Schönhardt polyhedron - Schönhardt polyhedron

Schönhardtin monikerros.

Vuonna geometria The Schönhardt polyhedron on yksinkertaisin ei-kupera polyhedron , joita ei voida triangulated osaksi tetrahedra lisäämättä uudet pisteet. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Erich Schönhardtin mukaan , joka kuvasi sen ensimmäisen kerran vuonna 1928.

rakentaminen

Schönhardtin monihalkaisija voidaan muodostaa kahdesta yhdenmukaisesta tasasivuisesta kolmiosta kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa siten, että kolmioiden keskikohtien läpi kulkeva viiva on kohtisuorassa tasoihin nähden. Kaksi kolmiota tulee kiertää toisiinsa nähden, jotta ne eivät ole käännöksiä toisistaan ​​eikä 180 asteen heijastuksia toisistaan.

Kupera runko Näiden kahden kolmion muodostaa kuperan polyhedron joka on kombinatoriaalisesti vastaa säännöllisen oktaedrin ; yhdessä kolmion reunojen kanssa siinä on kuusi reunaa, jotka yhdistävät kaksi kolmiota toisiinsa, kahdella eripituisella ja kolmella sisäläpimitta . Schönhardtin monihalkaisija muodostetaan poistamalla kolme pisinä yhdysreunaa ja korvaamalla ne kuperan rungon kolmella diagonaalilla. Vastaava toimenpide on aloittaa säännöllisellä kahdeksankertaisella ja kiertää yksi pinta tasossaan rikkomatta reunoja. 60 ° kierteellä muodostuu kolmion muotoinen prisma; 120 ° kierteellä on kaksi tetraedraa, jotka jakavat keskipisteen; mikä tahansa näiden kahden tapauksen välinen kiertymä antaa Schönhardtin polyhedronin.

Vaihtoehtoisesti Schönhardtin monihalkaisija voidaan muodostaa poistamalla kolme erillistä tetraedraa tästä kuperasta rungosta: kukin poistetusta tetraedristä on kupera kehä, joka muodostuu neljästä kärjestä kahdesta kolmiosta, kaksi jokaisesta kolmiosta. Tämä poisto aiheuttaa sen, että pidempi kolmesta yhdistävästä reunasta korvataan kolmella uudella reunalla, joissa on koverat divaariset kulmat , jolloin muodostuu ei- kupera polyhedron.

ominaisuudet

Schönhardtin polyhedroni on kombinatorisesti ekvivalentti kuin normaali oktaedri : sen kärjet, reunat ja pinnat voidaan sijoittaa yksi-yhteen vastaavasti normaalin oktaedron ominaisuuksien kanssa. Toisin kuin tavallisessa oktaedrissa, kolmella sen reunalla on kuitenkin kovera kaksisuuntainen kulma , ja nämä kolme reunaa muodostavat täydellisen vastineen oktaedron kuvaajalle; tämä tosiseikka riittää osoittamaan, että sitä ei voida kolmioida.

Schönhardtin polyhedronin kuutta kärkeä voidaan käyttää muodostamaan viidentoista järjestämättömän kärkiparin. Näistä 15 parista kaksitoista muodostaa monihalkaisijan reunat: kahdessa tasasivuisessa kolmionpinnassa on kuusi reunaa ja kaksi kolmiota yhdistävät kuusi reunaa. Jäljelle jäävät kolme reunaa muodostavat moniarvoisen diagonaalin , mutta sijaitsevat kokonaan polyedron ulkopuolella.

Triangulaation mahdotonta

Schönhardtin polyhedronia on mahdotonta jakaa tetraedreiksi, joiden kärjet ovat monihalkaisun kärkiä. Vahvemmin sanottuna ei ole tetraedria, joka olisi kokonaan Schönhardtin polyhedronin sisällä ja jonka polyhedronin huiput olisivat sen neljä huippua. Schönhardtin polyhedronin minkä tahansa neljän kärjen joukossa vähintään yhden näistä neljästä kärkipisteestä koostuvan kärkiparin on oltava polyedronin diagonaali, joka on kokonaan polyhedronin ulkopuolella.

Aiheeseen liittyvät rakenteet

Rambau (2005) osoitti , että Schönhardtin monihalkaisija voidaan yleistää muihin polyhedreihin, jotka ovat kombinatorisesti vastaavia antiprismeja , joita ei voida kolmioida. Nämä polyhedrat on muodostettu yhdistämällä säännölliset k- gongit kahdessa yhdensuuntaisessa tasossa, jotka on kierretty toisiinsa nähden siten, että k : n kahdesta k- gongista yhdistävien 2 k: n reunan k: lla on koverat diiadiat. Toinen monihalkaisija, jota ei voida kolmioida, on Jessenin ikosaedri , joka on kombinatorisesti ekvivalentti normaalin ikosaedronin kanssa .

Eri suuntaan Bagemihl (1948) rakensi polyhedronin, jolla on Schönhardtin polyhedronin kanssa omaisuus, jolla ei ole sisäisiä lävistäjiä . Tetraedri ja Császár polyhedron ole lävistäjien ollenkaan: jokainen pari pisteiden näissä Polyhedra muodostaa reunan. Jää avoimeksi kysymykseksi, onko muita polyedreja ( jakoputken rajalla) ilman diagonaaleja ( Ziegler 2008 ), vaikkakin olemassa ei-holkkisia pintoja, joilla ei ole diagonaaleja ja joiden kärkimäärä on suurempi kuin viisi (Szabó  1984 , 2009 ).

Sovellukset

Ruppert & Seidel (1992) käytti Schönhardtin polyhedronia perustana todisteelle, että se on NP-täydellinen määrittäessään, voidaanko ei-kupera monihalkaisija triangoida.

Viitteet

  • Bagemihl, F. (1948), "On Uncomposable polyhedra", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 55 (7): 411–413, doi : 10.2307 / 2306130 , JSTOR  2306130.
  • Rambau, J. (2005), "Schönhardtin polyhedronin yleistyksestä" (PDF) , yhdistelmä- ja laskennallinen geometria , Cambridge: Cambridge University Press, sivut 501–516.
  • Ruppert, J .; Seidel, R. (1992), "Kolmiulotteisen ei-kuperun polyhedran kolmiomittauksen vaikeudesta", Diskreetti ja laskennallinen geometria , 7 : 227–253, doi : 10.1007 / BF02187840.
  • Schönhardt, E. (1928), "Yber die Zerlegung von Dreieckspolyedern in Tetraeder" , Mathematische Annalen , 98 : 309–312, doi : 10.1007 / BF01451597.
  • Szabó, Sándor (1984), "Polyhedra ilman vinosia ", Periodica Mathematica Hungarica , 15 (1): 41–49, doi : 10.1007 / BF02109370.
  • Szabó, Sándor (2009), "Polyhedra ilman diagonaaleja II", Periodica Mathematica Hungarica , 58 (2): 181–187, doi : 10.1007 / s10998-009-10181-x.
  • Ziegler, Günter M. (2008), "Korkean suvun monikerroksiset pinnat", Bobenko, AI; Schröder, P .; Sullivan, JM ; et ai., Diskreetti differentiaaligeometria , Oberwolfach Seminars, 38 , Springer-Verlag, sivut 191–213, arXiv : matematiikka / 0412093 , doi : 10.1007 / 978-3-7643-8621-4_10 , ISBN  978-3-7643- 8620-7 , math.MG/0412093.

Ulkoiset linkit