Isomorfismi - Isomorphism

On matematiikka , isomorfismi on rakenne-säilyttäen kartoitus kahden rakenteiden samaa tyyppiä, joka voidaan kääntää jota käänteinen kartoitus . Kaksi matemaattista rakennetta ovat isomorfisia, jos niiden välillä on isomorfismi. Sana isomorfismi on peräisin antiikin Kreikan : ἴσος ISOs "yhtäläinen", ja μορφή morphe "muoto" tai "muoto".

Isomorfismeja kiinnostaa se, että kahdella isomorfisella esineellä on samat ominaisuudet (lukuun ottamatta lisätietoja, kuten esineiden lisärakennetta tai nimiä). Siten isomorfisia rakenteita ei voida erottaa pelkästään rakenteen näkökulmasta, vaan ne voidaan tunnistaa. Matemaattisesti ammattikieltä, toinen sanoo, että kaksi objektia ovat samat jopa isomorfismi .

Automorphism on isomorfismi peräisin rakenne itse. Kahden rakenteen välinen isomorfismi on kanoninen isomorfismi ( kaanoninen kartta, joka on isomorfismi), jos kahden rakenteen välillä on vain yksi isomorfismi (kuten universaalin ominaisuuden ratkaisujen tapauksessa ) tai jos isomorfismi on paljon luonnollisempaa (jossain mielessä) kuin muut isomorfismit. Esimerkiksi jokaiselle alkuluku p , kaikki kentät , joissa p elementit ovat kanonisesti isomorfinen, jolla on ainutlaatuinen isomorfismi. Isomorphism lauseet säätää kanoninen isomorfisuudella, jotka eivät ole ainutlaatuisia.

Termiä isomorfismi käytetään pääasiassa algebrallisiin rakenteisiin . Tässä tapauksessa kartoituksia kutsutaan homomorfismeiksi , ja homomorfismi on isomorfismi silloin ja vain, jos se on bijektiivinen .

Matematiikan eri aloilla isomorfismit ovat saaneet erikoisnimiä tarkasteltavan rakenteen tyypin mukaan. Esimerkiksi:

• Isometria on isomorfismi on metristä tilat .
• Homeomorfismi on isomorfismi on topologinen avaruus .
• Diffeomorfismi on isomorfismi tilojen varustettu ero rakenne , tyypillisesti derivoituva pakosarjat .
• Permutaatio on automorphism on asetettu .
• On geometria , isomorfisuudella ja automorphisms kutsutaan usein muutoksia , esimerkiksi jäykkä muunnokset , affiinimuunnokset , projektiivista muunnokset .

Kategoriateoria , jota voidaan pitää rakenteiden välisen kartoittamisen käsitteen virallistamisena, tarjoaa kielen, jota voidaan käyttää yhdistämään lähestymistapa perusidean näihin eri puoliin.

Esimerkkejä

Logaritmi ja eksponentiaalinen

Olkoon olla multiplikatiivisessa ryhmässä on positiivisia reaalilukuja , ja anna olla lisäaineen ryhmä todellinen määrä. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Logaritmifunktiota täyttää kaikille niin se on homomorfismi . Eksponenttifunktio täyttää kaikkien joten sekin on homomorfismi. ${\ displaystyle \ log: \ mathbb {R} ^{+} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ log (xy) = \ log x+\ log y}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^{+},}$ ${\ displaystyle \ exp: \ mathbb {R} \ \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ exp (x+y) = (\ exp x) (\ exp y)}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R},}$

Identiteetit ja osoittavat sen ja ovat toistensa käänteisiä . Koska homomorfismi on käänteinen, joka on myös homomorfismi, se on ryhmien isomorfismi. ${\ displaystyle \ log \ exp x = x}$${\ displaystyle \ exp \ log y = y}$${\ displaystyle \ log}$${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ log}$${\ displaystyle \ log}$

Toiminto on isomorfismi joka kääntää kertolasku positiivisia reaalilukuja osaksi Lisäksi todellinen määrä. Tämän toiminnon avulla on mahdollista kertoa reaaliluvut käyttämällä viivainta ja logaritmitaulukkoa tai käyttämällä diasääntöä logaritmisella asteikolla. ${\ displaystyle \ log}$

