Topologia (sähköpiirit) - Topology (electrical circuits)

Topologia elektronisen piirin on muodon mukaan verkko yhteenliittäminen piirikomponenttien. Komponenttien eri erityisarvoja tai luokituksia pidetään yhtenä topologiana. Topologia ei koske piirin osien fyysistä asettelua eikä niiden sijaintia piirikaaviossa ; Samoin kuin topologian matemaattinen käsite , se koskee vain sitä, mitä yhteyksiä komponenttien välillä on. Voi olla lukuisia fyysisiä asetteluja ja piirikaavioita, jotka kaikki ovat samaa topologiaa.

Tarkkaan ottaen komponentin korvaaminen täysin erilaisella tyypillä on edelleen sama topologia. Joissakin yhteyksissä näitä voidaan kuitenkin kuvata löyhästi erilaisiksi topologioiksi. Esimerkiksi, vaihtuvien induktorit ja kondensaattorit alipäästö- suodatin johtaa ylipäästösuodattimen suodatin. Näitä voidaan kuvata ylipäästö- ja alipäästötopologioiksi, vaikka verkon topologia on identtinen. Oikeampi termi näille objektiluokille (eli verkko, jossa komponentin tyyppi on määritetty, mutta ei absoluuttista arvoa) on verkon prototyyppi .

Elektroninen verkkotopologia liittyy matemaattiseen topologiaan , etenkin verkoissa, jotka sisältävät vain kaksi päätelaitetta, piiritopologiaa voidaan pitää graafiteorian sovellutuksena . Kun verkko analyysi tällaisen piirin topologinen näkökulmasta, verkon solmut ovat pisteiden kaaviosta teoria ja verkon oksat ovat reunat on graafiteoria.

Vakiograafiteoriaa voidaan laajentaa koskemaan aktiivisia komponentteja ja monipäätelaitteita, kuten integroituja piirejä . Kaavioita voidaan käyttää myös äärettömien verkkojen analysointiin .

Piirikaaviot

Kytkentäkaavioiden tässä artikkelissa seuraavan normaalia sopimusten elektroniikka; viivat edustavat johtimia, täytetyt pienet ympyrät edustavat johtimien risteyksiä, avoimet pienet ympyrät edustavat liittimiä ulkomaailmaan. Useimmissa tapauksissa impedanssit esitetään suorakulmioina. Käytännöllisessä kytkentäkaaviossa käytettäisiin vastuksen , induktorin , kondensaattorin jne. Erityisiä symboleja , mutta topologia ei koske verkon komponentin tyyppiä, joten sen sijaan on käytetty yleisen impedanssin symbolia .

Graafiteoria tämän artikkelin antaa vaihtoehtoista verkostoja edustavien.

Topologian nimet

Monet topologianimet liittyvät niiden ulkonäköön, kun ne piirretään kaavamaisesti. Useimmat piirit voidaan piirtää eri tavoilla, ja niillä on siten erilaisia ​​nimiä. Esimerkiksi kuvassa 1.1 esitetyt kolme piiriä näyttävät erilaisilta, mutta niiden topologiat ovat identtiset.

Kuva 1.1 . T-, Y- ja Star -topologiat ovat kaikki identtisiä.

Tämä esimerkki osoittaa myös yleisen tavan, jolla topologiat nimetään sen aakkosten kirjaimen mukaan, johon ne muistuttavat. Myös kreikkalaisia ​​aakkosia voidaan käyttää tällä tavalla, esimerkiksi Π ( pi ) topologia ja Δ ( delta ) topologia.

Sarja- ja rinnakkaistopologiat

Verkossa, jossa on kaksi haaraa, on vain kaksi mahdollista topologiaa: sarja ja rinnakkainen .

Kuva 1.2 . Sarja- ja rinnakkaistopologiat, joissa on kaksi haaraa

Jopa näiden yksinkertaisimpien topologioiden osalta piirin esitystapa vaihtelee.

Kuva 1.3 . Kaikki nämä topologiat ovat identtisiä. Sarjan topologia on yleinen nimi. Jännitteenjakajaa tai potentiaalijakajaa käytetään tätä tarkoitusta varten. L-osa on yleinen nimi suodattimen suunnittelun topologialle.

Verkossa, jossa on kolme haaraa, on neljä mahdollista topologiaa;

Kuva 1.4 . Sarja- ja rinnakkaistopologiat, joissa on kolme haaraa

Huomaa, että rinnakkaissarjatopologia on toinen esitys myöhemmin kuvatusta Delta-topologiasta.

Sarja- ja rinnakkaistopologioita voidaan edelleen rakentaa yhä useammilla haaroilla loputtomasti . Yksittäisten topologioiden määrä, jotka voidaan saada n haarasta, on 2 n-1 . Ainutlaatuisten topologioiden kokonaismäärä, joka voidaan saada enintään n haaralla, on 2 n -1.

Y- ja Δ -topologiat

Kuva 1.5 . Y- ja Δ -topologiat

Y ja Δ ovat tärkeitä topologioita lineaarisessa verkkoanalyysissä, koska ne ovat yksinkertaisimmat mahdolliset kolmen terminaalin verkot. Y-Δ muunnos on käytettävissä lineaaripiirien. Tämä muutos on tärkeä, koska on joitain verkkoja, joita ei voida analysoida sarja- ja rinnakkaisyhdistelmien suhteen. Nämä verkot syntyvät usein 3-vaiheisissa virtapiireissä, koska ne ovat kaksi yleisintä topologiaa 3-vaiheisille moottori- tai muuntajakäämille.

