Täydellinen numero - Perfect number

In numero teoria , joka on täydellinen numero on positiivinen kokonaisluku , joka on yhtä suuri kuin summa sen positiivinen divisors , lukuun ottamatta itse numero. Esimerkiksi 6: lla on jakajat 1, 2 ja 3 (lukuun ottamatta itseään), ja 1 + 2 + 3 = 6, joten 6 on täydellinen luku.

Luvun jakajien summaa, lukuun ottamatta itse lukua, kutsutaan sen alikvootisummaksi , joten täydellinen luku on se, joka on yhtä suuri kuin sen alikvoottisumma. Vastaavasti täydellinen luku on luku, joka on puolet kaikkien sen positiivisten jakajien summasta itsensä mukaan lukien; symboleissa σ ₁ ( n ) = 2 n jossa σ ₁ on jakajien summafunktio . Esimerkiksi 28 on täydellinen 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Tämä määritelmä on muinainen, esiintyy jo Eukleidesin elementteissä (VII.22), jossa sitä kutsutaan τέλειος ἀριθμός ( täydellinen , ihanteellinen tai täydellinen luku ). Eukleides osoitti myös muodostussäännön (IX.36), jonka mukaan se on jopa täydellinen luku aina, kun se on positiivisen kokonaisluvun alkuluku - jota nyt kutsutaan Mersennen alkuluvuksi . Kaksi vuosituhatta myöhemmin Leonhard Euler osoitti, että kaikki jopa täydelliset numerot ovat tätä muotoa. Tämä tunnetaan Euclid -Euler -lauseena . ${\ displaystyle q (q+1)/2}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle 2^{p} -1}$${\ displaystyle p}$

Ei tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä numeroita, eikä myöskään sitä, onko täydellisiä lukuja loputtomasti. Muutaman ensimmäisen täydellinen numerot ovat 6 , 28 , 496 ja 8128 (sekvenssi A000396 on OEIS ).

Historia

Noin 300 BC Euclid osoitti, että jos 2 ^p  - 1 on alkuluku, sitten 2 ^{s -1} (2 ^p  - 1) on täydellinen. Ensimmäiset neljä täydellistä lukua olivat ainoat, jotka varhaisen kreikkalaisen matematiikan tiedettiin , ja matemaatikko Nicomachus huomasi 8128 jo noin 100 jKr. Nykykielellä Nicomachus toteaa ilman todisteita, että jokainen täydellinen luku on muodossa, jossa se on alkuluku. Hän näyttää olevan tietämätön siitä, että n itsensä on oltava ensisijainen. Hän sanoo myös (väärin), että täydelliset numerot päättyvät vuorotellen kuuteen tai kahdeksaan. (Ensimmäiset viisi täydellistä numeroa päättyvät numeroihin 6, 8, 6, 8, 6; mutta kuudes päättyy myös numeroon 6.) Philo Alexandria ensimmäisessä vuosisadassa julkaistussa kirjassaan "Luomisesta" mainitsee täydelliset numerot väittäen, että maailma luotiin 6 päivässä ja kuu kiertää 28 päivässä, koska 6 ja 28 ovat täydellisiä. Filon perässä ovat Origenes ja Didymus Sokea , joka lisää havainnon, että on vain neljä täydellistä lukua, jotka ovat alle 10 000. (Kommentti 1.Moos. 1. 14-19). Pyhä Augustinus määrittelee täydelliset luvut Jumalan kaupungissa (Kirja XI, luku 30) 5. vuosisadan alussa, toistaen väitteen, että Jumala loi maailman kuudessa päivässä, koska kuusi on pienin täydellinen luku. Egyptiläinen matemaatikko Ismail ibn Fallūs (1194–1252) mainitsi seuraavat kolme täydellistä lukua (33 550 336; 8 589 869 056 ja 137 438 691 328) ja listasi muutamia muita, joiden tiedetään nyt olevan vääriä. Ensimmäinen tunnettu eurooppalainen maininta viidennestä täydellisestä numerosta on käsikirjoitus, jonka tuntematon matemaatikko kirjoitti vuosina 1456–1461. Vuonna 1588 italialainen matemaatikko Pietro Cataldi tunnisti kuudennen (8 589 869 056) ja seitsemännen (137 438 691 328) täydelliset luvut ja osoitti myös, että jokainen Euclidin säännöstä saatu täydellinen luku päättyy kuuteen tai kahdeksaan. ${\ displaystyle 2^{n-1} (2^{n} -1)}$${\ displaystyle 2^{n} -1}$

Jopa täydelliset numerot

Eukleides osoitti, että 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) on jopa täydellinen luku aina, kun 2 ^p  - 1 on prime (Elements, Prop. IX.36).

