Ulam -kierre - Ulam spiral

Ulam -kierre, koko 200 × 200. Mustat pisteet edustavat alkulukuja. Diagonaaliset, pystysuorat ja vaakasuorat viivat, joilla on suuri alkulukujen tiheys, ovat selvästi näkyvissä.

Vertailun vuoksi spiraali, jossa on satunnaisia ​​parittomia numeroita, jotka on värjätty mustaksi (samalla alkutiheydellä 200 x 200 spiraalissa).

Ulam kierre tai prime kierre on graafinen esitys joukko alkulukuja , suunnittelivat matemaatikko Stanisław Ulam vuonna 1963 ja popularisoi Martin Gardnerin Matemaattiset pelit sarake Scientific American hetkeä myöhemmin. Se rakennetaan kirjoittamalla positiiviset kokonaisluvut neliöspiraaliksi ja merkitsemällä erityisesti alkuluvut.

Ulam ja Gardner korostivat silmiinpistävää ulkonäköä näkyvästi lävistävien, vaakasuorien ja pystysuorien viivojen spiraalissa, joka sisälsi suuren määrän alkulukuja. Sekä Ulam ja Gardner huomattava, että tällaisista merkittävä linjat ei ole odottamatonta, koska rivit kierre vastaavat toisen asteen polynomi , ja tiettyjä tällaisia polynomit, kuten Euler 's prime-generoijapolynomi x ²  -  x  + 41, uskotaan tuottaa suuren alkulukutiheyden. Ulam -kierre liittyy kuitenkin lukuteorian suuriin ratkaisemattomiin ongelmiin , kuten Landaun ongelmiin . Erityisesti yksikään toisen asteen polynomi ei ole koskaan osoittautunut tuottavan äärettömän monia alkulukuja, ja vielä vähemmän, että niillä on suuri asymptoottinen tiheys, vaikka on hyvin tuettu arvaus siitä, minkä asymptoottisen tiheyden pitäisi olla.

Vuonna 1932, yli kolmekymmentä vuotta ennen Ulamin löytöä, herpetologi Laurence Klauber rakensi kolmionmuotoisen, ei-spiraalisen matriisin, joka sisälsi pystysuorat ja diagonaaliset viivat, joilla oli samanlainen alkuluvupitoisuus. Ulamin tavoin Klauber huomasi yhteyden alkutekijöitä tuottaviin polynomeihin, kuten Eulerin.

Rakentaminen

Ulam spiraali on rakennettu kirjoittamalla positiivisia kokonaislukuja on kierre järjestely on neliön ristikko :

ja merkitse alkuluvut:

Kuvassa alkut näyttävät keskittyvän tiettyjä diagonaalisia viivoja pitkin. Yllä olevassa 200 × 200 Ulam -spiraalissa diagonaaliset viivat näkyvät selvästi, mikä vahvistaa, että kuvio jatkuu. Vaakasuorat ja pystysuorat viivat, joilla on suuri alkutiheys, mutta ovat vähemmän näkyvissä, ovat myös ilmeisiä. Useimmiten numerospiraali aloitetaan numerolla 1 keskellä, mutta on mahdollista aloittaa millä tahansa numerolla ja havaitaan sama alkupitoisuus diagonaalisia, vaakasuoria ja pystysuoria viivoja pitkin. Alkaen 41: stä keskellä antaa diagonaalin, joka sisältää keskeytymättömän 40 alkuluvun merkkijonon (alkaen vuodesta 1523 lounaaseen alkuperästä, vähenee 41: een lähtökohdasta ja nousee 1601 koilliseen alkuperästä), pisin esimerkki lajistaan.

Historia

Gardnerin mukaan Ulam löysi spiraalin vuonna 1963 doodlingissa esitellessään "pitkän ja erittäin tylsän paperin" tieteellisessä kokouksessa. Nämä käsilaskelmat olivat "muutama sata pistettä". Pian tämän jälkeen Ulam käytti yhteistyökumppaneidensa Myron Steinin ja Mark Wellsin kanssa MANIAC II : ta Los Alamosin tieteellisessä laboratoriossa pidentääkseen laskennan noin 100 000 pisteeseen. Ryhmä laski myös alukkeiden tiheyden jopa 100000000 numeroiden joukossa joillakin prime-rikkailla linjoilla ja joillakin prime-poor-linjoilla. Enintään 65 000 pisteen spiraalikuvat näytettiin "koneeseen kiinnitetyssä mittakaavassa" ja kuvattiin sitten. Ulam -kierre kuvattiin Martin Gardnerin maaliskuussa 1964 julkaistussa Mathematical Games -sarakkeessa Scientific Americanissa ja esiteltiin kyseisen numeron etukannessa. Osa Steinin, Ulamin ja Wellsin valokuvista toistettiin sarakkeessa.