Kuva 1.6

Esimerkki tästä on kuvion 1.6 verkko, joka koostuu Y -verkosta, joka on kytketty rinnakkain Δ -verkon kanssa. Oletetaan, että halutaan laskea impedanssi verkon kahden solmun välillä. Monissa verkoissa tämä voidaan tehdä käyttämällä sarja- tai rinnakkaisimpedanssien yhdistelmäsääntöjä peräkkäin. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista tässä tapauksessa, kun Y-Δ -muunnosta tarvitaan sarja- ja rinnakkaissääntöjen lisäksi. Y -topologiaa kutsutaan myös tähtitopologiaksi. Tähtitopologia voi kuitenkin viitata myös yleisempään tapaukseen, jossa monet haarat on kytketty samaan solmuun eikä vain kolmeen.

Yksinkertaiset suodattimen topologiat

Kuva 1.7 . Yleiset tasapainotetut ja epätasapainoiset suodattimen topologiat

Kuvassa 1.7 esitettyjä topologioita käytetään yleisesti suodatin- ja vaimenninmalleihin . L-osa on identtinen topologian kanssa mahdollisen jakajan topologian kanssa. T-osa on identtinen Y-topologian kanssa. Π-osa on identtinen topologian kanssa Δ-topologian kanssa.

Kaikkia näitä topologioita voidaan pitää lyhyenä osana tikkaat topologiasta . Pidempiä osia kuvataan tavallisesti tikkaiden topologiaksi. Tällaisia ​​piirejä analysoidaan ja karakterisoidaan yleisesti kahden portin verkon perusteella .

Sillan topologia

Kuva 1.8

Siltatopologia on tärkeä topologia, jota voidaan käyttää monin tavoin sekä lineaarisissa että epälineaarisissa sovelluksissa, mukaan lukien monien muiden joukossa sillan tasasuuntaaja , Wheatstonen silta ja ristikkovaiheen taajuuskorjain . On useita tapoja, joilla silta -topologia hahmotellaan piirikaavioissa. Kuvan 1.8 ensimmäinen renderöinti on perinteinen siltapiirin kuvaus. Toinen esitys osoittaa selvästi sillan topologian ja sarjoista ja rinnakkaisyhdistelmistä johdetun topologian vastaavuuden. Kolmas renderöinti tunnetaan yleisemmin ristikkotopologiana. Ei ole niin ilmeistä, että tämä on topologisesti vastaava. Voidaan nähdä, että näin on todellakin visualisoimalla vasen yläsolmu siirrettynä oikean yläkulman oikealle puolelle.

Kuva 1.9 . Siltapiiri, jossa on sillan ulostulokuorma

On normaalia soittaa verkkoon sillan topologia vain, jos sitä käytetään niin kahden sataman verkon kanssa tulon ja lähdön satamissa kukin koostuu vinosti vastakkain solmuja. Kuvion 1.7 laatikkotopologian voidaan nähdä olevan identtinen siltojen topologian kanssa, mutta suodattimen tapauksessa tulo- ja lähtöportit ovat kumpikin vierekkäisten solmujen pari . Joskus sillan lähtöportin kuormitus- (tai nolla -ilmaisin) komponentti sisällytetään sillan topologiaan, kuten kuvassa 1.9.

Sillatut T- ja twin-T-topologiat

Kuva 1.10 . Sillattu T -topologia

Sillattu T -topologia on johdettu siltojen topologiasta tavalla, joka selitetään Zobel -verkkoartikkelissa . Samassa artikkelissa käsitellään myös monia johdannaistopologioita.

Kuva 1.11

Saatavana on myös kaksois-T-topologia, jolla on käytännön sovelluksia, joissa on toivottavaa, että tulo ja lähtö jakavat yhteisen ( maadoitus ) päätelaitteen. Tämä voi johtua esimerkiksi siitä, että tulo- ja lähtöliitännät on tehty koaksiaalisella topologialla . Tulo- ja lähtöliittimien yhdistäminen yhteen ei ole sallittua normaalilla silta-topologialla, ja tästä syystä Twin-T: tä käytetään silloin, kun siltaa muutoin käytettäisiin tasapainon tai nollan mittaussovelluksiin. Topologiaa käytetään myös kaksois-T-oskillaattorissa siniaaltogeneraattorina. Kuvan 1.11 alaosassa on kaksois-T-topologia, joka on piirretty uudelleen korostamaan yhteyttä sillatopologiaan.

Loputtomat topologiat

Kuva 1.12

Tikkaiden topologiaa voidaan laajentaa rajoituksetta ja sitä käytetään paljon suodattimissa. Tikkaiden topologiassa on monia muunnelmia, joista joitakin käsitellään elektronisen suodattimen topologiassa ja yhdistelmäkuvasuodattimen artikkeleissa.

Kuva 1.13 . Tikkaiden vastainen topologia

Tasapainoinen muoto tikkaat topologia voidaan nähdä ollessa kuvaaja , että puolella prisman ja mielivaltaisessa järjestyksessä. Prisman vastainen puoli muodostaa topologian, joka tässä mielessä on tikkaat. Tikkaiden vastainen topologia löytää sovelluksen jännitteenkertoimipiireissä , erityisesti Cockcroft-Walton -generaattorissa . Cockcroft-Walton -generaattorista on myös täysi aaltoversio, joka käyttää kaksinkertaista tikkaiden vastaista topologiaa.

Ääretön topologia voidaan myös muodostaa kaskadoimalla useita osia jostain muusta yksinkertaisesta topologiasta, kuten ristikko- tai silta-T-osista. Tällaisia ​​äärettömiä hilaketjuja esiintyy siirtolinjojen teoreettisessa analyysissä ja keinotekoisessa simuloinnissa , mutta niitä käytetään harvoin käytännön piirin toteutuksena.

Komponentit, joissa on enemmän kuin kaksi liitintä

Piirit, joissa on komponentteja, joissa on kolme tai useampia liittimiä, lisäävät huomattavasti mahdollisten topologioiden määrää. Toisaalta topologian esittämien eri piirien määrä vähenee ja monissa tapauksissa piiri on helposti tunnistettavissa topologiasta, vaikka tiettyjä komponentteja ei tunnisteta.

