Tartuntataudin matemaattinen mallinnus - Mathematical modelling of infectious disease

Matemaattiset mallit voivat ennustaa tartuntatautien etenemistä osoittamaan epidemian todennäköisen lopputuloksen ja auttamaan tiedotamaan kansanterveydellisistä toimenpiteistä. Mallit käyttävät perusoletuksia tai kerättyjä tilastoja yhdessä matematiikan kanssa löytääkseen parametreja erilaisille tartuntataudeille ja laskemaan näiden parametrien avulla erilaisten toimenpiteiden, kuten massarokotusohjelmien , vaikutukset. Mallinnus voi auttaa päättämään, mitä interventioita vältetään ja mitä kokeillaan, tai voi ennustaa tulevia kasvumalleja jne.

Historia

Tartuntatautien mallintaminen on työkalu, jota on käytetty sairauksien leviämismekanismien tutkimiseen, taudinpurkauksen tulevan kulun ennustamiseen ja epidemian hallintastrategioiden arviointiin.

Ensimmäinen tiedemies, joka yritti järjestelmällisesti mitata kuolinsyitä, oli John Graunt kirjassaan Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality , vuonna 1662. Grauntin kuolinsyiden analyysiä pidetään "kilpailevien riskien teorian" alkua, joka Daleyn ja Ganin mukaan on "teoria, joka on nyt vakiintunut nykyaikaisten epidemiologien keskuudessa".

Daniel Bernoulli teki varhaisimman selvityksen taudin leviämisen matemaattisesta mallinnuksesta vuonna 1760 . Lääkäriksi koulutettu Bernoulli loi matemaattisen mallin puolustaakseen rokottamista isorokkoa vastaan . Tämän mallin laskelmat osoittivat, että yleinen rokotus isorokkoa vastaan ​​pidentäisi elinajanodotetta 26 vuodesta 7 kuukaudesta 29 vuoteen 9 kuukauteen. Daniel Bernoulli työ edeltää modernin ymmärrystä sukusolujen teoriaa .

Jo 20-luvulla, William Hamer ja Ronald Ross soveltanut lakia massavaikutuslain selittää epidemian käyttäytymistä.

Osastomallit syntyivät 1920 -luvulla. Kermack-McKendrick epidemia mallin (1927) ja Reed-Frost epidemia mallin (1928) molemmat kuvaavat suhdetta alttiita , tartunnan ja immuuni yksilöiden populaatiossa. Kermack -McKendrick -epidemiamalli onnistui ennustamaan taudinpurkausten käyttäytymistä, joka on hyvin samanlainen kuin monissa epidemioissa.

Äskettäin agentti perustuvia malleja (ABMs) on käytetty vastineeksi yksinkertaisempia compartmental malleihin . Esimerkiksi epidemiologisia ABM-menetelmiä on käytetty tiedottamaan kansanterveydellisistä (ei-farmaseuttisista) interventioista SARS-CoV-2: n leviämistä vastaan . Epidemiologisia toimintatapoja on arvosteltu monimutkaisuudestaan ​​ja vaativat suurta laskentatehoa yksinkertaistetuista ja epärealistisista oletuksista huolimatta. Silti ne voivat olla hyödyllisiä tiedotettaessa päätöksistä lieventämis- ja tukahduttamistoimenpiteistä tapauksissa, joissa toimintamallit on kalibroitu tarkasti.

Oletukset

Mallit ovat vain yhtä hyviä kuin oletukset, joihin ne perustuvat. Jos malli tekee ennusteita, jotka ovat ristiriidassa havaittujen tulosten kanssa ja matematiikka on oikein, alkuperäisten oletusten on muututtava, jotta malli olisi hyödyllinen.

• Suorakulmainen ja kiinteä ikäjakauma , eli kaikki väestöstä elävät L -ikään ja sitten kuolevat, ja jokaisessa iässä (enintään L ) on sama määrä ihmisiä väestössä. Tämä on usein perusteltua kehittyneissä maissa, joissa imeväiskuolleisuus on alhainen ja suuri osa väestöstä elää elinajanodotetta.
• Väestön homogeeninen sekoittuminen, eli tutkittavan populaation yksilöt valikoivat ja ottavat yhteyttä satunnaisesti eivätkä sekoitu enimmäkseen pienempään alaryhmään. Tämä olettamus on harvoin perusteltu, koska sosiaalinen rakenne on laaja. Esimerkiksi suurin osa Lontoon ihmisistä ottaa yhteyttä vain muihin londonilaisiin. Lisäksi Lontoossa on pienempiä alaryhmiä, kuten turkkilainen yhteisö tai teini -ikäiset (vain kaksi esimerkkiä), jotka sekoittuvat keskenään enemmän kuin ryhmänsä ulkopuoliset ihmiset. Homogeeninen sekoittaminen on kuitenkin vakioolettamus, jotta matematiikka olisi helposti käsiteltävissä.

Epidemiamallien tyypit

Stokastinen

"Stokastinen" tarkoittaa satunnaismuuttujaa tai sitä. Stokastinen malli on työkalu mahdollisten tulosten todennäköisyysjakauman arvioimiseksi sallimalla satunnaisen vaihtelun yhdessä tai useammassa syötteessä ajan kuluessa. Stokastiset mallit riippuvat altistumisriskin, sairauksien ja muiden sairauksien dynamiikan mahdollisista vaihteluista. Tilastollisen agenttitason taudin leviäminen pienissä tai suurissa populaatioissa voidaan määrittää stokastisilla menetelmillä.