Kokonaislukuja modulo 6

Tarkastellaan ryhmää kokonaislukuja 0–5 lisäysmoduulilla  6. Tarkastellaan myös ryhmää järjestettyinä pareina, joissa x -koordinaatit voivat olla 0 tai 1 ja y -koordinaatit voivat olla 0, 1 tai 2, jolloin x -lisäys - koordinaatti on modulo 2 ja y -koordinaatin lisäys on modulo 3. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {6},+),}$${\ displaystyle \ left (\ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {3},+\ oikea),}$

Nämä rakenteet ovat lisäksi isomorfisia seuraavan kaavion mukaisesti:

tai yleensä ${\ displaystyle (a, b) \ mapsto (3a+4b) \ mod 6.}$

Esimerkiksi mikä kääntää toisessa järjestelmässä nimellä${\ displaystyle (1,1)+(1,0) = (0,1),}$${\ displaystyle 1+3 = 4.}$

Vaikka nämä kaksi ryhmää "näyttävät" erilaiselta, koska joukot sisältävät erilaisia ​​elementtejä, ne ovat todellakin isomorfisia : niiden rakenteet ovat täsmälleen samat. Yleisemmin kahden syklisen ryhmän suora tuote ja on isomorfinen, jos ja vain jos m ja n ovat rinnakkaisia , Kiinan jäljellä olevan lauseen mukaan . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} _ {mn},+)}$

Suhdetta säilyttävä isomorfismi

Jos yksi objekti koostuu joukosta X, jolla on binäärisuhde R, ja toinen objekti koostuu joukosta Y, jolla on binäärisuhde S, isomorfismi X: stä Y: hen on sellainen budjettifunktio , että: ${\ displaystyle f: X \ Y}$

S on refleksiivinen , irreflexive , symmetrinen , antisymmetrisiä , epäsymmetrinen , transitive , yhteensä , trichotomous , joka on osittainen järjestys , yhteensä järjestyksessä , hyvinjärjestys , tiukka heikko järjestyksessä , yhteensä ennakkotilauspalveluineen (heikko järjestyksessä), joka on vastaavuus suhteessa , tai suhteessa muiden erityisominaisuuksia, jos ja vain jos R on.

Esimerkiksi R on järjestys ≤ ja S järjestys, jolloin isomorfismi X: stä Y: hen on bijektiivinen funktio siten, että ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sqsubseteq,}$${\ displaystyle f: X \ Y}$

Tällaista isomorfismia kutsutaan järjestysisomorfismiksi tai (harvemmin) isotoni -isomorfismiksi .

Jos sitten tämä on suhdetta säilyttävä automorfismi . ${\ displaystyle X = Y,}$

Sovellukset

Vuonna algebran , isomorfisuudella määritellään kaikille algebrallinen rakenne . Joitakin tutkitaan tarkemmin; esimerkiksi:

• Lineaariset isomorfismit vektoritilojen välillä ; ne on määritelty käänteisillä matriiseilla .
• Ryhmä isomorfisuudella välillä ryhmien ; luokittelu isomorphism luokkia on äärellinen ryhmä on avoin ongelma.
• Rengas isomorfismi välillä soi .
• Kentän isomorfismit ovat samat kuin kenttien väliset rengasisomorfismit ; heidän tutkimuksensa ja erityisesti kenttäautomorfismien tutkimus on tärkeä osa Galois -teoriaa .

Aivan kuten automorphisms sellaisen algebrallinen rakenne muodostaa ryhmän , The isomorfisuudella kahden algebrat joilla on yhteinen rakenne muodostaa kasaan . Jos annat tietyn isomorfismin tunnistaa nämä kaksi rakennetta, tämä kasa muuttuu ryhmäksi.

On matemaattinen analyysi , Laplace-muunnos on isomorfismi kartoitus kova differentiaaliyhtälöiden osaksi helpompi algebrallisia yhtälöitä.

In graafiteoria , isomorfismi kahden kuvaajan välinen G ja H on bijektiivinen kartta f päässä kärkipisteet G kärkiin H , joka säilyttää "reuna rakenne" siinä mielessä, että siellä on reunan kärki u solmuun v on G jos ja vain jos on olemassa reunan ja on H . Katso kuvaajan isomorfismi . ${\ displaystyle f (u)}$${\ displaystyle f (v)}$

Matemaattisessa analyysissä kahden Hilbert -tilan välinen isomorfismi on biktion säilyttävä lisäys, skalaarinen kertolasku ja sisäinen tuote.