Kuva 1.14 . Perus- vahvistin topologia, kuten yhteisen emitterin bipolaarinen liitostransistori vahvistin
Kuva 1.15 . Tasapainotettu vahvistin, kuten pitkähäntäinen vahvistin

Monimutkaisemmissa piireissä kuvaus voi edetä määrittelemällä siirtofunktion verkon porttien välillä komponenttien topologian sijasta.

Graafinen teoria

Graafiteoria on matematiikan haara, joka käsittelee kaavioita . Verkkoanalyysissä kaavioita käytetään laajasti edustamaan analysoitavaa verkkoa. Verkkokaavio kuvaa vain tietyt verkon piirteet; ne yhteydet tai toisin sanoen sen topologia. Tämä voi olla hyödyllinen esitys ja yleistys verkosta, koska monet verkkoyhtälöt ovat muuttumattomia saman topologian omaavien verkkojen välillä. Tämä sisältää yhtälöt, jotka on johdettu Kirchhoffin laeista ja Tellegenin lauseesta .

Historia

Graafiteoriaa on käytetty lineaaristen, passiivisten verkkojen verkkoanalyysissä lähes siitä hetkestä lähtien, kun Kirchhoffin lait muotoiltiin. Gustav Kirchhoff itse vuonna 1847 käytti kaavioita verkon abstraktina esityksenä resistiivisten piirien silmukka -analyysissa. Tämä lähestymistapa yleistettiin myöhemmin RLC -piireihin korvaamalla vastukset impedansseilla. Vuonna 1873 James Clerk Maxwell toimitti tämän analyysin kaksoiskappaleen solmuanalyysin kanssa. Maxwell on myös vastuussa topologisesta lauseesta, jonka mukaan solmun sisäänpääsymatriisin determinantti on yhtä suuri kuin kaikkien puun sisäänpääsytuotteiden summa. Vuonna 1900 Henri Poincaré esitteli ajatuksen edustaa kuvaajaa sen esiintyvyysmatriisin perusteella ja perusti siten algebrallisen topologian kentän . Vuonna 1916 Oswald Veblen sovelsi Poincarén algebrallista topologiaa Kirchhoffin analyysiin. Veblen vastaa myös kattavan puun käyttöönotosta helpottaakseen yhteensopivan verkkomuuttujasarjan valintaa.

Kuva 2.1. Tikkausverkon alipäästösuodattimen piirikaavio: kaksielementtinen verkko

Kattava luettelointi verkkokaavioista, joita sovelletaan sähköpiireihin, alkoi Percy MacMahonilla vuonna 1891 (insinööriystävällinen artikkeli The Electricianissa vuonna 1892), joka rajoitti tutkimuksensa sarja- ja rinnakkaisyhdistelmiin. MacMahon kutsui näitä kaavioita ike-ketjuiksi. Ronald M.Foster vuonna 1932 luokitteli kaaviot niiden mitättömyyden tai arvon mukaan ja toimitti kaaviot kaikista niistä, joilla on pieni määrä solmuja. Tämä työ kasvoi Fosterin aikaisemmasta kyselystä tehdessään yhteistyötä George Campbellin kanssa vuonna 1920 4-porttisissa puhelimen toistimissa ja tuotti 83 539 erillistä kaaviota.

Sähköpiirien teorian topologia oli pitkään kiinnostunut vain lineaarisista passiivisista verkoista. Puolijohdelaitteiden ja -piirien viimeaikainen kehitys on vaatinut uusia työkaluja topologiassa niiden käsittelemiseksi. Valtava piirien monimutkaisuuden lisääntyminen on johtanut yhdistelmätekniikan käyttöön graafiteoriassa tietokonelaskennan tehokkuuden parantamiseksi.

Kaaviot ja piirikaaviot

Kuva 2.2 . Kuva 2.1.

Verkot luokitellaan yleisesti niiden muodostavien sähköisten elementtien mukaan . Kytkentäkaaviossa nämä elementtityypit on piirretty erikseen, jokaisella on oma ainutlaatuinen symboli. Resistiiviset verkot ovat yksielementtisiä verkkoja, jotka koostuvat vain R- elementeistä. Samoin kapasitiiviset tai induktiiviset verkot ovat yksiosaisia. RC , RL ja LC- piirit ovat yksinkertaisia kaksi-elementti-laji verkkoja. RLC piiri on yksinkertaisin kolme-elementti-laji verkko. LC tikapuuverkon käytetään yleisesti alipäästösuodattimia voi olla useita elementtejä, mutta on toinen esimerkki kahden elementin-laji verkko.

Toisaalta topologia koskee vain verkon elementtien välistä geometrista suhdetta, ei itse elementtejä. Verkon topologisen esityksen ydin on verkon kaavio . Elementit esitetään kaavion reunoina. Reuna on piirretty viivaksi, joka päättyy pisteisiin tai pieniin ympyröihin, joista muut reunat (elementit) voivat nousta. Piirianalyysissä kuvaajan reunoja kutsutaan haaroiksi . Pisteitä kutsutaan kuvaajan kärkipisteiksi ja ne edustavat verkon solmuja . Solmu ja kärki ovat termejä, joita voidaan käyttää keskenään, kun keskustellaan verkkojen kaavioista. Kuva 2.2 esittää kaavion esityksen piirin kuvasta 2.1.

Verkkoanalyysissä käytetyt kaaviot ovat yleensä lisäksi sekä suunnattuja kaavioita virran virtauksen ja jännitteen suunnan kuvaamiseksi että merkittyjä kaavioita haarojen ja solmujen ainutlaatuisuuden kuvaamiseksi. Esimerkiksi haaran neliöstä koostuva kuvaaja olisi edelleen sama topologinen kuvaaja, jos kaksi haaraa vaihdettaisiin keskenään, ellei oksia olisi merkitty yksilöllisesti. Suunnatuissa kaavioissa kaksi solmua, joihin haara yhdistää, nimetään lähde- ja kohdesolmuiksi. Tyypillisesti ne osoitetaan haaraan piirretyllä nuolella.