Lisäyksessä Scientific American -sarakkeeseen Gardner mainitsi Klauberin aikaisemman artikkelin. Klauber kuvailee rakentamistaan ​​seuraavasti: "Kokonaisluvut on järjestetty kolmiojärjestykseen siten, että niiden kärjessä on 1, toinen rivi sisältää numerot 2-4, kolmas 5-9 ja niin edelleen. Kun alkuluvut on ilmoitettu, että tietyissä pystysuorissa ja diagonaalisissa viivoissa on pitoisuuksia, ja näiden joukosta löydetään niin sanotut Euler-sekvenssit, joissa on suuria alkupitoisuuksia. "

Selitys

Numerospiraalin diagonaaliset, vaakasuorat ja pystysuorat viivat vastaavat lomakkeen polynomeja

${\ displaystyle f (n) = 4n^{2}+bn+c}$

jossa b ja c ovat kokonaislukuvakioita. Kun b on parillinen, viivat ovat diagonaalisia ja joko kaikki luvut ovat parittomia tai kaikki ovat parillisia, riippuen c : n arvosta . Siksi ei ole mikään yllätys, että kaikki muut alkuluvut kuin 2 sijaitsevat Ulam -spiraalin vaihtoehtoisilla diagonaaleilla. Jotkut polynomit, kuten vaikka tuottavat vain parittomia arvoja, tekijäytyvät kokonaislukujen yli eivätkä siksi ole koskaan alkutekijöitä, paitsi mahdollisesti silloin, kun jokin tekijöistä on yhtä suuri. Tällaiset esimerkit vastaavat diagonaaleja, joilla ei ole alkulukuja tai lähes niin. ${\ displaystyle 4n^{2}+8n+3}$${\ displaystyle (4n^{2}+8n+3 = (2n+1) (2n+3))}$

Saadaksesi käsityksen siitä, miksi joillakin jäljellä olevilla parittomilla diagonaaleilla voi olla korkeampi alkukonsentraatio kuin toisilla, harkitse ja . Laske jäännökset jakamalla 3: lla, kun n ottaa peräkkäiset arvot 0, 1, 2, .... Ensimmäisen näistä polynomeista jäännösten järjestys on 1, 2, 2, 1, 2, 2, ..., kun taas toiseksi se on 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Tämä merkitsee sitä, että toisen polynomin ottamassa arvojärjestyksessä kaksi kolmesta on jaollinen 3: lla, joten ei varmasti prime, kun taas ensimmäisen polynomin ottamien arvojen sekvenssissä yksikään ei ole jaollinen 3: lla. Näin ollen vaikuttaa todennäköiseltä, että ensimmäinen polynomi tuottaa arvoja, joilla on suurempi alkutiheys kuin toisella. Tämä havainto ei ainakaan anna mitään syytä uskoa, että vastaavat lävistäjät ovat yhtä tiheitä alkeilla. On tietenkin otettava huomioon jaettavuus muilla alukkeilla kuin 3. Tutkimalla myös jakautumista 5: llä, jaetaan 15: llä jakautumisella toistetaan kuvio 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11 , 11, 4, 5, 14 ensimmäiselle polynomille ja kuvio 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 toiselle, mikä tarkoittaa että vain kolme 15: stä arvosta toisessa sekvenssissä on potentiaalisesti alkutekijöitä (jaettavissa ei 3: lla eikä 5: llä), kun taas 12 ensimmäisen sekvenssin 15 arvosta on potentiaalisesti prime (koska vain kolme on jaollinen 5: llä ja mikään ei jaollinen 3). ${\ displaystyle 4n^{2}+6n+1}$${\ displaystyle 4n^{2}+6n+5}$

Vaikka tiukasti todistetut tulokset alkeista toisen asteen sekvensseissä ovat vähäisiä, yllä olevien kaltaiset näkökohdat antavat uskottavan oletuksen tällaisten sekvenssien alukkeiden asymptoottisesta tiheydestä, joka kuvataan seuraavassa osassa.

Hardyn ja Littlewoodin arvaus F.

