Kuramoton malli - Kuramoto model

Kuramoto malli (tai Kuramoto-Daido malli ), ehdotti ensimmäisenä Yoshiki Kuramoto (蔵本由紀, Kuramoto Yoshiki ) , on matemaattinen malli , jota käytetään kuvaamaan synkronointi . Tarkemmin sanottuna se on malli suuren kytkettyjen oskillaattoreiden käyttäytymiselle . Sen muotoilu sai alkunsa kemiallisten ja biologisten oskillaattorijärjestelmien käyttäytymisestä , ja se on löytänyt laajoja sovelluksia esimerkiksi neurotieteen ja värähtelevän liekin dynamiikan aloilla. Kuramoto oli varsin yllättynyt, kun joidenkin fyysisten järjestelmien, nimittäin Josephsonin risteyksien kytkettyjen matriisien, käyttäytyminen seurasi hänen malliaan.

Malli tekee useita oletuksia, mukaan lukien heikko kytkentä, että oskillaattorit ovat identtisiä tai lähes identtisiä ja että vuorovaikutukset riippuvat sinimuotoisesti kunkin objektiparin vaihe -erosta.

Määritelmä

Toista mediaa

Vaihelukitus Kuramoto -mallissa

Kuramoto -mallin suosituimmassa versiossa jokaisella oskillaattorilla katsotaan olevan oma luonnollinen luonnollinen taajuutensa , ja jokainen on kytketty tasaisesti kaikkiin muihin oskillaattoreihin. Yllättäen tämä täysin epälineaarinen malli voidaan ratkaista tarkasti äärettömien oskillaattorien rajoissa, N → ∞; vaihtoehtoisesti käyttämällä itsejohdonmukaisuusargumenteja voidaan saada vakiotilan ratkaisuja tilausparametrista. ${\ displaystyle \ omega _ {i}}$

Mallin suosituimmassa muodossa on seuraavat hallitsevat yhtälöt:

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i}+{\ frac {K} {N}} \ summa _ {j = 1}^{N} \ syn (\ theta _ {j}-\ theta _ {i}), \ qquad i = 1 \ pisteitä N}$,

jossa järjestelmä koostuu N raja-sykli oskillaattorit, jossa on vaiheita ja kytkentävakio K . ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$

Järjestelmään voidaan lisätä melua. Siinä tapauksessa alkuperäinen yhtälö muutetaan muotoon:

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i}+\ zeta _ {i}+{\ dfrac {K} {N}} \ sum _ {j = 1}^{N} \ sin (\ theta _ {j}-\ theta _ {i})}$,

missä on vaihtelu ja ajan funktio. Jos katsomme melun olevan valkoista kohinaa, niin: ${\ displaystyle \ zeta _ {i}}$

${\ displaystyle \ langle \ zeta _ {i} (t) \ rangle = 0}$ ,

${\ displaystyle \ langle \ zeta _ {i} (t) \ zeta _ {j} (t ') \ rangle = 2D \ delta _ {ij} \ delta (t-t')}$

kanssa ilmaiseva vahvuus melua. ${\ displaystyle D}$

Muutos

Muunnos, jonka avulla tämä malli voidaan ratkaista tarkasti (ainakin N → ∞ -rajalla), on seuraava:

Määritä "järjestys" -parametrit r ja ψ as

${\ displaystyle re^{i \ psi} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {j = 1}^{N} e^{i \ theta _ {j}}}$.

Tässä r edustaa vaihe- johdonmukaisuuden väestön oskillaattorit ja ψ osoittaa keskimääräisen vaiheen. Tämän yhtälön kertominen ja vain kuvitteellisen osan huomioon ottaminen antaa: ${\ displaystyle e^{-i \ theta _ {i}}}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i}+Kr \ sin (\ psi -\ theta _ {i})}$.

Siten oskillaattoreiden yhtälöt eivät ole enää nimenomaisesti kytkettyjä; Sen sijaan tilausparametrit säätelevät käyttäytymistä. Yleensä tehdään muunnos pyöriväksi kehykseksi, jossa vaiheiden tilastollinen keskiarvo kaikilla oskillaattoreilla on nolla (eli ). Lopuksi hallitseva yhtälö tulee: ${\ displaystyle \ psi = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i} -Kr \ sin (\ theta _ {i})}$.