Ilmaantuvuus

Esiintyvyys on yksi kaavion perusominaisuuksista. Reuna, joka on liitetty solmuun sanotaan olevan tapahtuman , että kärki. Kaavion esiintyvyys voidaan tallentaa matriisimuodossa matriisilla, jota kutsutaan esiintyvyysmatriisiksi. Itse asiassa esiintyvyysmatriisi on vaihtoehtoinen kaavion matemaattinen esitys, joka jättää pois kaikenlaisen piirustuksen tarpeen. Matriisirivit vastaavat solmuja ja matriisisarakkeet haaroja. Matriisin elementit ovat joko nolla, ilman esiintymistä tai yksi solmun ja haaran välisen esiintyvyyden vuoksi. Suunta suunnatuissa kaavioissa on merkitty elementin merkillä.

Vastaavuus

Kaaviot ovat vastaavia, jos yksi niistä voidaan muuttaa toiseksi muodonmuutoksen avulla. Epämuodostumat voivat sisältää käännöksiä , kierto- ja pohdintaoperaatioita ; taivuttaa ja venyttää oksia; ja oksien ylittäminen tai solmiminen. Kaksi kuvaajaa, jotka vastaavat muodonmuutosta, sanotaan olevan yhteneviä .

Sähköverkkojen alalla on kaksi muuta muunnosta, joiden katsotaan johtavan vastaaviin kaavioihin, jotka eivät tuota yhteneviä kaavioita. Ensimmäinen näistä on sarjaan kytkettyjen haarojen vaihto. Tämä on rinnakkain kytkettyjen haarojen vaihtamisen kaksoiskappale, joka voidaan saavuttaa muodonmuutoksella ilman erityissääntöä. Toinen koskee kaavioita , jotka on jaettu kahteen tai useampaan erilliseen osaan , eli kuvaajaa, jossa on kaksi solmujoukkoa, joilla ei ole haaroja jokaisen solmun solmuun. Kaksi tällaista erillistä osaa katsotaan vastaavaksi kuvaajaksi kuin yksi, jossa osat on liitetty yhdistämällä solmu kustakin yhdeksi solmuksi. Samoin kuvaajaa, joka voidaan jakaa kahteen erilliseen osaan jakamalla solmu kahtia, pidetään myös vastaavana.

Puita ja linkkejä

Kuva 2.3 . Yksi mahdollinen puu kuviossa 2.2. Linkit näytetään katkoviivoina.

Puu on graafinen esitys, jossa kaikki solmut on kytketty, joko suoraan tai epäsuorasti, oksat, mutta ilman, että muodostuu suljettuja silmukoita. Koska ei ole suljettuja silmukoita, puussa ei ole virtauksia. Verkkoanalyysissä olemme kiinnostuneita puiden ulottumisesta , toisin sanoen puista, jotka yhdistävät kaikki verkon kaaviossa olevat solmut. Tässä artikkelissa jännepuulla tarkoitetaan ehdottomia puita, ellei toisin mainita. Tietty verkkokaavio voi sisältää useita erilaisia ​​puita. Oksat poistetaan kuvaajan muodostamiseksi puun kutsutaan linkkejä , oksat jäljellä puun kutsutaan oksia . Kaaviossa, jossa on n solmua, kunkin puun oksien lukumäärän t on oltava;

Tärkeä suhde piiri -analyysille on;

jossa b on kaavion haarojen määrä ja on puun muodostamiseksi poistettujen linkkien lukumäärä.

Solmio- ja leikkaussarjat

Piirianalyysin tavoitteena on määrittää kaikki verkon haaravirrat ja jännitteet. Nämä verkkomuuttujat eivät ole riippumattomia. Haarajännitteet liittyvät haaravirtoihin niiden elementtien siirtofunktion avulla , joista ne koostuvat. Täydellinen ratkaisu verkkoon voi siis olla joko haaravirtojen tai haarajännitteiden suhteen. Kaikki haaravirrat eivät myöskään ole toisistaan ​​riippumattomia. Täydelliseen ratkaisuun tarvittava haaravirtojen vähimmäismäärä on l . Tämä on seurausta siitä, että puusta on poistettu 1 linkkiä eikä puussa voi olla virtauksia. Koska puun muilla haaroilla on nollavirta, ne eivät voi olla riippumattomia linkkivirroista. Haara virrat valittu joukko riippumattomia muuttujia täytyy olla joukko liittyy linkkejä puun: ei voi valita minkä tahansa l oksat mielivaltaisesti.

Haarajännitteiden osalta verkon täydellinen ratkaisu saadaan t haarajännitteillä. Tämä on seurausta siitä, että kaikkien puun oksien oikosulku johtaa siihen, että jännite on nolla kaikkialla. Linkkijännitteet eivät siis voi olla riippumattomia puun haarajännitteistä.

Kuva 2.4 . Kuvion 2.2 kaavion leikkausjoukko, joka on johdettu kuvion 2.3 puusta leikkaamalla haara 3.

Yleinen analyysimenetelmä on ratkaista silmukkavirrat haaravirtojen sijasta. Haaravirrat löytyvät sitten silmukkavirtojen suhteen. Jälleen silmukkavirtojen joukkoa ei voida valita mielivaltaisesti. Jotta voidaan taata joukko riippumattomia muuttujia, silmukkavirtojen on oltava tiettyyn silmukkasarjaan liittyviä. Tämä joukko silmukoita koostuu niistä silmukoista, jotka muodostetaan korvaamalla analysoitavan piirin kuvaajan tietyn puun yksi linkki. Koska yhden linkin korvaaminen puussa muodostaa täsmälleen yhden ainutlaatuisen silmukan, näin määriteltyjen silmukkavirtojen määrä on yhtä suuri kuin l . Termi silmukka tässä yhteydessä ei ole sama kuin silmukan tavallinen merkitys kuvaajateoriassa. Tietyn silmukan muodostavien haarojen joukkoa kutsutaan solmiojoukkoksi . Verkkoyhtälöjoukko muodostetaan yhdistämällä silmukkavirrat tiejoukon haaravirtojen algebralliseen summaan.