Esimerkiksi neljä ensimmäistä täydellistä lukua muodostetaan kaavalla 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), jossa p on alkuluku , seuraavasti:

ja p = 2: 2 ¹ (2 ²  - 1) = 2 x 3 = 6

ja p = 3: 2 ² (2 ³  - 1) = 4 x 7 = 28

ja p = 5: 2 ⁴ (2 ⁵  - 1) = 16 x 31 = 496

ja p = 7: 2 ⁶ (2 ⁷  - 1) = 64 x 127 = 8128.

Muotojen 2 ^p-  1 alkuluvut tunnetaan Mersennen alkuluvuina 1600-luvun munkin Marin Mersennen mukaan , joka opiskeli lukuteoriaa ja täydellisiä numeroita. Jotta 2 ^p  - 1 olisi prime, on välttämätöntä, että p itse on prime. Kaikki muodon 2 ^p  - 1 numerot, joilla on alkuluku p, eivät kuitenkaan ole alkulukuja; esimerkiksi 2 ¹¹  - 1 = 2047 = 23 × 89 ei ole alkuluku. Itse Mersenne alkuluvut ovat hyvin harvinaisia, ja 2.610.944 alkulukuja p jopa 43112609 , 2 ^p  - 1 on alkuluku vain 47 niistä.

Vaikka Nicomachus oli sanonut (ilman todisteita), että kaikki täydelliset numerot olivat muodossa, jossa on alkuluku (vaikka hän totesi tämän hieman eri tavalla), Ibn al-Haytham (Alhazen) noin vuonna 1000 arveli vain, että jokainen jopa täydellinen luku on tätä muotoa. Vasta 1700 -luvulla Leonhard Euler osoitti, että kaava 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1) tuottaa kaikki jopa täydelliset luvut. Siten jopa täydellisten lukujen ja Mersennen alkulomakkeiden välillä on henkilökohtainen vastaavuus ; jokainen Mersennen alkuluku tuottaa yhden jopa täydellisen luvun ja päinvastoin. Tätä tulosta kutsutaan usein Euclid -Euler -lauseeksi . ${\ displaystyle 2^{n-1} \ left (2^{n} -1 \ right)}$${\ displaystyle 2^{n} -1}$

GIMPS -hajautetun tietojenkäsittelyprojektin kattava haku on osoittanut, että ensimmäiset 48 jopa täydellistä lukua ovat 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1)

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 3258254457 että OEIS ).

On löydetty myös kolme korkeampaa täydellistä lukua, nimittäin ne, joille p = 74207281, 77232917 ja 82589933, vaikka tällä alueella saattaa olla muitakin. Joulukuussa 2018 tiedetään 51 Mersennen alkulukua ja siten jopa 51 täydellistä lukua (joista suurin on 2 ^82589932 × ( ^282589933  - 1) ja 49 724 095 numeroa). Ei tiedetä, onko täydellisiä numeroita äärettömän paljon , eikä myöskään sitä, onko Mersennen alkulukuja äärettömän paljon.

Sen lisäksi, että muoto on 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), jokainen parillinen luku on (2 ^p  - 1) kolmas kolmikulmio (ja siten yhtä suuri kuin kokonaislukujen summa 1-2 ^p  - 1 ) ja 2 ^{p -1} th kuusikulmioluku . Lisäksi jokainen jopa täydellinen numero lukuun ottamatta 6 on ((2 ^p  + 1) / 3): nnen keskitetty yhdeksänkulmioluku ja on yhtä suuri kuin summa ensimmäisen 2 ^{( p -1) / 2} pariton kuutiot:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 6 = 2^{1} \ left (2^{2} -1 \ right) & = 1+2+3, \\ [8pt] 28 = 2^{2} \ vasen (2^{3} -1 \ oikea) & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^{3}+3^{3}, \\ [8pt] 496 = 2^{ 4} \ vasen (2^{5} -1 \ oikea) & = 1+2+3+\ cdots+29+30+31 \\ & = 1^{3}+3^{3}+5^{ 3}+7^{3}, \\ [8pt] 8128 = 2^{6} \ left (2^{7} -1 \ right) & = 1+2+3+\ cdots+125+126+127 \\ & = 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3 }, \\ [8pt] 33550336 = 2^{12} \ vasen (2^{13} -1 \ oikea) & = 1+2+3+\ cdots+8189+8190+8191 \\ & = 1^{ 3}+3^{3}+5^{3}+\ cdots+123^{3}+125^{3}+127^{3}. \ End {aligned}}}$

