Tennismailalause - Tennis racket theorem

Tennismailan pääakselit.

"Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps", 1852 painatus

Tennismailan lause tai väli- akselilla lause on tulos klassisen mekaniikan kuvaavat liikkeen jäykän rungon , jossa on kolme erillistä pääasiallinen massamomenttien . Sitä kutsutaan myös Dzhanibekov -ilmiöksi sen jälkeen, kun Neuvostoliiton kosmonautti Vladimir Dzhanibekov huomasi yhden teorian loogisista seurauksista avaruudessa vuonna 1985, vaikka vaikutus oli tiedossa jo ainakin 150 vuotta ennen sitä.

Lause kuvaa seuraavaa vaikutusta: objektin pyöriminen ensimmäisen ja kolmannen pääakselinsa ympäri on vakaa, kun taas pyöriminen sen toisen pääakselin (tai väliakselin) ympäri ei ole.

Tämä voidaan osoittaa seuraavalla kokeella: pidä tennismaila kahvassa, kasvot vaakasuorassa, ja yritä heittää se ilmaan niin, että se pyörii koko vaakasuoran akselin ympäri kohtisuoraan kahvaan nähden ja yritä tarttumaan kahvaan. Lähes kaikissa tapauksissa tämän pyörimisen aikana myös kasvot ovat suorittaneet puolen kierroksen, joten toinen puoli on nyt ylhäällä. Sitä vastoin maila on helppo heittää niin, että se pyörii kahvan akselin ympäri (ê ₁ kuviossa) ilman puolikierrosta toisen akselin ympäri; on myös mahdollista saada se pyörimään pystysuoran akselin ympäri kohtisuoraan kahvaan (ê ₃ ) ilman mukana tulevaa puolikierrosta.

Kokeilu voidaan suorittaa millä tahansa esineellä, jolla on kolme erilaista hitausmomenttia, esimerkiksi kirja, kaukosäädin tai älypuhelin. Vaikutus tapahtuu aina, kun pyörimisakseli eroaa vain hieman kohteen toisesta pääakselista; ilmanvastusta tai painovoimaa ei tarvita.

Teoria

Visualisointi väliakselin epävakaudesta. Sekä pyörivän kohteen kulmamomentin suuruus että liike -energia säilyvät. Tämän seurauksena kulmanopeusvektori pysyy kahden ellipsoidin leikkauspisteessä.

Toista mediaa

Dzhanibekov -ilmiön esittely mikrogravitaatiossa , NASA .

Tennismailalause voidaan analysoida laadullisesti Eulerin yhtälöiden avulla . Alle vääntömomentti vapaa olosuhteissa, ne muodoltaan seuraava:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {1} {\ dot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {3} -I_ {2}) \ omega _ {3} \ omega _ {2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ text {(1)}} \\ I_ {2} {\ dot {\ omega}} _ {2} & = ( I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {1} \ omega _ {3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ teksti {(2)} } \\ I_ {3} {\ piste {\ omega}} _ {3} & = (I_ {2} -I_ {1}) \ omega _ {2} \ omega _ {1} ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ {\ teksti {(3)}} \ loppu {tasattu}}}$

Tässä kuvataan kohteen tärkeimmät hitausmomentit, ja oletamme . Kohteen kolmen pääakselin ympärillä olevat kulmanopeudet ovat ja niiden aikajohdannaiset on merkitty . ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$${\ displaystyle I_ {1} <I_ {2} <I_ {3}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3}}$${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {1}, {\ dot {\ omega}} _ {2}, {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

Vakaa pyöriminen ensimmäisen ja kolmannen pääakselin ympäri

Harkitse tilannetta, kun esine pyörii akselinsa ympäri hitausmomentilla . Tasapainon luonteen määrittämiseksi oletetaan pienet alkukulmanopeudet kahta muuta akselia pitkin. Tämän seurauksena yhtälön (1) mukaan se on hyvin pieni. Siksi ajan riippuvuus voidaan jättää huomiotta. ${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle ~ {\ dot {\ omega}} _ {1}}$${\ displaystyle ~ \ omega _ {1}}$