On mahdollista valita joukko riippumattomia silmukkavirtoja ilman puita ja solmukohtia. Riittävä, mutta ei välttämätön ehto riippumattomien silmukoiden joukon valitsemiselle on varmistaa, että jokainen valittu silmukka sisältää vähintään yhden haaran, jota aiemmin valitut silmukat eivät sisältäneet. Erityisen yksinkertainen vaihtoehto on, että käytetään mesh analyysi , jossa silmukat ovat kaikki valitaan silmää. Silmäanalyysiä voidaan soveltaa vain, jos on mahdollista kartoittaa kuvaaja tasolle tai pallolle ilman, että mikään haara ylittää. Tällaisia ​​kaavioita kutsutaan tasomaiseksi kuvaajaksi . Kyky kartoittaa tasoon tai palloon ovat vastaavat ehdot. Mikä tahansa tasoon kartoitettu äärellinen kuvaaja voidaan kutistaa, kunnes se kartoitetaan pallon pienelle alueelle. Sitä vastoin minkä tahansa palloon kartoitetun verkon verkko voidaan venyttää, kunnes sen sisällä oleva tila vie lähes koko pallon. Koko kuvaaja vie tällöin vain pienen pallon alueen. Tämä on sama kuin ensimmäinen tapaus, joten kaavio kartoitetaan myös tasolle.

Jännitteisiä verkkomuuttujia valittaessa on lähestymistapa, joka on analoginen ja kaksinkertainen silmukkavirtamenetelmään. Tässä solmupariin liittyvä jännite ovat ensisijaisia ​​muuttujia ja haarajännitteet löytyvät niistä. Myös tässä menetelmässä on valittava kaavion tietty puu sen varmistamiseksi, että kaikki muuttujat ovat riippumattomia. Solmiosarjan kaksikko on leikkaussarja . Sidosjoukko muodostetaan sallimalla kaikkien kaaviolinkkien paitsi yhden avoimen piirin. Leikkausjoukko muodostetaan sallimalla kaikkien puun oksien paitsi yhden oikosulun. Leikkaussarja koostuu puun oksasta, joka ei ollut oikosulussa, ja kaikista linkkeistä, joita muut puun oksat eivät oikosulje. Kaavion leikkausjoukko tuottaa kaksi erillistä alikuvaajaa , toisin sanoen se leikkaa kuvaajan kahteen osaan ja on siihen tarvittava vähimmäishaarajoukko. Verkkoyhtälöjoukko muodostetaan yhdistämällä solmuparijännitteet leikkausjoukon haarajännitteiden algebralliseen summaan. Verkkoanalyysin erikoistapauksen kaksoiskappale on solmuanalyysi .

Tyhmyys ja arvo

Mitättömyys, N , on kuvaajan s erottaa osat ja b oksat on määritelty;

Kaavion mitättömyys edustaa sen verkkoyhtälöjoukon vapausasteiden määrää. Tasomaisella kuvaajalla nollaisuus on yhtä suuri kuin kaavion silmien lukumäärä.

Kaavion sijoitus R määritellään;

Sijoituksella on sama rooli solmuanalyysissä kuin mitättömyydellä verkko -analyysissä. Toisin sanoen se antaa tarvittavan solmujänniteyhtälön määrän. Sijoitus ja mitätöinti ovat kaksoiskäsitteitä ja liittyvät toisiinsa;

Verkkomuuttujien ratkaiseminen

Kun joukko geometrisesti riippumattomia muuttujia on valittu, verkon tila ilmaistaan ​​näillä. Tuloksena on joukko riippumattomia lineaarisia yhtälöitä, jotka on ratkaistava samanaikaisesti verkkomuuttujien arvojen löytämiseksi. Tämä yhtälöryhmä voidaan ilmaista matriisimuodossa, joka johtaa verkon ominaisparametrimatriisiin. Parametrimatriisit ovat impedanssimatriisin muodossa, jos yhtälöt on muodostettu silmukka-analyysin perusteella, tai hyväksymismatriisina, jos yhtälöt on muodostettu solmuanalyysin perusteella.

Nämä yhtälöt voidaan ratkaista monilla hyvin tunnetuilla tavoilla. Yksi menetelmä on muuttujien järjestelmällinen poistaminen . Toinen menetelmä sisältää determinanttien käytön . Tämä tunnetaan Cramerin sääntönä ja tarjoaa suoran lausekkeen tuntemattomalle muuttujalle determinanttien suhteen. Tästä on hyötyä, koska se tarjoaa ratkaisulle kompaktin ilmeen. Kuitenkin kaikkeen muuhun kuin kaikkein vähäpätöisimpiin verkkoihin vaaditaan enemmän laskentatoimia, kun tätä menetelmää käytetään manuaalisesti.

Kaksinaisuus

Kaksi kuvaajaa ovat kaksoiskappaleita, kun haarojen ja solmuparien suhde toisessa on sama kuin haaran ja silmukoiden suhde toisessa. Kaavion kaksoiskappale voidaan löytää kokonaan graafisella menetelmällä .

Kaavion kaksikko on toinen kuvaaja. Kaavion tietylle puulle täydentävä haarajoukko (eli oksat, jotka eivät ole puussa) muodostavat puun kaksoiskaaviossa. Alkuperäisen kaavion ja puun tiejoukkoihin liittyvät nykyiset silmukkayhtälöjoukot ovat identtiset kaksoiskaavion leikkausjoukkoihin liittyvien jännitesolmuparien yhtälöiden joukon kanssa.

Seuraavassa taulukossa luetellaan piiriteoriaan liittyvät topologian kaksoiskäsitteet.