Jopa täydelliset numerot (paitsi 6) ovat muotoa

${\ displaystyle T_ {2^{p} -1} = 1+{\ frac {\ left (2^{p} -2 \ right) \ times \ left (2^{p} +1 \ right)} { 2}} = 1+9 \ kertaa T _ {\ vasen (2^{p} -2 \ oikea)/3}}$

jokaisella tuloksena olevalla kolmionumerolla T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (kun on vähennetty 1 täydellisestä luvusta ja jaettu tulos 9: llä), joka päättyy 3: een tai 5: een, sarja alkaa T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903, T ₂₇₃₀ = 3727815, ... Tämä voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: minkä tahansa parillisen numeron (paitsi 6) numeroiden lisääminen, sitten tuloksena olevan luvun numeroiden lisääminen ja tämän prosessin toistaminen kunnes yksi numero (jota kutsutaan digitaaliseksi juureksi ) on saatu, tuottaa aina luvun 1. Esimerkiksi 8128: n digitaalinen juuri on 1, koska 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 ja 1 + 0 = 1. Tämä toimii kaikilla täydellisillä luvuilla 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), jolla on pariton alkuluku p, ja itse asiassa kaikilla luvuilla, joiden muoto on 2 ^{m −1} (2 ^m  - 1) parittomalle kokonaisluvulle (ei välttämättä prime) m .

Muodostaan ​​johtuen 2 ^{p −1} (2 ^p  - 1), jokainen parillinen luku esitetään binäärimuodossa p -numeroina, joita seuraa  p  -1 nolla; esimerkiksi,

6 ₁₀ = 2 ² + 2 ¹ = 110 ₂ ,

28 ₁₀ = 2 ⁴ + 2 ³ + 2 ² = 11100 ₂ ,

496 ₁₀ = 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ = 111110000 ₂ ja

8128 ₁₀ = 2 ¹² + 2 ¹¹ + 2 ¹⁰ + 2 ⁹ + 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ = 1111111000000 ₂ .

Näin ollen jokainen jopa täydellinen luku on tuhoisa luku .

Jokainen jopa täydellinen luku on myös käytännön luku (vrt. Liittyvät käsitteet ).

Outoja täydellisiä numeroita

Ei tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja, vaikka eri tuloksia on saatu. Vuonna 1496 Jacques Lefèvre totesi, että Eukleidesin sääntö antaa kaikki täydelliset luvut, mikä viittaa siihen, ettei paritonta täydellistä lukua ole olemassa. Euler totesi: "Onko ... onko olemassa outoja täydellisiä numeroita, on vaikein kysymys". Viime aikoina Carl Pomerance on esittänyt heuristisen väitteen, jonka mukaan paritonta täydellistä lukua ei todellakaan pitäisi olla olemassa. Kaikki täydelliset luvut ovat myös Malmin harmonisia numeroita , ja on myös arveltu, että ei ole muita parittomia Malmin harmonisia numeroita kuin 1.

Parittoman täydellisen luvun N on täytettävä seuraavat ehdot:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N ei ole jaollinen 105: llä.
• N on muotoa N ≡ 1 (mod 12) tai N ≡ 117 (mod 468) tai N ≡ 81 (mod 324).
• N on muotoa

${\ displaystyle N = q^{\ alpha} p_ {1}^{2e_ {1}} \ cdots p_ {k}^{2e_ {k}},}$

missä:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k ovat erillisiä parittomia alkulukuja (Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• Pienin alkutekijä N on korkeintaan${\ displaystyle {\ frac {k-1} {2}}.}$
• Joko q ^α  > 10 ⁶² tai p _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² joillekin j .
• ${\ displaystyle N <2^{(4^{k+1} -2^{k+1})}}$
• ${\ displaystyle \ alpha+2e_ {1}+2e_ {2}+2e_ {3}+\ cdots+2e_ {k} \ geq {\ frac {66k-191} {25}}}$.
• ${\ displaystyle qp_ {1} p_ {2} p_ {3} \ cdots p_ {k} <2N^{\ frac {17} {26}}}$.

