Solmu (matematiikka) - Knot (mathematics)
On matematiikka , joka on solmu on upotus on topologinen ympyrän S 1 3-ulotteinen euklidinen avaruus , R 3 (tunnetaan myös nimellä E 3 ), pitää jopa jatkuva muodonmuutoksia ( isotopies ).
Ratkaiseva ero solmun tavanomaisten matemaattisten ja tavanomaisten käsitysten välillä on se, että matemaattiset solmut ovat suljettuja - matemaattisella solmulla ei ole päätä sitoa tai irrottaa. Fyysiset ominaisuudet, kuten kitka ja paksuus, eivät myöskään päde, vaikka solmulla on matemaattisia määritelmiä, jotka ottavat tällaiset ominaisuudet huomioon. Termiä solmu käytetään myös S j : n upotuksiin S n: ssä , erityisesti tapauksessa j = n - 2 . Matematiikan haara, joka tutkii solmuja, tunnetaan solmuteoriana , ja sillä on monia yksinkertaisia suhteita kuvaajateoriaan .
Muodollinen määritelmä
Solmu on upotus on ympyrän ( S 1 ) otetaan kolmiulotteisen Euclidean tilan ( R 3 ), tai 3-alaan ( S 3 ), koska 3-alalla on kompakti . Kaksi solmua määritellään vastaaviksi, jos niiden välillä on ympäröivä isotooppi .
Projektio
Solmu on R 3 (tai vaihtoehtoisesti 3-alalla , S 3 ), voidaan projisoitu tasolle, R 2 (vastaavasti pallo S 2 ). Tämä projektio on lähes aina säännöllinen , mikä tarkoittaa, että se on injektiivinen kaikkialla, paitsi rajallisessa määrässä risteyskohtia, jotka ovat vain kahden solmupisteen projektioita , ja nämä kohdat eivät ole kolineerisia . Tässä tapauksessa, valitsemalla projisointipuoli, solmun isotooppiluokka voidaan koodata kokonaan sen säännöllisellä projisoinnilla tallentamalla yksinkertainen yli-/ alitieto näille risteyksille. Graafiteorian kannalta solmun tai solmukaavion säännöllinen projektio on siten neliarvoinen tasomainen kuvaaja, jossa on yli/alikoristettuja kärkipisteitä. Tämän kuvaajan paikallisia muutoksia, jotka mahdollistavat siirtymisen yhdestä kaaviosta mihin tahansa muuhun saman solmun kaavioon (tason ympäristön isotooppiin asti) kutsutaan Reidemeister -liikkeiksi .
Tohtorin siirto 1
Tohtorin siirto 2
Tohtorin siirto 3
Solmujen tyypit
Yksinkertaisin solmu, nimeltään unknot tai trivial solmu, on pyöreä ympyrä, joka on upotettu R 3: een . Sanan tavallisessa merkityksessä solmu ei ole "solmittu". Yksinkertaisimmat ei-triviaalit solmut ovat trefoil-solmu ( 3 1 taulukossa), kahdeksannen solmu ( 4 1 ) ja cinquefoil-solmu ( 5 1 ).
Useita solmuja, linkitettyjä tai sotkeutuneita yhteen, kutsutaan linkkeiksi . Solmut ovat linkkejä, joissa on yksi komponentti.
Kesy vs. villi solmu
Monikulmainen solmu on solmu, jonka kuva on R 3 on liitto on rajallinen joukko on linjan segmenttien . Kesyjä solmu on mikä tahansa solmu vastaa monikulmaisen solmu. Solmuja, jotka eivät ole kesyjä, kutsutaan villiksi , ja niillä voi olla patologista käyttäytymistä. Solmuteoriassa ja 3-jakotekniikassa adjektiivi "kesyttää" jätetään usein pois. Esimerkiksi sileät solmut ovat aina kesyjä.
Kehystetty solmu
Kehystetty solmu on laajennus kesyn solmu upotus kiinteän torus D 2 x S 1 on S 3 .
Kehystys solmu on linkkinumero kuvan nauhan I × S 1 kanssa solmu. Kehystetty solmu voidaan nähdä upotettuna nauhana ja kehystys on (allekirjoitettu) kierrosten määrä. Tämä määritelmä yleistetään kehystettyjen linkkien analogiseksi . Kehystettyjen linkkien sanotaan olevan vastaavia, jos niiden laajennukset kiinteään toriin ovat ympäristön isotooppisia.