Kuva 2.5 . Kaavion kaksoiskaavio kuvassa 2.2.
Yhteenveto kaksoiskäsityksistä
Nykyinen Jännite
Puu Sokkelo
Haara Haara
Mesh Solmu
Silmukka Solmupari
Linkki Puun oksa
Solmio setti Leikkaussarja
Oikosulku Avoin rata
Rinnakkaisliitäntä Sarjaliitäntä
Mitättömyys Sijoitus

Puun kaksikkoa kutsutaan joskus sokkeloksi. Se koostuu tiloista, jotka on linkitetty toisiinsa samalla tavalla kuin puu koostuu puun oksien yhdistämistä solmuista.

Dualia ei voi muodostaa jokaiselle kuvaajalle. Kaksinaisuus edellyttää, että jokaisella solmusarjalla on kaksoisleikkaussarja kaksoiskaaviossa. Tämä ehto täyttyy silloin ja vain, jos kuvaaja voidaan kuvata palloon, jossa ei ole haaroja. Huomaa, että tämä on huomioitava, että solmiojoukko tarvitaan kaavion "sitomiseen" kahteen osaan ja sen kaksoiskappaleeseen, leikkausjoukkoon, kaavion leikkaamiseen kahteen osaan. Äärellisen verkon kuvaaja, joka ei osu palloon, vaatii n -kertaisen toruksen . Solmusarja, joka kulkee toruksen reiän läpi, ei sido kuvaajaa kahteen osaan. Näin ollen kaksoiskaaviota ei leikata kahteen osaan eikä se sisällä vaadittua leikkausjoukkoa. Näin ollen vain tasomaisissa kaavioissa on kaksoisia.

Kaksoisia ei myöskään voida muodostaa keskinäisiä induktansseja sisältäville verkkoille, koska vastaavaa kapasitiivista elementtiä ei ole. Voidaan kehittää vastaavia piirejä, joissa on dualit, mutta dualia ei voida muodostaa suoraan keskinäisestä induktanssista.

Solmun ja verkon poistaminen

Operaatioilla verkkoyhtälöjoukolla on topologinen merkitys, joka voi auttaa visualisoimaan mitä tapahtuu. Poistaminen solmun jännite joukosta verkon yhtälöitä vastaa topologisesti poistamiseen että solmun kaaviosta. Solmuun, joka on kytketty kolmeen muuhun solmuun, tämä vastaa hyvin tunnettua Y-Δ -muunnosta . Muunnos voidaan laajentaa suurempaan määrään kytkettyjä solmuja, ja sitä kutsutaan tähti-verkon muunnokseksi .

Tämän muunnoksen käänteinen suunta on Δ-Y-muunnos, joka analyyttisesti vastaa verkkovirran poistamista ja topologisesti silmän poistamista. Kuitenkin sellaisen verkkovirran poistaminen, jonka silmässä on yhteisiä haaroja mielivaltaisen määrän muiden silmien kanssa, ei yleensä johda toteutettavissa olevaan kuvaajaan. Tämä johtuu siitä, että yleisen tähden muunnoksen kuvaaja on kuvaaja, joka ei karttu palloon (se sisältää tähtien monikulmioita ja siten useita risteyksiä). Tällaisen kuvaajan kaksoiskappaletta ei voi olla olemassa, mutta se on kaavio, joka vaaditaan edustamaan yleistä verkon poistoa.

Keskinäinen kytkentä

Kuva 2.6 . Kaksinkertaisen viritetty piiri käytetään usein pari vaiheissa viritetty vahvistimet. A , kaksoisviritetyn piirin kuvaaja. B , vastaava kuvaaja, jossa erotetut osat on yhdistetty.

Piirien tavanomaisessa graafisessa esityksessä ei ole keinoja nimenomaisesti esittää keskinäisiä induktiivisia kytkimiä, kuten muuntajassa , ja tällaiset komponentit voivat johtaa irrotettuun käyrään, jossa on useampi kuin yksi erillinen osa. Analyysin helpottamiseksi useista osista koostuva kuvaaja voidaan yhdistää yhdeksi kuvaajaksi yhdistämällä yksi solmu kussakin osassa yhdeksi solmuksi. Tällä ei ole mitään merkitystä piirin teoreettiseen käyttäytymiseen, joten sille tehty analyysi on edelleen pätevä. Käytännön eroa olisi kuitenkin, jos piiri toteutettaisiin tällä tavalla siten, että se tuhoaisi osien välisen eristyksen. Esimerkki olisi muuntaja, joka on maadoitettu sekä ensisijaisella että toissijaisella puolella. Muuntaja toimii edelleen muuntajana, jolla on sama jännitesuhde, mutta sitä ei voi enää käyttää eristysmuuntajana .

Graafiteorian uudemmat tekniikat pystyvät käsittelemään aktiivisia komponentteja, jotka ovat myös ongelmallisia perinteisessä teoriassa. Nämä uudet tekniikat pystyvät myös käsittelemään keskinäisiä kytkentöjä.

Aktiiviset komponentit

Keskinäisten kytkimien ja aktiivisten komponenttien käsittelyyn on käytettävissä kaksi perusmenetelmää. Ensimmäisessä näistä Samuel Jefferson Mason esitteli vuonna 1953 signaalivirtakaaviot . Signaalivirtakaaviot ovat painotettuja, suunnattuja kaavioita. Hän käytti näitä analysoidakseen piirejä, jotka sisälsivät keskinäisiä kytkimiä ja aktiivisia verkkoja. Suunnatun reunan paino näissä kaavioissa edustaa vahvistusta, kuten vahvistimen hallussa. Yleensä signaalivirtakaaviot, toisin kuin edellä kuvatut säännölliset suunnatut kaaviot, eivät yleensä vastaa komponenttien fyysisen järjestelyn topologiaa.