Nyt erottamalla yhtälö (2) ja korvaamalla yhtälöstä (3), ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {2} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {1} -I_ {3}) \ omega _ {1} {\ dot {\ omega }} _ {3} \\ I_ {3} I_ {2} {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = (I_ {1} -I_ {3}) (I_ {2} -I_ {1 }) (\ omega _ {1})^{2} \ omega _ {2} \\ {\ text {ie}} ~~~~ {\ ddot {\ omega}} _ {2} & = {\ text {(negatiivinen määrä)}} \ cdot \ omega _ {2} \ end {aligned}}}$

koska ja . ${\ displaystyle I_ {2} -I_ {1}> 0}$${\ displaystyle I_ {1} -I_ {3} <0}$

Huomaa, että sitä vastustetaan, joten pyöriminen tämän akselin ympäri on vakaata objektille. ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

Samanlainen päättely antaa, että pyöriminen akselin ympäri hitausmomentilla on myös vakaa. ${\ displaystyle I_ {3}}$

Epävakaa pyöriminen toisen pääakselin ympäri

Käytä nyt samaa analyysiä akselille hitausmomentilla. Tämä aika on hyvin pieni. Siksi ajan riippuvuus voidaan jättää huomiotta. ${\ displaystyle I_ {2}.}$${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {2}}$${\ displaystyle ~ \ omega _ {2}}$

Nyt erottamalla yhtälö (1) ja korvaamalla yhtälöstä (3), ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} I_ {1} I_ {3} {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = (I_ {3} -I_ {2}) (I_ {2} -I_ { 1}) (\ omega _ {2})^{2} \ omega _ {1} \\ {\ text {ie}} ~~~~ {\ ddot {\ omega}} _ {1} & = {\ text {(positiivinen määrä)}} \ cdot \ omega _ {1} \ end {aligned}}}$

Huomaa, että sitä ei vastusteta (ja siksi se kasvaa), joten pyöriminen toisen akselin ympäri on epävakaata . Siksi jopa pieni häiriö pitkin muita akseleita saa kohteen "kääntymään". ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$

Katso myös

• Bifurkaatiotaulukko  - visualisointi äkillisistä käyttäytymismuutoksista, jotka johtuvat jatkuvista parametrimuutoksista
• Bifurkaatioteoria  - Tutkimus äkillisistä laadullisista käyttäytymismuutoksista, jotka johtuvat pienistä parametrimuutoksista
• Eulerin kulmat  - Kuvaus jäykän rungon suunnasta
• Fano -resonanssi
• Feigenbaumin vakioita  - Kaoottiseen käyttäytymiseen liittyviä matemaattisia vakioita
• Metastabiilisuus
• Hitausmomentti  - Pyörimishitauden skalaarimitta kiinteään pyörimisakseliin nähden
• Poinsotin ellipsoidi  - Geometrinen menetelmä pyörivän jäykän kappaleen visualisoimiseksi
• Polhode  - Käyrä, jonka tuottaa inertia -ellipsoidin kulmanopeusvektori
• Muotoresonanssi

Viitteet

Ulkoiset linkit

• Dan Russell (5. maaliskuuta 2010). "Hidastettu Dzhanibekov -tehosteesittely pöytätennismailalla" . Haettu 2. helmikuuta 2017 - YouTuben kautta.
• zapadlovsky (16. kesäkuuta 2010). "Dzhanibekov -ilmiön esittely" . Haettu 2. helmikuuta 2017 - YouTuben kautta.on Mir Kansainvälisen avaruusaseman
• Viacheslav Mezentsev (7. syyskuuta 2011). "Djanibekov -efekti mallinnettu Mathcad 14: ssä" . Haettu 2. helmikuuta 2017 - YouTuben kautta.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotaatio des corps , Pariisi, Bachelier, 1834, 170 Sivumäärä OCLC  457954839  : historiallisesti ensimmäinen vaikutuksen matemaattinen kuvaus.
• "Ellipsoidit ja pyörivien kappaleiden outo käyttäytyminen" .- intuitiivinen videon selitys Matt Parkerilta