Suuri N raja

Harkitse nyt tapausta, koska N pyrkii äärettömyyteen. Ota sisäisten luonnollisten taajuuksien jakauma g ( ω ) (oletettu normalisoituna ). Oletetaan sitten, että oskillaattorien tiheys tietyssä vaiheessa θ annetulla luonnollisella taajuudella ω hetkellä t on . Normalisointi vaatii sitä ${\ displaystyle \ rho (\ theta, \ omega, t)}$

${\ displaystyle \ int _ {-\ pi}^{\ pi} \ rho (\ theta, \ omega, t) \, d \ theta = 1.}$

Jatkuvuusyhtälö oskillaattorin tiheys on

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen \ rho} {\ osittainen t}}+{\ frac {\ osittainen} {\ osittainen \ theta}} [\ rho v] = 0,}$

missä v on oskillaattoreiden ajonopeus, joka saadaan ottamalla ääretön N- raja muunnetussa hallintoyhtälössä siten, että

${\ displaystyle {\ frac {\ osittainen \ rho} {\ osittainen t}} +{\ frac {\ osittainen} {\ osittainen \ theta}} [\ rho \ omega +\ rho Kr \ sin (\ psi -\ theta )] = 0.}$

Lopuksi meidän on kirjoitettava uudelleen jatkuvuusrajan (ääretön N ) tilausparametrien määritelmä . on korvattava sen kokonaiskeskiarvolla (yli kaiken ) ja summa on korvattava integraalilla ${\ displaystyle \ theta _ {i}}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle re^{i \ psi} = \ int _ {-\ pi}^{\ pi} e^{i \ theta} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ rho (\ theta, \ omega, t) g (\ omega) \, d \ omega \, d \ theta.}$

Ratkaisut

Epäjohdonmukainen tila, jossa kaikki oskillaattorit ajautuminen satunnaisesti vastaa ratkaisua . Tällöin oskillaattoreiden välillä ei ole johdonmukaisuutta. Ne ovat jakautuneet tasaisesti kaikkia mahdollisia vaiheita, ja väestö on tilastollinen vakaan tilan (vaikka yksittäiset oskillaattorit muuttaa edelleen vaiheen mukaisesti niiden luontainen ω ). ${\ displaystyle \ rho = 1/(2 \ pi)}$${\ displaystyle r = 0}$

Kun kytkin K on riittävän vahva, on täysin synkronoitu ratkaisu mahdollista. Täysin synkronoidussa tilassa kaikilla oskillaattoreilla on yhteinen taajuus, vaikka niiden vaiheet voivat olla erilaisia.

Ratkaisu osittaisen synkronoinnin tapauksessa tuottaa tilan, jossa vain jotkut oskillaattorit (ne, jotka ovat lähellä kokonaisuuden keskimääräistä luonnollista taajuutta) synkronoituvat; muut oskillaattorit ajautuvat epäjohdonmukaisesti. Matemaattisesti valtiolla on

${\ displaystyle \ rho = \ delta \ left (\ theta -\ psi -\ arcsin \ left ({\ frac {\ omega} {Kr}} \ right) \ right)}$

lukituille oskillaattoreille ja

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ rm {normalisointi \; vakio}} {(\ omega -Kr \ sin (\ theta -\ psi))}}}$

ajelehtiville oskillaattoreille. Katkaisu tapahtuu, kun . ${\ displaystyle | \ omega | <Kr}$

Yhteys Hamiltonin järjestelmiin

Häviävä Kuramoton malli sisältyy tiettyihin konservatiivisiin Hamiltonin järjestelmiin , joiden muoto on Hamiltonin :

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (q_ {1}, \ ldots, q_ {N}, p_ {1}, \ ldots, p_ {N}) = \ summa _ {i = 1}^{N} {\ frac {\ omega _ {i}} {2}} (q_ {i}^{2}+p_ {i}^{2})+{\ frac {K} {4N}} \ summa _ {i , j = 1}^{N} (q_ {i} p_ {j} -q_ {j} p_ {i}) (q_ {j}^{2}+p_ {j}^{2} -q_ {i }^{2} -p_ {i}^{2})}$

Kanonisen muutoksen jälkeen toimintakulmamuuttujiksi, joilla on toimintoja ja kulmia (vaiheita) , tarkka Kuramoton dynamiikka syntyy vakion invariantteilla jakotukilla . Muunnetun Hamiltonin kanssa: ${\ displaystyle I_ {i} = \ left (q_ {i}^{2}+p_ {i}^{2} \ right)/2}$${\ displaystyle \ phi _ {i} = \ mathrm {arctan} \ vasen (q_ {i}/p_ {i} \ oikea)}$${\ displaystyle I_ {i} \ equiv I}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H '}} (I_ {1}, \ ldots I_ {N}, \ phi _ {1} \ ldots, \ phi _ {N}) = \ summa _ {i = 1}^ {N} \ omega _ {i} I_ {i}-{\ frac {K} {N}} \ summa _ {i = 1}^{N} \ summa _ {j = 1}^{N} {\ sqrt {I_ {j} I_ {i}}} (I_ {j} -I_ {i}) \ sin (\ phi _ {j}-\ phi _ {i}),}$