Toinen lähestymistapa on laajentaa klassista menetelmää siten, että se sisältää keskinäiset kytkennät ja aktiiviset komponentit. Tämän saavuttamiseksi on ehdotettu useita menetelmiä. Yhdessä näistä muodostetaan kaksi kuvaajaa, joista toinen edustaa piirin virtoja ja toinen jännitteitä. Passiivisilla komponenteilla on samat haarat molemmissa puissa, mutta aktiivisilla komponenteilla ei ehkä ole. Menetelmä perustuu molempien kaavioiden yhteisten puiden tunnistamiseen. Chen esitti vuonna 1965. Vaihtoehtoisen tavan laajentaa klassista lähestymistapaa, joka vaatii vain yhden kaavion. Chenin menetelmä perustuu juurtuneeseen puuhun .

Hypergraafit

Toinen tapa laajentaa aktiivisten komponenttien klassista graafiteoriaa on käyttää hypergrafeja . Joitakin elektronisia komponentteja ei esitetä luonnollisesti kaavioiden avulla. Transistori on kolme yhteys pistettä, mutta normaali kaavio haara voi muodostaa yhteyden vain kaksi solmua. Nykyaikaisissa integroiduissa piireissä on paljon enemmän yhteyksiä kuin tämä. Tämä ongelma voidaan ratkaista käyttämällä hypergrafeja tavallisten kaavioiden sijaan.

Kuva 2.7 . Esimerkki hypergraafista. Säännölliset reunat on merkitty mustalla, hyperedges on esitetty sinisellä ja lonkerot ovat punaisella.

Perinteisessä esityksessä komponentteja edustavat reunat, joista jokainen liittyy kahteen solmuun. Hypergraafissa komponentit esitetään hyperedgeillä, jotka voivat muodostaa yhteyden mielivaltaiseen määrään solmuja. Hyperedgeissä on lonkeroita, jotka yhdistävät hyperedge solmuihin. Hyperedgeen graafinen esitys voi olla laatikko (verrattuna reunaan, joka on viiva) ja sen lonkeroiden esitykset ovat viivoja laatikosta yhdistettyihin solmuihin. Suunnatussa hypergraafissa lonkeroissa on etiketit, jotka määritetään hyperedge -merkinnällä. Perinteistä suunnattua kuvaajaa voidaan ajatella hypergrafina, jossa on hyperedgejä, joissa kussakin on kaksi lonkeroa. Nämä kaksi lonkeroita on merkitty lähteeksi ja kohteeksi, ja ne on yleensä merkitty nuolella. Yleisessä hypergrafissa, jossa on enemmän lonkeroita, vaaditaan monimutkaisempia merkintöjä.

Hypergraafit voidaan luonnehtia niiden esiintyvyysmatriiseilla. Säännöllisessä kaaviossa, joka sisältää vain kahden terminaalikomponentin, on täsmälleen kaksi merkkiä, jotka eivät ole nollaa kullakin rivillä. Mikä tahansa esiintyvyysmatriisi, jossa on enemmän kuin kaksi merkintää ei-nollaa millä tahansa rivillä, edustaa hypergrafia. Joka määrää ei-nolla-tuloja peräkkäin on listalla vastaavan haaran, ja latvuksen listalla on listalla esiintyvyys matriisin.

Ei-homogeeniset muuttujat

Klassinen verkkoanalyysi kehittää joukon verkkoyhtälöitä, joiden verkkomuuttujat ovat homogeenisia joko virrassa (silmukka -analyysi) tai jännitteessä (solmuanalyysi). Näin löydetty verkkomuuttujien joukko ei välttämättä ole vähimmäismäärä riippumattomien yhtälöiden muodostamiseksi. Silmukka -analyysin muuttujien lukumäärässä voi olla ero solmuanalyysiin. Joissakin tapauksissa mahdollinen vähimmäismäärä voi olla pienempi kuin jompikumpi näistä, jos homogeenisuusvaatimusta kevennetään ja virta- ja jännitemuuttujien yhdistelmä sallitaan. Kishin ja Katajinin vuonna 1967 antama tulos on, että verkon käyttäytymisen kuvaamiseen tarvittavien muuttujien absoluuttinen vähimmäismäärä saadaan verkkokaavion kahden ulottuvan metsän välisestä maksimietäisyydestä .

Verkon synteesi

Graafiteoriaa voidaan soveltaa verkkosynteesiin . Klassinen verkkosynteesi toteuttaa vaaditun verkon yhdessä useista kanonisista muodoista . Esimerkkejä kanonisista muodoista ovat Cauerin kanonisen tikasverkon tai Fosterin kanonisen muodon toteutus ajopisteen impedanssiksi tai Brunen realisoituminen hänen positiivisten ja todellisten toimintojensa välittämättömyydestä . Toisaalta topologiset menetelmät eivät lähde tietystä kanonisesta muodosta. Pikemminkin muoto on matemaattisen esityksen tulos. Jotkut kanoniset muodot edellyttävät keskinäisiä induktansseja niiden toteuttamiseksi. Verkkosynteesin topologisten menetelmien päätavoite on ollut poistaa näiden keskinäisten induktanssien tarve. Yksi teologia, joka tulee esiin topologiasta, on se, että käyttöpisteen impedanssin toteutuminen ilman keskinäisiä kytkentöjä on minimaalinen silloin ja vain, jos ei ole kaikkia induktori- tai kondensaattorisilmukoita.

Graafiteoria on tehokkaimmillaan verkkosynteesissä, kun verkon elementit voidaan esittää reaaliluvuilla (yhden elementin kaltaiset verkot, kuten resistiiviset verkot) tai binääritiloilla (kuten kytkentäverkot).

Loputtomat verkot

Ehkä varhaisin tutkittava verkko, jossa oli ääretön kuvaaja, oli Oliver Heavisiden vuonna 1881 kehittämä siirtojohtojen edustamiseen käytetty portaikkoverkko . Varmasti kaikki loputtomien verkkojen varhaiset tutkimukset rajoittuivat jaksollisiin rakenteisiin, kuten tikkaat tai ristikot, joissa samat elementit toistuvat yhä uudelleen. Vasta 1900 -luvun lopulla saatiin käyttöön työkaluja äärettömien verkkojen analysoimiseksi mielivaltaisella topologialla.