Loogisen atomismin varhaisissa teorioissa Bertrand Russell ja Ludwig Wittgenstein teorioivat tosiasioiden ja todellisten väitteiden muodollisen suhteen isomorfiseksi. Esimerkki tästä ajattelusta löytyy Russellin johdannosta matemaattiseen filosofiaan .

In kybernetiikka The hyvä säädin tai Conant-Ashby Lause sanotaan "Jokainen hyvä säätelijä järjestelmän tulee olla malli, joka järjestelmä". Olipa säädetty tai itsesäätyvä, isomorfismi vaaditaan säätimen ja järjestelmän käsittelyosien välillä.

Luokka teoreettinen näkemys

In luokka teoriassa , antaa luokan C , isomorfismi on morfismi , joka on käänteinen morfismi , joka on, ja Esimerkiksi bijektiivisen lineaarinen kartta on isomorfismi välillä vektoriavaruuksia , ja kääntäen yksikäsitteinen jatkuva funktio , jonka käänteinen on myös jatkuva on isomorfismi välinen topologinen avaruus , jota kutsutaan homeomorfismi . ${\ displaystyle f: a \ to b}$${\ displaystyle g: b \ a,}$${\ displaystyle fg = 1_ {b}}$${\ displaystyle gf = 1_ {a}.}$

Kaksi luokkaa C ja D ovat isomorfisia, jos on olemassa funktoreita ja jotka ovat toisilleen päinvastaisia, toisin sanoen (identiteettitoiminto D: llä ) ja (identiteettitoiminto C: llä ). ${\ displaystyle F: C \ D}$${\ displaystyle G: D \ C}}$${\ displaystyle FG = 1_ {D}}$${\ displaystyle GF = 1_ {C}}$

Isomorfismi vs. bijektiivinen morfismi

On konkreettinen luokka (eli luokan jonka esineet ovat sarjaa (ehkä ylimääräisiä rakenne) ja jonka morphisms ovat rakenne-säilyttämiseksi toimintoja), kuten luokan topologinen tiloja tai luokkiin algebrallisen esineiden (kuten luokka ryhmien , luokan renkaat , ja luokan moduulien ), isomorfismi oltava bijective on taustalla sarjaa . Algebrallisissa luokissa (erityisesti lajikkeiden luokissa yleisen algebran merkityksessä ) isomorfismi on sama kuin homomorfismi, joka on bijektiivinen taustalla oleville joukkoille. On kuitenkin olemassa konkreettisia luokkia, joissa biologiset morfismit eivät välttämättä ole isomorfismeja (kuten topologisten tilojen luokka).

Suhde tasa -arvoon

Tietyillä matematiikan aloilla, erityisesti luokkateoriassa, on arvokasta erottaa toisaalta tasa -arvo ja toisaalta isomorfismi . Tasa -arvo on, kun kaksi kohdetta ovat täsmälleen samat, ja kaikki, mikä on totta yhdestä esineestä, pitää paikkansa toisesta, kun taas isomorfismi merkitsee kaikkea, mikä on totta tietyn kohteen rakenteen osasta, pitää paikkansa toisen objektista. Esimerkiksi setit

ovat tasa -arvoisia ; ne ovat vain erilaisia ​​esityksiä - ensimmäinen intensiivinen ( joukonmuodostajamerkinnöissä ) ja toinen laajennettu (nimenomaisella luetteloinnilla) - samojen kokonaislukujen osajoukkoa. Sitä vastoin asetetaan ja eivät ole yhtä -the ensimmäinen on elementtejä, jotka ovat kirjaimia, kun taas toinen on elementtejä, jotka ovat numerot. Nämä ovat isomorfisia joukkoina, koska äärelliset joukot määräytyvät isomorfismiin asti niiden kardinaalisuuden (elementtien lukumäärä) perusteella ja näissä molemmissa on kolme elementtiä, mutta isomorfismia on monia vaihtoehtoja - yksi isomorfismi on ${\ displaystyle \ {A, B, C \}}$${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$

${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 1, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 3,}$ kun taas toinen on ${\ displaystyle {\ text {A}} \ mapsto 3, {\ text {B}} \ mapsto 2, {\ text {C}} \ mapsto 1,}$

eikä kukaan isomorfismi ole luontaisesti parempi kuin mikään muu. Tästä näkökulmasta ja tässä mielessä nämä kaksi joukkoa eivät ole samanarvoisia, koska niitä ei voida pitää identtisinä : niiden välillä voidaan valita isomorfismi, mutta se on heikompi väite kuin identiteetti - ja pätee vain valitun isomorfismin yhteydessä.