Kehystetty linkki kaaviot ovat linkki kaavioiden jokainen komponentti on merkitty, osoittaa kehystys, jota kokonaisluku , joka edustaa kaltevuus suhteessa pituus- ja edullinen pituutta. Tavallinen tapa tarkastella linkkikaaviota ilman merkintöjä kehystetyn linkin edustajana on käyttää liitutaulukehystä . Tämä kehystys saadaan muuttamalla jokainen komponentti nauhaksi, joka sijaitsee tasossa. Tyypin I Reidemeister -siirto muuttaa selvästi liitutaulun kehystä (se muuttaa nauhan kierrosten määrää), mutta kaksi muuta liikettä eivät. Korvaamalla tyypin I siirto muokatulla tyypin I siirrolla saat tuloksen linkkikaavioille, joissa on liitutaulun kehystys, joka on samanlainen kuin Reidemeister -lause: Linkkikaaviot liitetaulukehyksellä edustavat vastaavia kehystettyjä linkkejä silloin ja vain, jos ne on yhdistetty (muokattu ) tyypin I, II ja III liikkeet. Kun solmu on annettu, sille voidaan määritellä äärettömän monta kehystä. Oletetaan, että meille annetaan solmu kiinteällä kehyksellä. Voidaan saada uusi kehys olemassa olevasta leikkaamalla nauha ja kiertämällä se kokonaislukuna 2π solmun ympärille ja liimaamalla takaisin paikkaan, jossa teimme leikkauksen. Tällä tavalla saadaan uusi kehys vanhasta aina kehystettyjen solmujen ekvivalenssisuhteeseen, "jolloin solmu jää kiinteäksi. Tässä mielessä kehystys liittyy vektorikentän solmun ympärillä suorittamien käänteiden määrään. Tietäen kuinka monta kertaa vektorikenttä on kierretty solmun ympärille, voidaan vektorikenttä määrittää diffeomorfismiin asti, ja kehyksen ekvivalenssiluokka määräytyy kokonaan tämän kokonaisluvun, jota kutsutaan kehystyslukuna, perusteella.
Solmun täydennys
Kun solmu on 3-pallossa, solmukomplementti on kaikki 3-pallon pisteet, jotka eivät sisälly solmuun. Gordonin ja Luecken merkittävä lause toteaa, että korkeintaan kahdella solmulla on homeomorfisia täydennyksiä (alkuperäinen solmu ja sen peilikuva). Tämä muuttaa solmujen tutkimuksen itse asiassa niiden täydennysten tutkimiseksi ja vuorostaan 3-moninaiseksi teoriaksi .
JSJ: n hajoaminen
JSJ hajoaminen ja Thurston n hyperbolization lause vähentää tutkimuksen solmua 3-alalla tutkimiseen erilaiset geometriset pakosarjat kautta liittämiseen tai satelliitin toimintaa . Kuvassa olevassa solmussa JSJ-hajoaminen jakaa komplementin kolmen jakotukin yhteen: kaksi trefoil-täydennystä ja Borromean-renkaiden komplementti . Trefoil -komplementin geometria on H 2 × R , kun taas Borromean -rengaskomplementin geometria on H 3 .
Harmoniset solmut
Solmujen parametrisia esityksiä kutsutaan harmonisiksi solmuiksi. Aaron Trautwein on koonnut parametrisia esityksiä kaikista solmuista aina niihin asti, mukaan lukien ne, joiden risteysluku on 8 väitöskirjassaan.
Sovelluksia graafiteoriaan
Mediaalikaavio
Toinen kätevä esitys solmukaavioista esitteli Peter Tait vuonna 1877.
Mikä tahansa solmukaavio määrittää tasokuvaajan, jonka kärjet ovat risteyksiä ja joiden reunat ovat peräkkäisten risteysten välisiä polkuja. Tämän tasomaisen kaavion täsmälleen yksi puoli on rajaton; jokainen muu on homeomorfinen 2-ulotteiselle levylle . Väritä nämä kasvot mustaksi tai valkoiseksi niin, että rajaamattomat kasvot ovat mustia ja kaikilla kahdella rajareunalla olevalla kasvolla on vastakkaiset värit. Jordan käyrä lause tarkoittaa, että on olemassa täsmälleen yksi tällainen väritys.
Rakennamme uuden tasokuvaajan, jonka kärkipisteet ovat valkoiset pinnat ja joiden reunat vastaavat risteyksiä. Voimme merkitä tämän kaavion jokaisen reunan vasemmaksi tai oikeaksi reunaksi riippuen siitä, mikä lanka näyttää menevän toisen yli, kun katsomme vastaavaa risteystä reunan yhdestä päätepisteestä. Vasen ja oikea reuna on yleensä merkitty merkitsemällä vasen reuna + ja oikea reuna - tai piirtämällä vasemmat reunat yhtenäisillä viivoilla ja oikeat reunat katkoviivoilla.
Alkuperäinen solmukaavio on tämän uuden tasokäyrän mediaalikuvaaja , jossa kunkin risteyksen tyyppi määräytyy vastaavan reunan merkin perusteella. Jokaisen reunan merkin muuttaminen vastaa solmun heijastumista peiliin .