Niiden 1923 kirjan Goldbach otaksuma , Hardy ja Littlewood totesi joukon arvailuja, joista yksi, jos totta, selittää joitakin leimaavista ja Ulam kierre. Tämä olettamus, jonka Hardy ja Littlewood kutsuivat "olettamukseksi F", on Bateman -Horn -olettaman erityistapaus ja väittää asymptoottisen kaavan muodon ax ²  +  bx  +  c alkulukuille . Säteet peräisin keskialueen Ulamin kierre tekee kulmat 45 ° vaakasuoran ja pystysuoran vastaavat numerot muotoa 4 x ²  +  bx  +  c , jossa b jopa; vaaka- ja pystysäteet vastaavat saman muodon numeroita, joissa on pariton b . Oletus F tarjoaa kaavan, jota voidaan käyttää arvioimaan alukkeiden tiheys tällaisilla säteillä. Se viittaa siihen, että tiheys vaihtelee huomattavasti eri säteitä pitkin. Erityisesti tiheys on erittäin herkkä polynomin erottelijalle , b ²  - 16 c .

Luvut 4 x ²  - 2 x  + 41, joissa x  = 0, 1, 2, ..., on korostettu violetilla. Kuvion alaosassa näkyvä yhdensuuntainen viiva vastaa 4 x ²  + 2 x  + 41 tai vastaavasti x: n negatiivisia arvoja .

Oletus F koskee polynomeja, joiden muoto on ax ²  +  bx  +  c, missä a , b ja c ovat kokonaislukuja ja a on positiivinen. Jos kertoimet sisältävät yhteisen kertoimen, joka on suurempi kuin 1, tai jos erottelija Δ =  b ²  - 4 ac on täydellinen neliö , polynomi kerrotaan ja tuottaa siksi yhdistelmälukuja, kun x ottaa arvot 0, 1, 2, ... (paitsi mahdollisesti yhdelle tai kahdelle x -arvolle, jossa yksi tekijöistä on 1). Lisäksi, jos a  +  b ja c ovat parillisia, polynomi tuottaa vain parillisia arvoja ja on siksi yhdistelmä, paitsi mahdollisesti arvo 2. Hardy ja Littlewood väittävät, että näiden tilanteiden lisäksi akseli ²  +  bx  +  c ottaa alkuarvot äärettömän usein, kun x ottaa arvot 0, 1, 2, ... Tämä lausunto on erikoistapaus Bunyakovskin aikaisemmalle oletukselle ja pysyy avoimena. Hardy ja Littlewood väittävät lisäksi, että asymptoottisesti alkioiden lukumäärä P ( n ) muodossa ax ²  +  bx  +  c ja alle n annetaan

${\ displaystyle P (n) \ sim A {\ frac {1} {\ sqrt {a}}} {\ frac {\ sqrt {n}} {\ log n}}}$

jossa A riippuu a: sta , b : stä ja c: stä, mutta ei n: stä . Jonka Alkulukulause , tämä kaava asetettu yhtä suuri kuin yksi on asymptoottinen määrä alkulukujen pienempi kuin n odotettua satunnainen joukko numeroita, jolla on sama tiheys kuin joukko numeroita muotoa ax ²  +  bx  +  c . Mutta koska A voi ottaa suurempia tai pienempiä arvoja kuin 1, jotkin polynomit ovat olettamusten mukaan erityisen rikkaita alkulajeista ja toiset erityisen huonoja. Epätavallisen rikas polynomi on 4 x ²  - 2 x  + 41, joka muodostaa näkyvän viivan Ulam -spiraalissa. Tämän polynomin vakio A on noin 6,6, mikä tarkoittaa, että sen luomat luvut ovat lähes seitsemän kertaa todennäköisempää alkuluvulla kuin vastaavan kokoiset satunnaisluvut oletusten mukaan. Tämä erityisesti polynomi liittyy Eulerin prime-generoijapolynomi x ²  -  x  + 41 korvaamalla x 2 x , tai vastaavasti, rajoittamalla x on parillinen määrä. Vakio A annetaan tulolla, joka kulkee kaikkien alkulukujen päällä,

${\ displaystyle A = \ prod \ limits _ {p} {\ frac {p- \ omega (p)} {p-1}} ~}$,

jossa on toisen asteen polynomin modulo p nollien lukumäärä ja ottaa siten yhden arvoista 0, 1 tai 2. Hardy ja Littlewood jakavat tuotteen kolmeen tekijään ${\ displaystyle \ omega (p)}$

${\ displaystyle A = \ varepsilon \ prod _ {p} {\ biggl (} {\ frac {p} {p-1}} {\ biggr)} \, \ prod _ {\ varpi} {\ biggl (} 1 -{\ frac {1} {\ varpi -1}} {\ Bigl (} {\ frac {\ Delta} {\ varpi}} {\ Bigr)} {\ biggr)}}$.