Joskus isomorfismit voivat vaikuttaa ilmeisiltä ja pakottavilta, mutta eivät silti ole yhtäläisyyksiä. Yksinkertaisena Esimerkiksi genealogisten välisten suhteiden Joe , John ja Bobby Kennedy ovat todellisessa merkityksessä, samat kuin yksi amerikkalaisen jalkapallon quarterbacks on Manning perhe : Archie , Peyton ja Eli . Isä-poika-parit ja vanhempi-veli-nuorempi-veli -parit vastaavat täydellisesti. Tämä kahden perherakenteen samankaltaisuus kuvaa sanan isomorfismi alkuperää (kreikkalainen iso -, "sama" ja - morf , "muoto" tai "muoto"). Mutta koska Kennedyt eivät ole samat ihmiset kuin Mannings, kaksi sukututkimusrakennetta ovat vain isomorfisia eivätkä samanarvoisia.

Toinen esimerkki on muodollisempi ja havainnollistaa suoremmin motivaatiota erottaa tasa-arvo isomorfismista: ero äärellisulotteisen vektoriavaruuden V ja sen lineaaristen karttojen kaksoisavaruuden välillä

V sen skalaarikenttään näillä tiloilla on sama ulottuvuus ja siten ovat isomorfisia abstrakteina vektoriavaruuksina (koska algebrallisesti vektoriavaruudet luokitellaan ulottuvuuden mukaan, aivan kuten joukot luokitellaan kardinaalisuuden mukaan), mutta isomorfismille ei ole "luonnollista" valintaa Jos valitset V: n perustan , tämä johtaa isomorfismiin: Kaikille${\ displaystyle V^{*} = \ left \ {\ varphi: V \ to \ mathbf {K} \ right \}}$${\ displaystyle \ mathbf {K}.}$${\ displaystyle \ scriptstyle V \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} V^{*}.}$${\ displaystyle u, v \ in V,}$

$${\ displaystyle v \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} \ phi _ {v} \ in V^{*} \ quad {\ text {niin että}} \ quad \ phi _ {v} ( u) = v^{\ mathrm {T}} u.}$$

Tämä vastaa sarakevektorin ( V: n elementin ) muuttamista rivivektoriksi ( V *: n elementti ) transponoimalla , mutta eri perustavalinta antaa erilaisen isomorfismin: isomorfismi "riippuu perustan valinnasta". Tarkemmin sanottuna on olemassa kartta vektoriavaruudesta V sen kaksoiskappaleeseen, joka ei riipu perustan valinnasta:${\ displaystyle V^{**} = \ left \ {x: V^{*} \ to \ mathbf {K} \ right \}}$${\ displaystyle v \ in V {\ text {and}} \ varphi \ in V^{*},}$

$${\ displaystyle v \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ mapsto}} x_ {v} \ in V^{**} \ quad {\ text {niin että}} \ quad x_ {v} (\ phi) = \ phi (v).}$$

Tämä johtaa kolmanteen käsitykseen, joka on luonnollinen isomorfismi : vaikka ja ovat erilaisia ​​joukkoja, niiden välillä on "luonnollinen" isomorfismin valinta. Tämä intuitiivinen käsitys "isomorfismista, joka ei ole riippuvainen mielivaltaisesta valinnasta", on virallistettu

luonnollisen muutoksen käsitteeseen ; lyhyesti, että voidaan jatkuvasti tunnistaa, tai yleisemmin kartta päässä, rajallinen-ulotteinen vektori tilaa sen kaksinkertaisen kaksi, sillä mikä tahansa vektori tilaa johdonmukaisella tavalla. Tämän intuition virallistaminen on motivaatio kategoriateorian kehittämiselle. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V^{**}}$${\ displaystyle \ scriptstyle V \ mathrel {\ overset {\ sim} {\ to}} V^{**},}$

