Valtavan runsas määrä - Colossally abundant number
On matematiikka , joka on colossally runsas määrä (lyhennetään joskus CA ) on luonnollinen luku , että tietyllä, tiukka merkityksessä, on monia jakajat . Muodollisesti luku n on valtavan runsas silloin ja vain, jos on ε> 0 niin, että kaikille k > 1,
jossa σ tarkoittaa jakajien summa -funktiota . Kaikki valtavan runsaat luvut ovat myös ylimääräisiä numeroita , mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa.
Ensimmäinen 15 colossally runsas luku, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sekvenssi A004490 , että OEIS ) ovat myös ensimmäinen 15 ylivoimainen erittäin yhdistelmälukuja , mutta kumpikaan joukko ei ole toisen osajoukko.
Historia
Ramanujan tutki ensin suuria määriä, ja hänen löydöksensä oli tarkoitus sisällyttää hänen vuonna 1915 julkaistuun, erittäin komposiittilukuja käsittelevään artikkeliinsa . Valitettavasti lehden kustantaja, jolle Ramanujan toimitti työnsä, London Mathematical Society , oli tuolloin taloudellisissa vaikeuksissa, ja Ramanujan suostui poistamaan työn osatekijät painokustannusten alentamiseksi. Hänen havaintonsa olivat useimmiten ehdollisia Riemannin hypoteesille, ja tällä oletuksella hän löysi ylä- ja alarajat valtavan runsaiden lukujen koolle ja osoitti, että Robinin eriarvoisuus (ks. Alla) pätee kaikkiin riittävän suuriin arvoihin n .
Numeroluokkaa tarkasteltiin hieman vahvemmassa muodossa Leonidas Alaoglun ja Paul Erdősin vuonna 1944 julkaisussa, jossa he yrittivät laajentaa Ramanujanin tuloksia.
Ominaisuudet
Valtavan runsaat luvut ovat yksi monista kokonaislukuluokista, jotka yrittävät vangita käsityksen siitä, että on monia jakajia. Positiiviselle kokonaisluvulle n jakajien summafunktio σ ( n ) antaa kaikkien niiden lukujen summan, jotka jakavat n , mukaan lukien 1 ja n itse. Paul Bachmann osoitti, että keskimäärin σ ( n ) on noin π 2 n / 6. Grönwall n lause puolestaan kertoo, että maksimaalinen järjestys σ ( n ) on yhä niin hieman suurempi, erityisesti on kasvava jono kokonaislukuja n tällaisten että näille kokonaisluvuille σ ( n ) on suunnilleen sama kuin e γ n log (log ( n )), jossa γ on Euler – Mascheroni -vakio . Näin ollen valtava määrä lukuja vangitsee käsityksen siitä, että on monia jakajia, vaatimalla niitä maksimoimaan funktion arvon joillekin ε> 0: lle
kaikkien n: n arvojen yli . Bachmannin ja Grönwallin tulokset varmistavat, että jokaisella ε> 0: lla tällä funktiolla on maksimi ja että ε: n ollessa nolla, nämä maksimit kasvavat. Täten on äärettömän paljon valtavan runsaita lukuja, vaikka ne ovatkin melko harvoja, ja vain 22 niistä on alle 10 18 .
Aivan kuten ylivoimaiset erittäin komposiittiluvut, kaikkien valtavan runsaiden lukujen joukon tehokas rakenne saadaan seuraavasta yksitoikkoisesta kartoituksesta positiivisista todellisista numeroista. Antaa
mille tahansa alkuluvulle p ja positiiviselle reaalille . Sitten
- on valtavan runsas luku.
Jokaiselle ε: lle edellä olevalla funktiolla on maksimi, mutta ei ole ilmeistä eikä itse asiassa totta, että jokaiselle ε: lle tämä maksimiarvo on ainutlaatuinen. Alaoglu ja Erdős tutkivat, kuinka monta eri n -arvoa voisi antaa saman maksimiarvon yllä olevalle funktiolle tietyllä ε -arvolla. Ne osoittivat, että useimmille arvoille ε olisi yksi kokonaisluku n, joka maksimoi funktion. Myöhemmin, kuitenkin, Erdős ja Jean-Louis Nicolas osoitti, että tietty joukko erillisiä arvoja ε voisi olla kaksi tai neljä eri arvoja n antaa sama maksimaalinen arvo.
Vuoden 1944 paperissaan Alaoglu ja Erdős arvelivat, että kahden peräkkäisen, valtavan runsaan luvun suhde oli aina alkuluku . He osoittivat, että tämä seuraa erityinen tapaus neljä exponentials arveluihin vuonna transkendenttiluku teoriassa , erityisesti, että minkä tahansa kahden eri alkuluvun p ja q , ainoa todellinen määrä t jolla molemmat p t ja q t ovat rationaalisia ovat positiivisia kokonaislukuja. Käyttäen vastaavaa tulosta kolmella alukkeella - erityistapaus kuudesta eksponentiaaliteoreemasta, jonka Siegel väitti todistavan - he onnistuivat osoittamaan, että kahden peräkkäisen, valtavan runsaan luvun osamäärä on aina joko alkuluku tai puoliaika , eli luku vain kaksi päätekijää . Osamäärä ei voi koskaan olla alkuluku.
Alaoglun ja Erdősin arvaus jää avoimeksi, vaikka se on tarkistettu ainakin 10 7 asti . Jos tämä on totta, se tarkoittaisi, että oli olemassa sarja ei-erillisiä alkulukuja p 1 , p 2 , p 3 , ... siten, että n. Kolossaalisesti runsas luku oli muotoa
Olettaen arveluihin omistaa, tässä järjestyksessä alkulukujen alkaa 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (sekvenssi A073751 on OEIS ). Alaoglun ja Erdősin olettamus tarkoittaisi myös sitä, ettei mikään ε -arvo anna neljää eri kokonaislukua n edellä mainitun funktion maksimina.
Suhde Riemannin hypoteesiin
Guy Robin osoitti 1980 -luvulla , että Riemannin hypoteesi vastaa väitettä, jonka mukaan seuraava eriarvoisuus on totta kaikille n > 5040: (missä γ on Euler -Mascheroni -vakio )
Tätä epätasapainoa tiedetään epäonnistuu 27 numerot (sekvenssi A067698 on OEIS ):
- 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040
Robin osoitti, että jos Riemannin hypoteesi on totta, n = 5040 on viimeinen kokonaisluku, jonka osalta se epäonnistuu. Eriarvoisuus tunnetaan nyt Robinin eriarvoisuutena työnsä jälkeen. Tiedetään, että Robinin eriarvoisuus, jos se ei koskaan kestä, epäonnistuu valtavan runsaalla numerolla n ; näin ollen Riemannin hypoteesi vastaa itse asiassa Robinin eriarvoisuutta jokaista valtavan runsasta lukua n > 5040 kohti.
Vuosina 2001–2002 Lagarias esitti Robinin väitteen vaihtoehtoisen muodon, joka ei vaadi poikkeuksia, käyttämällä harmonisia numeroita lokin sijaan:
Tai muut kuin 8 poikkeusta n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:
