Matemaattinen rahoitus - Mathematical finance

Matemaattinen rahoitus , joka tunnetaan myös nimellä kvantitatiivinen rahoitus ja rahoitusmatematiikka , on soveltavan matematiikan ala , joka koskee rahoitusmarkkinoiden matemaattista mallintamista . Katso kvantitatiivinen analyytikko .

Yleensä on olemassa kaksi erillistä rahoitusalaa, jotka vaativat kehittyneitä kvantitatiivisia tekniikoita: johdannaisten hinnoittelu ja riskien ja salkun hallinta toisaalta. Matemaattinen rahoitus on vahvasti päällekkäistä laskennallisen rahoituksen ja rahoitustekniikan kanssa . Jälkimmäinen keskittyy sovelluksiin ja mallinnukseen, usein stokastisten omaisuusmallien avulla , kun taas edellinen keskittyy analyysin lisäksi mallien toteutustyökalujen rakentamiseen. Liittyy myös on kvantitatiivinen sijoittamista , joka perustuu tilastollisiin ja numeeristen mallien (ja viime aikoina koneoppimisen ) eikä perinteisiä fundamentaalianalyysi kun hallinnassa salkkujen ; Katso myös Algoritminen kaupankäynti .

Ranskalaista matemaatikkoa Louis Bachelieria pidetään ensimmäisen matemaattista rahoitusta käsittelevän tieteellisen työn tekijänä, joka julkaistiin vuonna 1900. Mutta matemaattinen rahoitus tuli kurinalaisuudeksi 1970 -luvulla Fischer Blackin , Myron Scholesin ja Robert Mertonin optiohinnoitteluteorian jälkeen. Matemaattinen investoimalla peräisin tutkimukseen matemaatikko Edward Thorp jotka tilastollisten menetelmien ensin keksiä kortin laskemisen vuonna blackjack ja sitten soveltaa sen periaatteita modernin järjestelmällistä investointeja.

Aiheella on läheinen suhde taloustieteen kurinalaisuuteen , joka koskee suurta osaa finanssimatematiikan taustalla olevasta teoriasta. Yleensä matemaattinen rahoitus johtaa ja laajentaa matemaattisia tai numeerisia malleja ilman, että välttämättä luodaan linkkiä finanssiteoriaan ja otetaan huomioon havaitut markkinahinnat. Matemaattinen johdonmukaisuus vaaditaan, ei yhteensopivuus talousteorian kanssa. Siten esimerkiksi, kun taas taloudellinen taloustieteilijä voisi tutkia rakenteellisia syitä, miksi yritys voi olla tietty osakekurssi , taloudellinen matemaatikko voi olla osakekurssi annettuna, ja yritä käyttää stokastinen saada vastaavan arvon johdannaisten on varastossa . Katso: Vaihtoehtojen arvostus ; Talousmallinnus ; Omaisuuden hinnoittelu . Perustavanlaatuinen lause katvealueiden-vapaata hinnoittelua on yksi tärkeimmistä lauseet on rahoitusmatematiikka, kun taas Black-Scholes yhtälö ja kaava ovat yksi tärkeimpiä tuloksia.

Nykyään monet yliopistot tarjoavat matemaattisen rahoituksen tutkinto- ja tutkimusohjelmia.

Historia: Q vs P

On olemassa kaksi erillistä rahoitusalaa, jotka vaativat kehittyneitä kvantitatiivisia tekniikoita: johdannaisten hinnoittelu sekä riskien ja salkun hallinta. Yksi suurimmista eroista on se, että ne käyttävät erilaisia ​​todennäköisyyksiä, kuten riskineutraali todennäköisyys (tai arbitraasihinnoittelun todennäköisyys), joka on merkitty "Q": llä, ja todellinen (tai vakuutusmatemaattinen) todennäköisyys, joka on merkitty "P": llä.

Johdannaisten hinnoittelu: Q -maailma

Q -maailma

Päämäärä	"ekstrapoloi nykyisyys"
Ympäristö	riskineutraali todennäköisyys ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
Prosessit	jatkuvan ajan martingaaleja
Ulottuvuus	matala
Työkalut	Itō -laskenta, PDE: t
Haasteet	kalibrointi
Liiketoiminta	myyntipuoli

Johdannaissopimusten hinnoittelun tavoitteena on määrittää tietyn arvopaperin käypä hinta likvidimmillä arvopapereilla, joiden hinnan määrää kysynnän ja tarjonnan laki . "Reilun" merkitys riippuu tietysti siitä, harkitaanko arvopaperin ostamista vai myymistä. Esimerkkejä hinnoiteltavista arvopapereista ovat pelkkä vanilja- ja eksoottiset optiot , vaihtovelkakirjalainat jne.