Hamiltonin liikeyhtälöstä tulee:

${\ displaystyle {\ frac {dI_ {i}} {dt}} =-{\ frac {\ osittainen {\ mathcal {H}} '} {\ osittainen \ phi _ {i}}} =-{\ frac { 2K} {N}} \ summa _ {k = 1}^{N} {\ sqrt {I_ {k} I_ {i}}} (I_ {k} -I_ {i}) \ cos (\ phi _ { k}-\ phi _ {i})}$

ja

${\ displaystyle {\ frac {d \ phi _ {i}} {dt}} = {\ frac {\ osittainen {\ mathcal {H}} '} {\ osittainen I_ {i}}} = \ omega _ {i }+{\ frac {K} {N}} \ summa _ {k = 1}^{N} \ vasen [2 {\ sqrt {I_ {i} I_ {k}}} \ sin (\ phi _ {k }-\ phi _ {i}) \ oikea. \ vasen.+{\ sqrt {I_ {k}/I_ {i}}} (I_ {k} -I_ {i}) \ sin (\ phi _ {k }-\ phi _ {i}) \ oikea].}$

Joten jakotukki kanssa on invariantti, koska ja vaihedynamiikasta tulee Kuramoto -mallin dynamiikka (samat kytkentävakiot ). Hamiltonin järjestelmien luokka luonnehtii tiettyjä kvantti-klassisia järjestelmiä, mukaan lukien Bose-Einstein-kondensaatit . ${\ displaystyle I_ {j} = I}$${\ displaystyle {\ frac {dI_ {i}} {dt}} = 0}$${\ displaystyle {\ frac {d \ phi _ {i}} {dt}}}$${\ displaystyle I = 1/2}$

Muunnelmia malleista

Erilliset synkronointimallit Kuramoton kaltaisten oskillaattoreiden kaksiulotteisessa ryhmässä, joilla on erilaiset vaihevuorovaikutustoiminnot ja tilakytkentätopologiat. (A) Vauhtipyörät. (B) Aallot. (C) Kimeerit. (D) Kimerat ja aallot yhdistettynä. Väriasteikko ilmaisee oskillaattorivaiheen.

Edellä esitettyyn alkuperäiseen malliin voidaan soveltaa useita muunnelmia. Jotkut mallit muuttuvat topologiseen rakenteeseen, toiset sallivat heterogeeniset painot, ja muut muutokset liittyvät enemmän malleihin, jotka ovat Kuramoton mallin innoittamia, mutta joilla ei ole samaa toiminnallista muotoa.

Muunnelmia verkon topologiasta

Alkuperäisen mallin lisäksi, jossa on all-to-all-topologia, riittävän tiheä, monimutkainen verkkomainen topologia soveltuu alkuperäisen mallin ratkaisussa käytettyyn keskikenttäkäsittelyyn (katso lisätietoja Transformation and Large N -raja edellä. ). Verkkotopologiat, kuten renkaat ja kytketyt populaatiot, tukevat kimeeritiloja. Voidaan myös kysyä sellaisten mallien käyttäytymistä, joissa on luonnostaan ​​paikallisia, kuten yksiulotteisia topologioita, joista ketju ja rengas ovat prototyyppisiä esimerkkejä. Tällaisissa topologioissa, joissa kytkentä ei ole skaalattavissa 1/ N: n mukaan , ei ole mahdollista soveltaa kanonista keskikenttälähestymistapaa, joten on luotettava tapauskohtaiseen analyysiin ja hyödynnettävä symmetrioita aina kun se on mahdollista , joka voi antaa perustan ratkaisujen yleisten periaatteiden abstraktioille.