Infiniittiset verkostot ovat suurelta osin vain teoreettisia ja ne ovat matemaatikkojen leikkiä. Loputtomilla verkoilla, joita ei rajoita reaalimaailman rajoitukset, voi olla joitain hyvin epäfyysisiä ominaisuuksia. Esimerkiksi Kirchhoffin lait voivat joissakin tapauksissa epäonnistua ja voidaan määritellä äärettömät vastustikkaat, joiden ajopisteen impedanssi riippuu äärettömästä päättymisestä. Toinen teoreettisten äärettömien verkkojen epäfyysinen ominaisuus on se, että yleensä ne hajottavat ääretöntä valtaa, ellei niihin aseteta rajoituksia tavanomaisten verkkolakien, kuten Ohmin ja Kirchhoffin lakien, lisäksi. On kuitenkin joitain todellisia sovelluksia. Siirtojohtoesimerkki on yksi käytännön ongelmien luokka, jota voidaan mallintaa äärettömän pienillä elementeillä ( hajautetun elementin malli ). Muita esimerkkejä ovat aaltojen laukaiseminen jatkuvaan väliaineeseen, hauraat kenttäongelmat ja resistanssin mittaus alustan pisteiden välillä tai porausreiän alaspäin.

Transfiniittiset verkot laajentavat ajatusta äärettömistä verkoista vieläkin pidemmälle. Äärettömän verkon äärellä olevalla solmulla voi olla siihen liitetty toinen haara, joka johtaa toiseen verkkoon. Tämä uusi verkko voi olla loputon. Siten, topologiat voidaan konstruoida, joilla on paria solmujen ilman rajallinen polku niiden välillä. Tällaisia ​​äärettömien verkkojen verkkoja kutsutaan transfiniittiverkkoiksi.

Huomautuksia

Katso myös

Viitteet

Bibliografia

  • Brittain, James E., Latauskelan esittely: George A.Campbell ja Michael I.Pupin ", Technology and Culture , osa 11 , nro 1, s. 36–57, The Johns Hopkins University Press, tammikuu 1970 doi : 10.2307/3102809 .
  • Campbell, GA, "Physical theory of the electric wave-filter" , Bell System Technical Journal , marraskuu 1922, voi. 1, ei. 2, s. 1–32.
  • Cederbaum, I., "Jotkut graafiteorian sovellukset verkkoanalyysiin ja synteesiin" , IEEE Transactions on Circuits and Systems , osa 31 , iss.1, s. 64–68, tammikuu 1984.
  • Farago, PS, Johdatus lineaariseen verkkoanalyysiin, The English Universities Press Ltd, 1961.
  • Foster, Ronald M., "Sähköverkkojen geometriset piirit" , Transactions of the American Institute of Electrical Engineers , osa 51 , iss.2, s. 309–317, kesäkuu 1932.
  • Foster, Ronald M .; Campbell, George A., "Maksimilähtöverkot puhelinasemille ja toistinpiireille" , Transactions of the American Institute of Electrical Engineers , osa 39 , iss.1, s. 230–290, tammikuu 1920.
  • Guillemin, Ernst A., Introductory Circuit Theory , New York: John Wiley & Sons, 1953 OCLC  535111
  • Hyvä, Dieter; Feser, Kurt, High-voltage Test Techniques , kääntäjä Y. Narayana Rao, Newnes, 2001 ISBN  0-7506-5183-0 .
  • Kishi, Genya; Kajitani, Yoji, " Suurin etäisyys puista ja lineaarisen kuvaajan pääosio " , IEEE Transactions on Circuit Theory , osa 16 , iss.3, s. 323–330, elokuu 1969.
  • MacMahon, Percy A., "ikeen-ketjut ja moniosainen koostumuksia sen yhteydessä analyyttisten muotoja kutsutaan’Trees’", Proceedings of the London Mathematical Society , Vol.22 (1891), pp.330-346 doi : 10,1112 / PLMS / s1-22.1.330 .
  • MacMahon, Percy A. "yhdistelmät vastusten", The Electrician , Vol.28 , s. 601-602 8. huhtikuuta 1892.
    uusintapainos Discrete Applied Mathematics , vol.54 , iss.Iss.2-3, s. 225 –228, 17. lokakuuta 1994 doi : 10.1016/0166-218X (94) 90024-8 .
  • Minas, M., "Semanttisten esitysten luominen kaavioista", Applications of Graph Transformations with Industrial Relevance: international workshop, AGTIVE'99, Kerkrade, Alankomaat, 1. - 3. syyskuuta 1999: julkaisut , s. 209–224, Springer, 2000 ISBN  3-540-67658-9 .
  • Redifon Radio Diary, 1970 , William Collins Sons & Co, 1969.
  • Skiena, Steven S., Algoritmin suunnitteluopas , Springer, 2008, ISBN  1-84800-069-3 .
  • Suresh, Kumar KS, "Johdatus verkon topologiaan", luku 11 sähköpiireissä ja -verkoissa , Pearson Education India, 2010 ISBN  81-317-5511-8 .
  • Tooley, Mike, BTEC First Engineering: Pakolliset ja valitut valinnaiset yksiköt BTEC-tekniikan ensimmäisille aloille , Routledge, 2010 ISBN  1-85617-685-1 .
  • Wildes, Karl L .; Lindgren, Nilo A., " Verkkoanalyysi ja synteesi: Ernst A. Guillemin", A Century of Electrical Engineering and Computer Science, MIT, 1882–1982 , s. 154–159, MIT Press, 1985 ISBN  0-262-23119- 0 .
  • Zemanian, Armen H., Infinite Electrical Networks , Cambridge University Press, 1991 ISBN  0-521-40153-4 .