Kun käypä hinta on määritetty, myyjäpuolen elinkeinonharjoittaja voi tehdä arvopaperimarkkinoita. Siksi johdannaisten hinnoittelu on monimutkainen "ekstrapolointi", jolla määritetään arvopaperin nykyinen markkina-arvo, jota myyjäyhteisö käyttää. Kvantitatiivinen johdannaiset hinnoittelu aloitti Louis Bachelier vuonna The Theory of Keinottelu ( "Théorie de la spekulointia", julkaistiin 1900), jossa otetaan käyttöön alkeellisinta ja vaikutusvaltaisin prosesseissa Brownin liike , ja sen sovellukset hinnoittelua vaihtoehtoja . Brownin liike johdetaan Langevinin yhtälöstä ja erillisestä satunnaisesta kävelystä . Bachelier mallinnti osakkeiden hintojen logaritmin muutosten aikasarjan satunnaiseksi kävelyksi , jossa lyhyen aikavälin muutoksilla oli rajallinen varianssi . Tämä aiheuttaa pidemmän aikavälin muutoksia Gaussin jakauman seuraamiseen .

Teoria pysyi lepotilassa, kunnes Fischer Black ja Myron Scholes yhdessä Robert C. Mertonin perustavanlaatuisen panoksen kanssa soveltivat toiseksi vaikutusvaltaisinta prosessia, geometrista Brownin liikettä , optioiden hinnoitteluun . M.Scholes ja R.Merton saivat tästä taloustieteen Nobelin muistopalkinnon 1997 . Black ei voinut saada palkintoa kuolemansa vuoksi vuonna 1995.

Seuraava tärkeä askel oli Harrisonin ja Pliskan (1981) omaisuuden hinnoittelun peruslause, jonka mukaan arvopaperin sopivasti normalisoitu käypä hinta P ₀ on arbitraasi-vapaa ja siten todella oikeudenmukainen vain, jos on olemassa stokastinen prosessi P _t jatkuvalla odotetulla arvolla, joka kuvaa sen tulevaa kehitystä:

${\ displaystyle P_ {0} = \ mathbf {E} _ {0} (P_ {t})}$

( 1 )

Prosessia, joka täyttää ( 1 ), kutsutaan " martingaaliksi ". Martingaali ei palkitse riskiä. Siten normalisoidun arvopaperiprosessin todennäköisyyttä kutsutaan "riskineutraaliksi", ja sitä merkitään tyypillisesti liitutaulun kirjasinkirjaimella " ". ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Suhteen ( 1 ) on oltava voimassa koko ajan t: siksi johdannaisten hinnoittelussa käytetyt prosessit asetetaan luonnollisesti jatkuvaan aikaan.

Quants jotka toimivat Q maailmassa johdannaisten hinnoittelu Asiantuntijat syvä tuntemus tiettyjä tuotteita he mallintaa.

Arvopaperit hinnoitellaan yksilöllisesti, joten Q-maailman ongelmat ovat luonteeltaan vähäisiä. Kalibrointi on yksi Q-maailman suurimmista haasteista: kun jatkuvan ajan parametrinen prosessi on kalibroitu joukkoon kaupankäynnin kohteena olevia arvopapereita suhteen ( 1 ) kaltaisen suhteen kautta, samanlaista suhdetta käytetään uusien johdannaisten hinnan määrittämiseen.

Tärkeimmät kvantitatiiviset työkalut jatkuvan Q-prosessin käsittelyyn ovat Itôn stokastinen laskenta , simulaatio ja osittaiset differentiaaliyhtälöt (PDE: t).

Riskien ja salkun hallinta: P -maailma

P maailma

Päämäärä	"mallina tulevaisuutta"
Ympäristö	todellisen todennäköisyyden ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$
Prosessit	diskreetti aikasarja
Ulottuvuus	suuri
Työkalut	monimuuttujatilastoja
Haasteet	arvio
Liiketoiminta	ostopuoli

Riskien ja salkun hallinnan tavoitteena on mallintaa kaikkien arvopaperien markkinahintojen tilastollisesti johdettu todennäköisyysjakauma tiettyä tulevaa sijoitushorisonttia kohti.
Tätä "todellista" markkinahintojen todennäköisyysjakaumaa merkitään tyypillisesti liitutaulun kirjasinkirjaimella " ", toisin kuin johdannaisten hinnoittelussa käytetty "riskineutraali" todennäköisyys " . Ostajapuolen yhteisö tekee P-jakauman perusteella päätökset arvopapereiden ostamisesta parantaakseen salkkuina pidettävien positioidensa tulevaa voitto- ja tappioprofiilia. Yhä useammin tämän prosessin osat automatisoidaan; katso Rahoituksen pääpiirteet § Kvantitatiivinen sijoittaminen saadaksesi luettelon asiaankuuluvista artikkeleista. ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Uraauurtavasta työstään Markowitz ja Sharpe saivat yhdessä Merton Millerin kanssa vuoden 1990 taloustieteiden Nobelin muistopalkinnon , joka myönnettiin ensimmäistä kertaa rahoituksesta.

Markowitzin ja Sharpen salkunvalintatyö toi matematiikan sijoitusten hallintaan . Ajan myötä matematiikasta on tullut hienostuneempaa. Robert Mertonin ja Paul Samuelsonin ansiosta yhden jakson mallit korvattiin jatkuvalla ajanjaksolla, Brownin liikkeen malleilla ja neliöllinen hyötyfunktio, joka sisällytettiin keskiarvon varianssin optimointiin, korvattiin yleisemmillä lisääntyvillä, koveralla hyödyllisyystoiminnoilla. Lisäksi viime vuosina painopiste on siirtynyt arviointiriskiin, eli vaaroihin, jotka johtuvat siitä, että oletetaan väärin, että kehittynyt aikasarja -analyysi yksin voi tarjota täysin tarkkoja arvioita markkinaparametreista.

Rahoitusmarkkinoita ja hintojen vaihtelua ajan myötä on tutkittu paljon. Charles Dow , yksi Dow Jones & Companyn ja The Wall Street Journalin perustajista , esitti joukon ideoita aiheesta, joita kutsutaan nyt Dow Theoryksi . Tämä on perusta niin kutsutulle tekniselle analyysimenetelmälle, jolla yritetään ennakoida tulevia muutoksia. Yksi "teknisen analyysin" periaatteista on, että markkinakehitys antaa viitteitä tulevaisuudesta, ainakin lyhyellä aikavälillä. Monet tutkijat kiistävät teknisten analyytikkojen väitteet.

Kritiikki

Vuosien mittaan on kehitetty yhä kehittyneempiä matemaattisia malleja ja johdannaishinnoittelustrategioita, mutta niiden uskottavuus heikkeni finanssikriisin 2007–2010 aikana . Nykyaikaista matemaattisen rahoituksen käytäntöä ovat arvostelleet alan henkilöt, erityisesti Paul Wilmott ja Nassim Nicholas Taleb kirjassaan The Black Swan . Taleb väittää, että rahoitusvarojen hintoja ei voida luonnehtia tällä hetkellä käytössä olevilla yksinkertaisilla malleilla, mikä tekee suuresta osasta nykyistä käytäntöä parhaimmillaan merkityksetöntä ja pahimmassa tapauksessa vaarallisen harhaanjohtavaa. Wilmott ja Emanuel Derman julkaisivat tammikuussa 2009 Financial Modelersin manifestin , jossa käsitellään joitakin vakavimmista huolenaiheista. Uuden taloudellisen ajattelun instituutin kaltaiset elimet yrittävät nyt kehittää uusia teorioita ja menetelmiä.

Yleisesti ottaen muutosten mallintaminen jakaumilla rajallisella varianssilla on yhä useammin epäasianmukaista. Benoit Mandelbrot havaitsi 1960-luvulla, että hintojen muutokset eivät seuraa Gaussin jakaumaa , vaan ne mallinnetaan paremmin Lévy-alfa- stabiileilla jakaumilla . Muutoksen asteikko tai volatiliteetti riippuu ajanjakson pituudesta tehoon hieman yli 1/2. Suuret muutokset ylös tai alas ovat todennäköisempää kuin mitä voitaisiin laskea käyttämällä Gaussin jakaumaa arvioidulla keskihajonnalla . Ongelma on kuitenkin se, että se ei ratkaise ongelmaa, koska se vaikeuttaa parametrien asettamista ja vähentää riskienhallintaa.

Katso myös

Matemaattiset työkalut

Johdannaisten hinnoittelu

Portfolion mallinnus

Muut

Huomautuksia

Lue lisää

• Nicole El Karoui , "Finanssimatematiikan tulevaisuus" , ParisTech Review , 6. syyskuuta 2013
• Harold Markowitz , "Portfolio Selection", The Journal of Finance , 7, 1952, s. 77–91
• Attilio Meucci , "P Versus Q": erot ja yhteisvaikutukset kahden kvantitatiivisen rahoituksen alueen välillä , GARP Risk Professional , helmikuu 2011, s.41–44
• William F.Sarpe , Investoinnit , Prentice-Hall, 1985