• Suurin alkutekijä N on suurempi kuin ¹⁰⁸ ja pienempi kuin${\ displaystyle (3N)^{1/3}.}$
• Toiseksi suurin alkutekijä on suurempi kuin 10 ⁴ ja pienempi kuin .${\ displaystyle (2N)^{1/5}}$
• Kolmas suurin alkutekijä on yli 100.
• N: llä on vähintään 101 alkutekijää ja vähintään 10 erillistä alkutekijää. Jos 3 ei ole yksi N: n tekijöistä , N: llä on vähintään 12 erillistä alkutekijää.

Lisäksi eksponenteista e ₁ , ...,  e _k tiedetään useita pieniä tuloksia .

• Ei kaikki e _i  ≡ 1 ( mod 3).
• Ei kaikki e _i  ≡ 2 ( mod 5).
• Jos kaikki e _i  ≡ 1 ( mod 3) tai 2 ( mod 5), pienimmän alkutekijän N on oltava välillä ¹⁰⁸ ja 10 ¹⁰⁰⁰ .
• Yleisemmin, jos kaikilla 2 e _i +1: llä on alkutekijä tietyssä äärellisessä joukossa S , niin pienimmän alkutekijän N on oltava pienempi kuin tehokkaasti laskettava vakio vain S: stä riippuen .
• Jos ( e ₁ , ...,  e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) t: n ja u: n kanssa , niin .${\ displaystyle (t-1)/4 \ leq u \ leq 2t+{\ sqrt {\ alpha}}}$
• ( e ₁ , ...,  e _k ) ≠ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
• Jos e ₁ = ... = e _k = e , niin
  • e ei voi olla 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 tai 18.
  • ${\ displaystyle k \ leq 2e^{2}+8e+2}$ja .${\ displaystyle N <2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

Vuonna 1888 Sylvester sanoi:

... pitkäaikainen meditaatio aiheesta on vakuuttanut minut siitä, että tällaisen [parittoman täydellisen numeron] olemassaolo - se paeta niin sanotusti monimutkaisesta olosuhteiden verkosta, joka ympäröi sen kaikilta puolilta - olisi vähän lyhyt ihmeestä.

Monet ominaisuuksista, jotka osoittautuivat parittomiksi täydellisiksi numeroiksi, pätevät myös Descartesin numeroihin , ja Pace Nielsen on ehdottanut, että näiden lukujen riittävä tutkimus voi johtaa todisteeseen siitä, ettei parittomia täydellisiä numeroita ole olemassa.

Pieniä tuloksia

Kaikilla jopa täydellisillä numeroilla on erittäin tarkka muoto; parittomia täydellisiä numeroita joko ei ole tai ne ovat harvinaisia. Täydellisistä luvuista on useita tuloksia, jotka on itse asiassa melko helppo todistaa, mutta kuitenkin pinnallisesti vaikuttavia; muutamat heistä kuuluvat Richard Guy : n vahva laki pienien :