On kuitenkin tapaus, jossa luonnollisen isomorfismin ja tasa -arvon välistä eroa ei yleensä tehdä. Tämä koskee esineitä, joille voi olla ominaista yleinen ominaisuus . Itse asiassa kahden saman universaalin ominaisuuden jakavan kohteen välillä on ainutlaatuinen, välttämättä luonnollinen isomorfismi. Tyypillinen esimerkki on joukko reaalilukuja , jotka voidaan määritellä äärettömän desimaalilaajennuksen, äärettömän binaarilaajennuksen, Cauchy -sekvenssien , Dedekind -leikkausten ja monilla muilla tavoilla. Muodollisesti nämä rakenteet määrittävät erilaisia ​​objekteja, jotka kaikki ovat ratkaisuja, joilla on sama yleisominaisuus. Koska näillä esineillä on täsmälleen samat ominaisuudet, voidaan unohtaa rakennusmenetelmä ja pitää niitä yhtäläisinä. Tämä on mitä jokainen tekee puhuttaessa " joukko todellisia lukuja". Sama pätee

osamääräisiin tiloihin : ne rakennetaan tavallisesti vastaavuusluokkien joukkoiksi . Joukkojoukkoon viittaaminen voi kuitenkin olla epäintuitiivista, joten jakoavaruuksia pidetään yleisesti määrittämättömien objektien joukon parina, jota usein kutsutaan "pisteiksi", ja tämän joukon surjektiivista karttaa.

Jos halutaan erottaa mielivaltainen isomorfismi (joka riippuu valinta) ja luonnollinen isomorphism (joka voidaan tehdä jatkuvasti), voidaan kirjoittaa varten

luonnoton isomorfismi ja ≅ luonnollisen isomorphism, kuten ja tämä sopimus on ei noudateta yleisesti, ja kirjoittajat, jotka haluavat erottaa toisistaan ​​luonnottomat isomorfismit ja luonnolliset isomorfismit, ilmaisevat yleensä nimenomaisesti eron. ${\ displaystyle \, \ noin \,}$${\ displaystyle V \ noin V^{*}}$${\ displaystyle V \ cong V^{**}.}$

Yleensä sanominen, että kaksi objektia on yhtäläisiä, on varattu silloin, kun on olemassa käsitys suuremmasta (ympäröivästä) tilasta, jossa nämä esineet elävät. Useimmiten puhutaan tietyn joukon kahden osajoukon yhtäläisyydestä (kuten kokonaislukuesimerkissä) edellä), mutta ei kahdesta abstraktisti esitetystä objektista. Esimerkiksi 2-ulotteinen yksikköpallo 3-ulotteisessa avaruudessa

$${\ displaystyle S^{2}: = \ vasen \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R}^{3} \ mid x^{2}+y^{2}+z^{2 } = 1 \ oikea \}}$$

ja Riemannin pallo, joka voidaan esittää kompleksisen tason yhden pisteen tiivistyksenä tai monimutkaisena projektiivisena viivana (jakautumistila) ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$

$${\ displaystyle \ mathbf {P} _ {\ mathbb {C}} ^{1}: = \ vasen (\ mathbb {C} ^{2} \ setminus \ {(0,0) \} \ oikea)/\ vasen (\ mathbb {C} ^{*} \ oikea)}$$

kolme eri kuvauksia matemaattisen objektin, jotka kaikki ovat isomorfisia, mutta ei yhtä suuri , koska ne eivät ole kaikki osajoukot yhden tila: ensimmäinen on osajoukko toinen on plus ylimääräinen piste, ja kolmas on subquotient on${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3},}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{2}.}$

Kategoriateorian yhteydessä esineet ovat yleensä korkeintaan isomorfisia - todellakin motivaatio kategoriateorian kehittämiselle osoitti, että erilaiset rakenteet homologiateoriassa tuottivat vastaavia (isomorfisia) ryhmiä. Kun otetaan huomioon kahden objektin X ja Y väliset kartat , kysytään kuitenkin, ovatko ne samanarvoisia vai eivät (molemmat ovat joukon elementtejä, joten tasa -arvo on oikea suhde), etenkin

kommutatiivisissa kaavioissa . ${\ displaystyle \ hom (X, Y),}$

Katso myös

• Bisimulaatio
• Vastaavuussuhde
• Kasa (matematiikka)
• Isometria
• Isomorfismin luokka
• Isomorfismin lause
• Yleinen omaisuus
• Koherentti isomorfismi

Huomautuksia

Viitteet

Lue lisää

• Mazur, Barry (12. kesäkuuta 2007), Milloin yksi asia vastaa jotain muuta? (PDF)

Ulkoiset linkit

• "Isomorfismi" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Isomorfismi" . MathWorld .