Yhtenäinen synkronointi, aallot ja spiraalit voidaan helposti havaita kaksiulotteisissa Kuramoto-verkoissa, joissa on diffuusiokytkentä. Aaltojen stabiilisuus näissä malleissa voidaan määrittää analyyttisesti käyttämällä Turingin vakausanalyysimenetelmiä. Tasainen synkronia pyrkii olemaan vakaa, kun paikallinen kytkentä on kaikkialla positiivinen, kun taas aallot nousevat, kun pitkän kantaman liitännät ovat negatiivisia (estävä surround-kytkentä). Aallot ja synkronia yhdistyvät topologisesti erillisellä ratkaisujen haaralla, joka tunnetaan nimellä aaltoilu. Nämä ovat pieniamplitudisia spatiaalisesti jaksollisia poikkeamia, jotka syntyvät yhtenäisestä tilasta (tai aaltotilasta) Hopf-haarautumisen kautta . Aaltoiluratkaisujen olemassaoloa ennustivat (mutta eivät havainneet) Wiley, Strogatz ja Girvan , jotka kutsuivat niitä monikierteisiksi q-tiloiksi.

Topologia johon Kuramoto mallia tutkitaan voidaan mukautuva käyttämällä fitness malli näyttää parantamiseksi synkronointi ja suodattumisen itsestään järjestäytyneesti.

Muunnelmia verkon topologiasta ja verkon painoista: ajoneuvon koordinoinnista aivojen synkronointiin

Toista mediaa

Metronomit , jotka olivat alun perin vaiheesta, synkronoivat pienen liikkeen avulla alustasta, johon ne on sijoitettu. Tämän järjestelmän on osoitettu vastaavan Kuramoton mallia.

Jotkut ohjausyhteisön teokset ovat keskittyneet Kuramoto -malliin verkoissa ja eri painoilla (eli kahden oskillaattorin välinen yhteenliittämislujuus voi olla mielivaltainen). Tämän mallin dynamiikka kuuluu seuraavasti:

${\ displaystyle {\ frac {d \ theta _ {i}} {dt}} = \ omega _ {i}+\ summa _ {j = 1}^{N} a_ {ij} \ sin (\ theta _ { j}-\ theta _ {i}), \ qquad i = 1 \ pisteitä N}$

missä on nollasta poikkeava positiivinen reaaliluku, jos oskillaattori on kytketty oskillaattoriin . Tällainen malli mahdollistaa realistisemman tutkimuksen esim. Parveilusta, koulunkäynnistä ja ajoneuvon koordinoinnista. Dörflerin ja hänen kollegoidensa työssä useat lauseet tarjoavat tiukat ehdot tämän mallin vaiheiden ja taajuuksien synkronoinnille. Jatkotutkimukset, jotka perustuvat neurotieteen kokeellisiin havaintoihin, keskittyvät analyyttisten olosuhteiden johtamiseen heterogeenisten Kuramoto -oskillaattorien klusterisynkronoinnille mielivaltaisissa verkkotopologioissa. Koska Kuramoton malli näyttää olevan avainasemassa aivojen synkronointiilmiöiden arvioinnissa, empiirisiä havaintoja tukevat teoreettiset olosuhteet voivat avata tietä hermosolujen synkronointiilmiöiden syvemmälle ymmärtämiselle. ${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$

Vaihevuorovaikutusfunktion muunnelmat

Kuramoto arvioi kahden oskillaattorin välistä vaihevuorovaikutusta ensimmäisen Fourier -komponentinsa avulla, nimittäin missä . Parempia arvioita voidaan saada sisällyttämällä korkeamman asteen Fourier-komponentit, ${\ displaystyle \ Gamma (\ phi) = \ sin (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi = \ theta _ {j}-\ theta _ {i}}$

${\ displaystyle \ Gamma (\ phi) = \ sin (\ phi)+a_ {1} \ sin (2 \ phi+b_ {1})+...+a_ {n} \ sin (2n \ phi+b_ {n})}$,

jossa parametrit ja täytyy arvioida. Esimerkiksi synkronointi heikosti kytkettyjen Hodgkin-Huxley-neuronien verkoston välillä voidaan toistaa käyttämällä kytkettyjä oskillaattoreita, jotka säilyttävät vuorovaikutusfunktion neljä ensimmäistä Fourier-komponenttia. Korkeamman asteen vaihevuorovaikutustermien käyttöönotto voi myös aiheuttaa mielenkiintoisia dynaamisia ilmiöitä, kuten osittain synkronoituja tiloja, heterokliinisiä syklejä ja kaoottista dynamiikkaa . ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

Saatavuus

• pyclustering -kirjasto sisältää Kuramoto -mallin ja sen muutosten Python- ja C ++ -toteutuksen. Myös kirjasto koostuu värähtelyverkoista (klusterianalyysiä, kuvioiden tunnistusta, kuvaajan väritystä, kuvien segmentointia varten), jotka perustuvat Kuramoton malliin ja vaiheoskillaattoriin.

Katso myös

• Päävakaustoiminto
• Värähtelevä hermoverkko

Viitteet