Tasasivuinen kolmio - Equilateral triangle

Tasasivuinen kolmio
Tyyppi	Säännöllinen monikulmio
Reunat ja kärkipisteet	3
Schläflin symboli	{3}
Coxeter -kaavio
Symmetriaryhmä	D 3
Alue	${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$
Sisäinen kulma ( astetta )	60 °

On geometria , tasasivuinen kolmio on kolmio , jossa kaikki kolme sivua on sama pituus. Tuttu euklidinen geometria , tasasivuinen kolmio on myös equiangular ; toisin sanoen kaikki kolme sisäkulmaa ovat myös keskenään yhdenmukaisia ja kumpikin 60 °. Se on myös säännöllinen monikulmio , joten sitä kutsutaan myös säännölliseksi kolmioksi .

Pääominaisuudet

Merkitsemällä tasasivuisen kolmion sivujen yhteisen pituuden as , voimme Pythagoraan lauseen avulla määrittää, että: ${\ displaystyle a}$

• Alue on ,${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$
• Kehä on ${\ displaystyle p = 3a \, \!}$
• Ympyröidyn ympyrän säde on${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ sqrt {3}}}}$
• Kirjoitetun ympyrän säde on tai${\ displaystyle r = {\ frac {\ sqrt {3}} {6}} a}$${\ displaystyle r = {\ frac {R} {2}}}$
• Kolmion geometrinen keskipiste on rajattujen ja kirjoitettujen ympyröiden keskipiste
• Korkeus (korkeus) mistä tahansa puolella on${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$

Merkitsemällä rajatun ympyrän säde R: ksi , voimme trigonometrian avulla määrittää, että:

• Kolmion pinta -ala on ${\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} R^{2}}$

Monilla näistä määristä on yksinkertaiset suhteet kunkin vastakkaiselta sivulta tulevan kärjen korkeuteen ("h"):

• Alue on ${\ displaystyle A = {\ frac {h^{2}} {\ sqrt {3}}}}$
• Keskipisteen korkeus kummaltakin puolelta eli apoteemi on${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}$
• Kolme huippua rajaavan ympyrän säde on ${\ displaystyle R = {\ frac {2h} {3}}}$
• Kirjoitetun ympyrän säde on ${\ displaystyle r = {\ frac {h} {3}}}$

Tasasivuisessa kolmiossa korkeudet, kulman puolittajat, kohtisuorat puolikkaat ja mediaanit kummallekin puolelle ovat samat.

Ominaisuudet

Kolmio ABC, jolla on sivut a , b , c , puoliperimetri s , alue T , exradii r _a , r _b , r _c (tangentti a , b , c ) ja jossa R ja r ovat ympyrän ympyrän säteet ja incircle vastaavasti on tasasivuinen vain ja ainoastaan, jos jokin seuraavista yhdeksästä kategoriasta olevista väitteistä on totta. Nämä ovat siis ominaisuuksia, jotka ovat ainutlaatuisia tasasivuisille kolmioille, ja tietäen, että jokin niistä on totta, se tarkoittaa suoraan, että meillä on tasasivuinen kolmio.

Sivut

• ${\ displaystyle \ displaystyle a = b = c}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle {\ frac {1} {a}}+{\ frac {1} {b}}+{\ frac {1} {c}} = {\ frac {\ sqrt {25Rr-2r^{ 2}}} {4Rr}}}$

Semiperimetri

• ${\ displaystyle \ displaystyle s = 2R+(3 {\ sqrt {3}}-4) r \ quad {\ text {(Blundon)}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s^{2} = 3r^{2}+12Rr}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s^{2} = 3 {\ sqrt {3}} T}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s = 3 {\ sqrt {3}} r}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle s = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R}$

Kulmat

• ${\ displaystyle \ displaystyle A = B = C = 60^{\ circ}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ cos {A}+\ cos {B}+\ cos {C} = {\ frac {3} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sin {\ frac {A} {2}} \ sin {\ frac {B} {2}} \ sin {\ frac {C} {2}} = {\ frac {1} {8 }}}$

Alue

• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}} {4 {\ sqrt {3}}}} \ quad}$( Weitzenböck )
• ${\ displaystyle \ displaystyle T = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} (abc)^{^{\ frac {2} {3}}}}$

Circumradius, inradius ja exradii

• ${\ displaystyle \ displaystyle R = 2r \ quad {\ text {(Chapple-Euler)}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle 9R^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r = {\ frac {r_ {a}+r_ {b}+r_ {c}} {9}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle r_ {a} = r_ {b} = r_ {c}}$

Tasavertaiset cevians

Kolmen tyyppiset cevianit ovat samat ja tasavertaiset (ja vain) tasasivuisille kolmioille:

• Kolme korkeutta ovat yhtä pitkiä.
• Kolme mediaania ovat yhtä pitkiä.
• Kolmen kulman puolittajan pituus on sama.