Linkitön ja solmuton upotus
Kahdessa ulottuvuudessa vain tasomaiset kuvaajat voidaan upottaa euklidiseen tasoon ilman risteyksiä, mutta kolmessa ulottuvuudessa mikä tahansa suunnattu kuvaaja voidaan upottaa avaruuteen ilman risteyksiä. Tasomaisten kaavioiden tila -analogia kuitenkin tarjoavat kuvaajat, joissa on linkittömiä upotuksia ja solmuttomia upotuksia . Linkitön upotus on kaavion upotus, jonka ominaisuus on, että minkä tahansa kahden syklin linkitys poistetaan ; solmuton upotus on kaavion upotus, jolla on ominaisuus, että mikä tahansa yksittäinen sykli on solmittu . Kaavioissa, joissa on linkittömiä upotuksia, on kielletty kuvaajakuvaus, johon liittyy Petersenin perhe , seitsemän kaavion joukko, jotka liittyvät toisiinsa: riippumatta siitä, miten ne on upotettu, noin kaksi sykliä linkitetään toisiinsa. Kaavioiden täydellistä karakterisointia solmuttomilla upotuksilla ei tiedetä, mutta täydellinen kuvaaja K 7 on yksi vähimmäismäärästä kiellettyjä kaavioita solmuttomalle upottamiselle: riippumatta siitä, kuinka K 7 on upotettu, se sisältää syklin, joka muodostaa trefoil -solmun .
Yleistys
Nykyaikaisessa matematiikassa termiä solmu käytetään joskus kuvaamaan yleisempiä upotuksiin liittyvää ilmiötä. Annetaan jakoputken M kanssa submanifold N , yksi joskus sanotaan N voidaan solmitaan M jos on olemassa upotus N on M , joka ei ole isotooppinen että N . Perinteiset solmut muodostavat tapauksen, jossa N = S 1 ja M = R 3 tai M = S 3 .
Schoenflies teoreema toteaa, että ympyrä ei solmu 2-alalla: jokainen topologinen ympyrä 2-alalla on isotooppinen geometriseen ympyrän. Aleksandrin lause sanoo, että 2-pallo ei suju tasaisesti (tai PL tai kesyttää topologisesti) 3-pallon solmussa. Keskeisessä topologisessa luokassa tiedetään, että n -pallo ei solmu n + 1 -pallossa kaikille n: lle . Tämä on Morton Brownin , Barry Mazurin ja Marston Morsen lause . Alexander sarvipäinen pallo on esimerkki solmittu 2-piiriin, 3-alalla, joka ei ole kesyjä. Sileässä luokassa n -pallon ei tiedetä solmuvan n + 1 -pallossa, jos n ≠ 3 . Tapaus n = 3 on pitkään avoin ongelma, joka liittyy läheisesti kysymykseen: tunnustaako 4-pallo eksoottisen sileän rakenteen ?
André Haefliger osoitti, että on olemassa ei sileä j ulotteinen solmua S n edellyttäen, 2 n - 3 j - 3> 0 , ja antoi edelleen esimerkkejä solmitaan pallojen kaikilla n > j ≥ 1 siten, että 2 n - 3 j - 3 = 0 . n - j kutsutaan solmun kodimensioksi . Mielenkiintoinen piirre Haefligerin työssä on, että S j : n upotusten isotooppiluokat S n: ssä muodostavat ryhmän, jossa ryhmätoiminta annetaan yhdistämissumman perusteella edellyttäen , että yhteisulottuvuus on suurempi kuin kaksi. Haefliger perusti työnsä Stephen Smale n h -cobordism lauseen . Yksi Smalen lauseista on, että kun käsitellään solmuja, joiden yhteisulottuvuus on suurempi kuin kaksi, jopa epätasaisilla solmuilla on diffeomorfisia komplementteja. Tämä antaa aiheelle eri maun kuin yhteisulottuvuuden 2 solmun teoria. Jos sallitaan topologiset tai PL-isotoopit, Christopher Zeeman osoitti, että pallot eivät solmu, kun yhteisulottuvuus on suurempi kuin 2. Katso yleistys jakoputkiin .
Katso myös
Huomautuksia
Viitteet
- Adams, Colin C. (1994). Solmukirja: Alustava johdanto solmujen matemaattiseen teoriaan . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-2393-6.
- Armstrong, MA (1983) [1979]. Perustopologia . Matematiikan perustutkintotekstit . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
- Cromwell, Peter R. (2004). Solmuja ja linkkejä . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511809767 . ISBN 0-521-83947-5. MR 2107964 .
- Viljelijä, David W .; Stanford, Theodore B. (1995). Solmut ja pinnat: opas matematiikan löytämiseen . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-7265-9.
- Livingstone, Charles (1993). Solmuteoria . Matemaattisen yhdistyksen Amerikan oppikirjat. 24 . Amerikan matemaattinen yhdistys. ISBN 9780883850008.