä viiva ja se lasketaan kertoimella neljä.

Huomaa, että näissä rappeutuneissa tapauksissa ulkoinen ja sisäinen homoteettinen keskus ovat yleensä edelleen olemassa (ulkoinen keskus on äärettömässä, jos säteet ovat yhtä suuret), paitsi jos ympyrät ovat samat, jolloin ulkoista keskusta ei ole määritetty tai jos molemmat ympyrät säde on nolla, jolloin sisäistä keskipistettä ei ole määritelty.

Sovellukset

Vyöongelma

Sisäiset ja ulkoiset tangentiviivat ovat hyödyllisiä hihnaongelman ratkaisemisessa , eli laskemalla hihnan tai köyden pituus, joka tarvitaan sopimaan tiukasti kahden hihnapyörän päälle. Jos hihna katsotaan matemaattiseksi viivaksi, jonka paksuus on vähäinen, ja jos molempien hihnapyörien oletetaan olevan täsmälleen samassa tasossa, ongelma ratkaisee asianomaisten tangentiviivasegmenttien pituuksien laskemisen yhteen ympyränkaarien pituuksien kanssa vyö. Jos hihna on kääritty pyörien ympärille ristiin, sisäpuolen tangenttisegmentit ovat merkityksellisiä. Päinvastoin, jos hihna on kääritty ulkoisesti hihnapyörien ympärille, ulommat tangentin linjan segmentit ovat merkityksellisiä; tätä tapausta kutsutaan joskus hihnapyöräongelmaksi .

Tangentin viivat kolmeen ympyrään: Mongen lause

Kolme ympyrää, jotka on merkitty C _{1: llä} , C ₂ : lla ja C _{3: lla} , on kolme ympyräparia ( C ₁C ₂ , C ₂C ₃ ja C ₁C ₃ ). Koska jokaisella ympyräparilla on kaksi homoteettistä keskustaa, on kaikkiaan kuusi homoteettistä keskustaa . Gaspard Monge osoitti 1800 -luvun alussa, että nämä kuusi pistettä sijaitsevat neljällä viivalla, joista jokaisella on kolme yhdensuuntaista pistettä.

Apolloniuksen ongelma

Animaatio, joka osoittaa Apolloniuksen ongelman käänteisen muutoksen. Siniset ja punaiset ympyrät turpoavat tangenssiksi ja kääntyvät harmaana ympyränä ja tuottavat kaksi suoraa viivaa. Keltaiset liuokset löydetään liu'uttamalla ympyrä niiden väliin, kunnes se koskettaa muunnettua vihreää ympyrää sisältä tai ulkoa.

Monissa Apolloniuksen ongelman erityistapauksissa on löydettävä ympyrä, joka koskettaa yhtä tai useampaa viivaa. Yksinkertaisin näistä on rakentaa ympyröitä, jotka koskettavat kolmea tiettyä viivaa ( LLL -ongelma). Tämän ongelman ratkaisemiseksi minkä tahansa tällaisen ympyrän keskipisteen on sijaittava minkä tahansa viivaparin kulman puolittajalla; jokaista kahden viivan leikkauspistettä kohden on kaksi kulman puolittavaa viivaa. Näiden kulman puolittajien leikkauspisteet muodostavat ratkaisupiirien keskipisteet. Tällaisia ympyröitä on yleensä neljä, kolmen suoran leikkauskohdan muodostama kolmion kaareva ympyrä ja kolme ympyrää.

Yleinen Apolloniuksen ongelma voidaan muuntaa yksinkertaisemmaksi ympyrän ja kahden yhdensuuntaisen suoran tangentiksi (itse LLC -tapauksen erityistapaus). Tämän saavuttamiseksi riittää, kun skaalataan kaksi kolmesta annetusta ympyrästä, kunnes ne vain koskettavat, eli ovat tangentteja. Inversio niiden tangentti kohdassa suhteessa ympyrän sopiva säde muunnosten kahden koskettaa annetaan ympyröiden kaksi rinnakkaista, ja kolmas tietyn ympyrän toiseen ympyrä. Siten ratkaisut voidaan löytää liu'uttamalla vaakasäteinen ympyrä kahden rinnakkaisen suoran väliin, kunnes se koskettaa muunnettua kolmatta ympyrää. Uudelleen kääntäminen tuottaa vastaavat ratkaisut alkuperäiseen ongelmaan.

Yleistykset

Tangenttilinjan ja tangenttipisteen käsite voidaan yleistää napapisteeseen Q ja sitä vastaavaan polaariseen linjaan q . Pisteet P ja Q ovat toistensa käänteisiä ympyrän suhteen.

Yhden tai useamman ympyrän tangentin viivan käsite voidaan yleistää monella tavalla. Ensinnäkin tangenttipisteiden ja tangenttilinjojen välinen konjugaatiosuhde voidaan yleistää napapisteisiin ja napalinjoihin , joissa napapisteet voivat olla missä tahansa, ei vain ympyrän kehällä. Toiseksi kahden ympyrän liitto on erityinen ( pelkistettävä ) tapaus kvartaaltasokäyrästä , ja ulkoiset ja sisäiset tangenttilinjat ovat tämän kvartiokäyrän bitangentteja . Yleisellä kvartaalikäyrällä on 28 bitangenttia.

Kolmas yleistys käsittelee tangenttiympyröitä tangenttilinjojen sijasta; tangenttiviivaa voidaan pitää äärettömän säteisenä tangenttiympyränä. Erityisesti kahden ympyrän ulkoiset tangentiviivat ovat rajoitetut tapaukset ympyräperheestä, joka on sisäisesti tai ulkoisesti tangentti molemmille ympyröille, kun taas sisäiset tangentiviivat rajoittavat tapauksia ympyräperheestä, jotka ovat sisäisesti tangentteja yhdelle ja ulkoisesti tangentille toiselle kahdesta ympyrästä.

In Möbius tai inversive geometria , linjat nähdään piireissä pisteen kautta "äärettömään" ja kaikki linjan ja minkä tahansa ympyrä, on Möbius-kuvaus , joka kuvaa toisiinsa. Möbiuksen geometriassa viivan ja ympyrän välisestä tangentista tulee erityinen tapaus kahden ympyrän välillä. Tätä vastaavuutta laajennetaan edelleen Lie -pallon geometriassa .

Säde ja tangenttiviiva ovat kohtisuorassa ympyrän pisteessä ja hyperbolinen-ortogonaalinen yksikön hyperbolin pisteessä . Muuttujien esitys yksikön hyperbeli kautta säde vektori on johdannainen on p ( ) pistettä suuntaan tangentin on p ( ), ja on säde ja tangentti on hyperbolinen ortogonaalisia nimellä koska ovat toistensa peilikuvia, että asymptootti y = yksikön hyperbolin x . Kun tulkitaan monimutkaisiksi jaetuiksi numeroiksi (missä jj = +1), molemmat numerot täyttävät ${\ displaystyle p (a) \ = \ (\ cosh a, \ sinh a).}$ ${\ displaystyle {\ frac {dp} {da}} \ = \ (\ sinh a, \ cosh a).}$ ${\ displaystyle p (a) \ {\ text {and}} \ {\ frac {dp} {da}}}$ ${\ displaystyle jp (a) \ = \ {\ frac {dp} {da}}.}$

Languages

In other projects