• Lomakkeen x ³  + 1 ainoa tasainen luku on 28 ( Makowski 1962 ).
• 28 on myös ainoa jopa täydellinen luku, joka on kahden positiivisen kokonaisluvun kuution summa ( Gallardo 2010 ).
• Käänteislukujen on jakajat täydellinen numero N on lisätä jopa 2 (saat tämän, ottaa määritelmä täydellinen numero, ja jakaa molemmin puolin n ): ${\ displaystyle \ sigma _ {1} (n) = 2n}$
  • 6, meillä on ;${\ displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1 = 2}$
  • 28: lle meillä on jne.${\ displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1 = 2}$
• Täydellisen luvun jakajien lukumäärän (parillisen tai parittoman) on oltava parillinen, koska N ei voi olla täydellinen neliö.
  • Näistä kahdesta tuloksesta seuraa, että jokainen täydellinen luku on Malmin harmoninen luku .
• Jopa täydelliset luvut eivät ole puolisuunnikkaan muotoisia numeroita ; toisin sanoen niitä ei voida esittää kahden positiivisen ei-peräkkäisen kolmionumeron erotuksena . Ei-puolisuunnikkaisia ​​numeroita on vain kolme tyyppiä: jopa täydelliset luvut, kahden tehot ja lomakkeen luvut, jotka on muodostettu Fermat-alkutuloksena , jonka teho on kaksi, samalla tavalla kuin jopa täydellisten lukujen rakentaminen Mersennen alkuluvut.${\ displaystyle 2^{n-1} (2^{n} +1)}$ ${\ displaystyle 2^{n} +1}$
• Määrä täydellistä lukua pienempi kuin n on pienempi kuin , jossa c > 0 on vakio. Itse asiassa se on , käyttämällä vähän-o-merkintää .${\ displaystyle c {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle o ({\ sqrt {n}})}$
• Jokainen parillinen luku päättyy numeroihin 6 tai 28, kymmenen; ja ainoa luku 6 lukuun ottamatta päättyy numeroon 1, pohjaan 9. Siksi erityisesti jokaisen parillisen täydellisen numeron, lukuun ottamatta 6, digitaalinen juuri on 1.
• Ainoa neliötön täydellinen numero on 6.

Liittyvät käsitteet

Oikeiden jakajien summa antaa erilaisia ​​muita numeroita. Numeroita, joissa summa on pienempi kuin itse luku, kutsutaan puutteellisiksi ja joissa se on suurempi kuin luku, runsaasti . Nämä termit yhdessä täydellisen kanssa ovat peräisin kreikkalaisesta numerologiasta . Lukuparia, joka on toistensa oikeiden jakajien summa, kutsutaan sovinnolliseksi ja suurempia lukujaksoja seurallisiksi . Positiivinen kokonaisluku siten, että jokainen pienempi positiivinen kokonaisluku on sen jakajien summa, on käytännöllinen luku .

Täydellinen luku on määritelmän mukaan rajoitetun jakajan funktion s ( n ) = σ ( n ) - n kiinteä piste , ja täydelliseen numeroon liittyvä alikvoottisekvenssi on vakio. Kaikki täydelliset numerot ovat myös täydellisiä numeroita tai Granvillen numeroita . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Semiperfect numero on luonnollinen luku, joka on yhtä suuri kuin summa kaikkien tai joidenkin sen asianmukaisen divisors. Puolitäydellinen luku, joka on yhtä suuri kuin kaikkien sen oikeiden jakajien summa, on täydellinen luku. Useimmat runsaat numerot ovat myös puolitäydellisiä; runsaasti numeroita, jotka eivät ole puolitäydellisiä, kutsutaan outoiksi numeroiksi .

Katso myös

• Hyper -täydellinen numero
• Leinster -ryhmä
• Luettelo Mersennen alkuluvuista ja täydellisistä numeroista
• Kerro täydellinen luku
• Täydelliset numerot
• Yksinkertainen täydellinen luku

Huomautuksia

Viitteet

Lue lisää

• Nankar, ML: "Täydellisten lukujen historia", Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P. (1973). "Alempi raja parittomille täydellisille alkuluvuille" . Laskennan matematiikka . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530 .
• Riele, HJJ "Perfect Numbers and Aliquot Sequence" julkaisussa HW Lenstra ja R. Tijdeman (toim.): Computational Methods in Number Theory , Voi. 154, Amsterdam, 1982, s. 141–157.
• Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation , Birkhauser, 1985.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Numeroteorian käsikirja II . Dordrecht: Kluwer Academic. s.  15 -98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

Ulkoiset linkit

• "Täydellinen numero" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• David Moews: Täydelliset, ystävälliset ja seuralliset numerot
• Täydelliset numerot - historia ja teoria
• Weisstein, Eric W. "Täydellinen luku" . MathWorld .
• OEIS -sarja A000396 (täydelliset numerot)
• OddPerfect.org Suunniteltu hajautettu laskentaprojekti parittomien täydellisten lukujen etsimiseksi.
• Suuri Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)
• Täydelliset numerot , matematiikkafoorumi Drexelissä.
• Grimes, James. "8128: Täydelliset numerot" . Numerotiedosto . Brady Haran . Arkistoitu alkuperäisestä 2013-05-31 . Haettu 2013-04-02 .