Tässä alkutekijää 2 vastaava tekijä ε on 1, jos a  +  b on pariton ja 2, jos a  +  b on parillinen. Ensimmäinen tuoteindeksi p kulkee äärettömästi monien parittomien alkuarvojen yli, jotka jakavat sekä a että b . Näille alkeille, koska p ei voi jakaa c: tä . Toinen tuoteindeksi kulkee äärettömän monien parittomien alkuarvojen yli, jotka eivät jaa a . Näillä alkuluvuilla on 1, 2 tai 0 riippuen siitä, onko erottelija 0, neliö, joka ei ole nolla, vai ei-neliö modulo p . Tämä selittyy sillä käytöstä Legendren symbolin , . Kun alkuluku p jakaa a, mutta ei b, on yksi juuri modulo p . Näin ollen tällaiset alukkeet eivät vaikuta tuotteeseen. ${\ displaystyle \ omega (p) = 0}$${\ displaystyle \ varpi}$${\ displaystyle \ omega (p)}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ Delta} {\ varpi}} \ right)}$

Jacobson ja Williams ovat löytäneet toisen asteen polynomi, jonka A ≈ 11,3 on tällä hetkellä korkein tunnettu arvo.

Vaihtoehdot

Klauberin 1932 paperi kuvaa kolmion, jossa rivi n sisältää numerot ( n   - 1) ²  + 1 - n ² . Kuten Ulam -spiraalissa, myös toisen asteen polynomit tuottavat suoria viivoja. Pystysuorat viivat vastaavat muodon k ²  -  k  +  M numeroita . Pystysuorat ja diagonaaliset viivat, joilla on suuri alkulukujen tiheys, näkyvät kuvassa.

Robert Sacks kehitti muunnelman Ulam-spiraalista vuonna 1994. Sacks-spiraalissa ei-negatiiviset kokonaisluvut on piirretty Arkhimedeen-spiraaliin Ulamin käyttämän neliöspiraalin sijasta, ja ne on sijoitettu niin, että yksi täydellinen neliö esiintyy jokaisessa täydessä kierroksessa . (Tässä Ulam kierre, kaksi ruutua esiintyy jokaisen pyörähdyksen.) Eulerin prime-generoijapolynomi, x ²  -  x  + 41, nyt näkyy yhtenä käyrä x ottaa arvot 0, 1, 2, ... Tämä käyrä asymptoottisesti lähestyy vaakasuoraa viivaa kuvan vasemmassa puoliskossa. (Ulam -spiraalissa Eulerin polynomi muodostaa kaksi diagonaalista viivaa, yksi kuvan yläosassa, jotka vastaavat parillisia x -arvoja sarjassa, toinen kuvan alaosassa vastaa x : n parittomia arvoja sarjassa .)

Lisärakennetta voidaan nähdä, kun Ulam -kierre sisältää myös yhdistelmälukuja . Numerolla 1 on vain yksi tekijä; jokaisella alkuluvulla on kaksi tekijää, itse ja 1; yhdistelmäluvut jaetaan ainakin kolmella eri tekijällä. Käyttämällä kokonaislukua edustavan pisteen kokoa ilmaisemaan tekijöiden lukumäärä ja väristämällä alkuluvut punaiseksi ja yhdistelmäluvut siniseksi saadaan esitetty kuva.

Kierteet, jotka seuraavat tason muita kallistuksia, tuottavat myös alkulukuisia rivejä, esimerkiksi kuusikulmaisia ​​spiraaleja.

• 

  Klauber -kolmio, jossa Eulerin polynomin x ²   -   x   + 41 alkuluvut on korostettu.

• 

  Säkit spiraali.

• 

  Ulam -kierre, jonka koko on 150 × 150 ja joka esittää sekä alkuluvut että yhdistelmäluvut.

• 

  Kuusikulmainen numerospiraali, jossa alkuluvut vihreänä ja enemmän yhdistettyjä numeroita tummemmissa sinisen sävyissä.

• 

  Numerokierukka, jossa 7503 alkukangasta on näkyvissä tavallisessa kolmiossa.

Katso myös

• Hahmontunnistus
• Esitä k-tuple

Viitteet

Bibliografia

Ulkoiset linkit