Sattuneet kolmiokeskukset

Jokainen tasasivuisen kolmion kolmion keskipiste on sama kuin sen keskipiste , mikä tarkoittaa, että tasasivuinen kolmio on ainoa kolmio, jossa ei ole Euler -viivaa, joka yhdistää joitakin keskuksia. Joidenkin kolmion keskiparien kohdalla se, että ne osuvat yhteen, riittää varmistamaan, että kolmio on tasasivuinen. Erityisesti:

• Kolmio on tasasivuinen, jos mitkä tahansa ympyrän keskipisteestä , stimulaattorista , keskipisteestä tai ortokeskuksesta kohtaavat.
• Se on myös tasasivuinen, jos sen ympyrän keskikohta on sama kuin Nagel-piste tai jos sen stimulaattori on sama kuin sen yhdeksän pisteen keskipiste .

Kuusi kolmiota, jotka on muodostettu jakamalla mediaanit

Kaikille kolmioille kolme mediaania jakavat kolmion kuuteen pienempään kolmioon.

• Kolmio on tasasivuinen silloin ja vain, jos jollakin kolmesta pienemmästä kolmiosta on sama kehä tai sama säde.
• Kolmio on tasasivuinen silloin ja vain, jos minkä tahansa kolmen pienemmän kolmion ympärysmitat ovat saman etäisyyden keskipisteestä.

Pisteet koneessa

• Kolmio on tasasivuinen silloin ja vain, jos jokaisen tason pisteen P osalta etäisyydet p , q ja r kolmion sivuille ja etäisyydet x , y ja z sen kärkiin,

${\ displaystyle 4 (p^{2}+q^{2}+r^{2}) \ geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

Merkittäviä lauseita

Morleyn kolmiulotteinen lause toteaa, että missä tahansa kolmiossa vierekkäisten kulmapisteiden kolme leikkauspistettä muodostavat tasasivuisen kolmion.

Napoleonin lause toteaa, että jos tasasivuiset kolmiot rakennetaan minkä tahansa kolmion sivuille, joko kaikki ulospäin tai kaikki sisäänpäin, näiden tasasivuisten kolmioiden keskukset muodostavat tasasivuisen kolmion.

Eräs versio kolmioiden isoperimetrisestä eriarvoisuudesta toteaa, että suurimman alueen kolmio kaikkien niiden kanssa, joilla on tietty kehä, on tasasivuinen.

Vivianin lause toteaa, että minkä tahansa sisäpisteen P kohdalla tasasivuisen kolmion etäisyydet d , e ja f sivuilta ja korkeudesta h ,

${\ displaystyle d+e+f = h,}$

riippumatta P: n sijainnista .

Pompeiu -lause toteaa, että jos P on mielivaltainen piste tasasivuisen kolmion ABC tasossa, mutta ei sen ympyrän ympyrässä , on olemassa kolmio, jonka sivut ovat pituudet PA , PB ja PC . Eli PA , PB ja PC täyttävät kolmion eriarvoisuuden , että minkä tahansa kahden summan summa on suurempi kuin kolmas. Jos P on ympyrän ympyrällä, kahden pienemmän summa on pisin ja kolmio on rappeutunut viivaksi, tätä tapausta kutsutaan Van Schootenin lauseeksi .

Muut ominaisuudet

Mukaan Euler epäyhtälö , tasasivuisen kolmion on pienin suhde R / r , että circumradius on inradius kaikki kolmion: erityisesti, R / r = 2.

Kaikkien tiettyyn ympyrään merkittyjen alueiden suurimman alueen kolmio on tasasivuinen; ja kaikkien tietyn ympyrän ympärille rajattujen alueiden pienimmän alueen kolmio on tasasivuinen.

Incircle-alueen suhde tasasivuisen kolmion pinta-alaan on suurempi kuin minkä tahansa ei-tasasivuisen kolmion pinta-ala . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}}$

Pinta -alan suhde tasasivuisen kolmion kehän neliöön on suurempi kuin minkä tahansa muun kolmion suhde . ${\ displaystyle {\ frac {1} {12 {\ sqrt {3}}}},}$

Jos segmentti jakaa tasasivuisen kolmion kahteen alueeseen, joilla on yhtä suuret kehät ja alueet A ₁ ja A ₂ , niin

${\ displaystyle {\ frac {7} {9}} \ leq {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} \ leq {\ frac {9} {7}}.}$

Jos kolmio sijoitetaan kompleksitasolle, jossa on monimutkaisia ​​pisteitä z ₁ , z ₂ ja z ₃ , niin joko ei-todellisella kuutiojuurella 1 kolmio on tasasivuinen silloin ja vain, jos ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle z_ {1}+\ omega z_ {2}+\ omega ^{2} z_ {3} = 0.}$

Kun piste P on tasasivuisen kolmion sisäpuolella, sen etäisyyksien summan suhde pisteistä sen sivujen etäisyyksien summaan on suurempi tai yhtä suuri kuin 2, tasa -arvo, kun P on keskipiste. Missään muussa kolmiossa ei ole pistettä, jonka suhde on yhtä pieni kuin 2. Tämä on Erdős – Mordell -eriarvoisuus ; vahvempi variantti se on Barrow epäyhtälö , joka korvaa kohtisuorassa etäisyydet puolin etäisyydet P pisteisiin, joissa kulmanpuolittajia on ∠ APB , ∠ BPC , ja ∠ CPA ylittää sivuilla ( , B , ja C ollessa kärkipisteet).

Missä tahansa tason P kohdassa etäisyydet p , q ja t pisteistä A , B ja C ,

${\ displaystyle \ displaystyle 3 (p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}) = (p^{2}+q^{2}+t^{2} +a^{2})^{2}.}$

Missä tahansa tasossa P olevassa etäisyydessä p , q ja t pisteistä,

${\ displaystyle \ displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2} = 3 (R^{2}+L^{2})}$

ja

${\ displaystyle \ displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4} = 3 [(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2} L^ {2}],}$

jossa R on rajattu säde ja L on etäisyys pisteen P ja tasasivuisen kolmion keskipisteen välillä.

Minkä tahansa pisteen P kohdalla tasasivuisen kolmion kirjoitetussa ympyrässä, jonka etäisyydet p , q ja t ovat pisteistä,

${\ displaystyle \ displaystyle 4 (p^{2}+q^{2}+t^{2}) = 5a^{2}}$

ja

${\ displaystyle \ displaystyle 16 (p^{4}+q^{4}+t^{4}) = 11a^{4}.}$

Minkä tahansa pisteen P ympyrän ympyrän pienellä kaarella BC, etäisyyksillä p , q ja t vastaavasti A: sta, B: stä ja C: stä,

${\ displaystyle \ displaystyle p = q+t}$

ja

${\ displaystyle \ displaystyle q^{2}+qt+t^{2} = a^{2};}$

lisäksi, jos pisteessä D oleva piste D jakaa PA: n segmentteihin PD ja DA, joiden DA pituus on z ja PD on pituus y , niin

${\ displaystyle z = {\ frac {t^{2}+tq+q^{2}} {t+q}},}$

joka on myös yhtä suuri, jos t ≠ q ; ja ${\ displaystyle {\ tfrac {t^{3} -q^{3}} {t^{2} -q^{2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}}+{\ frac {1} {t}} = {\ frac {1} {y}},}$

mikä on optinen yhtälö .

On olemassa lukuisia kolmion eriarvoisuuksia, jotka ovat yhtä suuret silloin ja vain, jos kolmio on tasasivuinen.

Tasasivuinen kolmio on symmetrisin kolmio, jonka keskellä on 3 heijastusviivaa ja pyörimissymmetria 3. Sen symmetriaryhmä on järjestyksen 6 D ₃ kaksijakoinen ryhmä .

Tasasivuiset kolmiot ovat ainoita kolmioita, joiden Steinerin inellipsi on ympyrä (erityisesti se on ympyrä).

Kokonaislukuinen tasasivuinen kolmio on ainoa kolmio, jossa on kokonaislukuja ja kolme järkevää kulmaa asteina mitattuna.

Tasasivuinen kolmio on ainoa terävä kolmio, joka on samanlainen kuin sen oikolinen kolmio (jonka kärkipisteet ovat korkeuksien jaloissa ) ( kuusikulmainen kolmio on ainoa tylppä).

Tasasivuisia kolmioita löytyy monista muista geometrisista rakenteista. Niiden ympyröiden leikkauspiste, joiden keskipisteet ovat säteen leveydellä toisistaan, on pari tasasivuisia kaaria, joista jokainen voidaan kirjoittaa tasasivuisen kolmion kanssa. Ne muodostavat säännöllisen ja yhtenäisen polyhedran kasvot . Kolme viidestä platonisesta kiintoaineesta koostuu tasasivuisista kolmioista. Erityisesti tavallisella tetraedrilla on neljä tasasivuista kolmiota kasvoja varten, ja sitä voidaan pitää muodon kolmiulotteisena analogina. Taso voidaan laatoittaa käyttämällä tasasivuisia kolmioita, jotka antavat kolmiomaisen laatoituksen .

Geometrinen rakenne

Tasasivuinen kolmio on helppo rakentaa suoran reunan ja kompassin avulla , koska 3 on Fermat -alkuluku . Piirrä suora viiva ja aseta kompassin piste suoran toiselle puolelle ja käännä kaari tästä pisteestä viivanosan toiseen pisteeseen. Toista linjan toisella puolella. Yhdistä lopuksi piste, jossa kaksi kaaria leikkaavat, viivan segmentin kumpaankin päähän

Vaihtoehtoinen tapa on piirtää ympyrä, jonka säde on r , asettaa kompassin piste ympyrälle ja piirtää toinen ympyrä, jolla on sama säde. Kaksi ympyrää leikkaavat kaksi pistettä. Tasasivuinen kolmio voidaan rakentaa ottamalla ympyröiden kaksi keskipistettä ja jompikumpi leikkauspisteistä.

Molemmissa menetelmissä sivutuotteena on vesica piscis .

Todiste siitä, että tuloksena oleva luku on tasasivuinen kolmio, on Eukleidesin elementtien kirjan I ensimmäinen ehdotus .

Aluekaavan johtaminen

Alueen kaava suhteen sivun pituus voidaan johtaa suoraan Pythagoraan lauseen tai trigonometrian avulla. ${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$

Pythagoraan lauseen käyttäminen

Alueen kolmio on puoli ja toinen puoli kertaa korkeus h siltä puolelta:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ah.}$

Tasasivuisen kolmion korkeuden muodostaman suorakulmion jalat ovat puolet pohjasta a , ja hypotenuusa on tasasivuisen kolmion sivu a . Tasasivuisen kolmion korkeus saadaan Pythagoraan lauseen avulla

${\ displaystyle \ vasen ({\ frac {a} {2}} \ oikea)^{2}+h^{2} = a^{2}}$

jotta

${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a.}$

Korvaamalla h pinta -alakaavaan (1/2) ah saadaan tasasivuisen kolmion pinta -alakaava:

${\ displaystyle A = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}.}$

Trigonometrian käyttäminen

Käyttämällä trigonometriaa , kolmion pinta -ala , jolla on kaksi sivua a ja b sekä kulma C niiden välillä, on

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin C.}$

Tasasivuisen kolmion jokainen kulma on 60 °

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ sin 60^{\ circ}.}$

Sininen 60 ° on . Täten ${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}}$

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ab \ kertaa {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} ab = { \ frac {\ sqrt {3}} {4}} a^{2}}$

koska tasasivuisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Kulttuurissa ja yhteiskunnassa

Tasasivuisia kolmioita on esiintynyt usein ihmisen tekemissä rakenteissa:

• Muoto esiintyy modernissa arkkitehtuurissa, kuten Gateway Archin poikkileikkaus .
• Sen sovellukset liput ja heraldiikassa sisältää lipun Nicaraguan ja Filippiinien lippu .
• Se on erilaisten liikennemerkkien muoto , mukaan lukien satomerkki .

Katso myös

• Lähes tasasivuinen heronilainen kolmio
• Tasakylkinen kolmio
• Kolmiosainen juoni
• Trilineaariset koordinaatit

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Weisstein, Eric W. "Tasasivuinen kolmio" . MathWorld .

v t e Peruskuperat, säännölliset ja yhtenäiset polytopit mitoissa 2–10
Perhe	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Säännöllinen monikulmio	Kolmio	Neliö	p-gon	Kuusikulmio	Pentagon
Yhtenäinen monisivu	Tetraedri	Oktaedri • Kuutio	Demicube		Dodekaedri • Icosahedron
Yhtenäinen monivärinen	Pentachoron	16-soluinen • Tesseract	Demitesseract	24-kennoinen	120-kenno • 600-kennoinen
Yhtenäinen 5-polytooppi	5-yksipuolinen	5-ortopleksi • 5-kuutio	5-demicube
Yhtenäinen 6-polytooppi	6-yksipuolinen	6-ortopleksi • 6-kuutio	6-demicube	1 22 • 2 21
Yhtenäinen 7-polytooppi	7-yksipuolinen	7-ortopleksi • 7-kuutio	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Yhtenäinen 8-polytope	8-yksipuolinen	8-ortopleksi • 8-kuutio	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Yhtenäinen 9-polytooppi	9-yksipuolinen	9-orthoplex • 9-kuutio	9-demicube
Yhtenäinen 10-polytooppi	10-yksipuolinen	10-ortopleksi • 10-kuutio	10-demicube
Univormu n - polytope	n - yksipuolinen	n - ortopleksi • n - kuutio	n - demikuutio	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - viisikulmainen polytooppi
Aiheet: Polytope -perheet • Säännöllinen polytope • Luettelo tavallisista polytopeista ja yhdisteistä