Deterministinen

Suuria populaatioita käsiteltäessä, kuten tuberkuloosin tapauksessa, käytetään usein deterministisiä tai osastoituneita matemaattisia malleja. Deterministisessä mallissa populaation yksilöt on jaettu eri alaryhmiin tai osastoihin, joista jokainen edustaa tiettyä epidemian vaihetta.

Siirtymisnopeudet luokasta toiseen ilmaistaan ​​matemaattisesti johdannaisina, joten malli muotoillaan differentiaaliyhtälöillä. Tällaisia ​​malleja rakennettaessa on oletettava, että osaston populaation koko on erilainen ajan suhteen ja että epidemiaprosessi on deterministinen. Toisin sanoen osaston populaation muutokset voidaan laskea käyttämällä vain mallin kehittämiseen käytettyä historiaa.

Lisääntymisnumero

Perus- lisääntymiselle numero (merkitty R ₀ ) on mitta siitä, kuinka siirrettävissä sairaus on. Se on keskimääräinen ihmisten määrä, jonka yksittäinen tartunnan saava henkilö tartuttaa infektionsa aikana. Tämä määrä määrittää, leviääkö infektio eksponentiaalisesti, kuoleeko tai pysyykö vakiona: jos R ₀ > 1, niin jokainen henkilö tartuttaa keskimäärin useamman kuin yhden henkilön, joten tauti leviää; jos R ₀ <1, jokainen henkilö tartuttaa keskimäärin vähemmän kuin yhden henkilön, joten tauti kuolee pois; ja jos R ₀ = 1, jokainen henkilö tartuttaa keskimäärin täsmälleen yhden muun henkilön, joten taudista tulee endeeminen: se liikkuu koko populaatiossa, mutta ei kasva tai vähene.

Endeminen vakaa tila

Tartuntataudin sanotaan olevan endeeminen, kun sitä voidaan ylläpitää populaatiossa ilman ulkoisten panosten tarvetta. Tämä tarkoittaa sitä, että keskimäärin jokainen tartunnan saanut henkilö tartuttaa täsmälleen yhden muun henkilön (enempää ja tartunnan saaneiden määrä kasvaa eksponentiaalisesti ja epidemia tulee , vähemmän ja tauti kuolee). Matemaattisesti ajatellen se on:

${\ displaystyle \ R_ {0} S \ = 1.}$

Perus lisääntymiselle numero ( R ₀ ) taudin, olettaen jokainen on altis, kerrottuna osuus väestöstä, joka on todella altis ( S ) tulee olla yksi (koska ne, jotka eivät ole alttiita eivät esiinny meidän laskelmissa, koska ne eivät voi sairastua tautiin). Huomaa, että tämä suhde tarkoittaa sitä, että mitä suurempi sairaus on perinnöllisessä vakaassa tilassa , sitä suurempi perussuku on, sitä pienempi on alttiiden populaatioiden osuus ja päinvastoin. Tällä lausekkeella on rajoituksia alttiusosuudelle, esim. R ₀ on 0,5 merkitsee, että S: n on oltava 2, mutta tämä osuus ylittää populaation koon.

Oletetaan, että suorakulmainen kiinteä ikäjakauma ja anna myös tartunnan ikäryhmille sama jakauma kullekin syntymävuodelle. Olkoon infektion keski -ikä A , esimerkiksi silloin, kun alle A: n henkilöt ovat alttiita ja yli A: n henkilöt ovat immuuneja (tai tarttuvia). Sitten voidaan osoittaa yksinkertaisella argumentilla, että alttiiden väestöosuuksien osuus on:

${\ displaystyle S = {\ frac {A} {L}}.}$

Toistamme, että L on ikä, jolloin tässä mallissa jokaisen yksilön oletetaan kuolevan. Mutta endeemisen vakaan tilan matemaattinen määritelmä voidaan järjestää uudelleen antamaan:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {R_ {0}}}.}$

Siksi transitiivisen ominaisuuden vuoksi :

${\ displaystyle {\ frac {1} {R_ {0}}} = {\ frac {A} {L}} \ Nuoli oikealle R_ {0} = {\ frac {L} {A}}.}$

Tämä tarjoaa yksinkertaisen tavan arvioida parametri R ₀ helposti saatavilla olevan tiedon avulla.

Väestölle, jolla on eksponentiaalinen ikäjakauma ,

${\ displaystyle R_ {0} = 1+{\ frac {L} {A}}.}$

Tämä mahdollistaa taudin perus lisääntymisluvun, joka on annettu A ja L kummassakin populaatiotyypissä.

Osastomallit epidemiologiassa

Osastomallit on muotoiltu Markov -ketjuiksi . Klassinen osastomalli epidemiologiassa on SIR -malli, jota voidaan käyttää yksinkertaisena mallina epidemioiden mallintamiseen. Useita muita lokeromalleja käytetään myös.

SIR -malli

Kaavio SIR -mallista, jossa on alkuarvot ja infektio- ja toipumisprosentit${\ texttyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ texttyle \ beta = 0.4}$${\ texttyle \ gamma = 0,04}$

Animaatio SIR -mallista, jossa on alkuarvot ja palautumisnopeus . Animaatio esittää vaikutuksen pienentämällä infektion ja . Jos lääkettä tai rokotetta ei ole saatavilla, tartuntataajuutta (jota usein kutsutaan " käyrän litistämiseksi ") voidaan vähentää vain asianmukaisilla toimenpiteillä, kuten sosiaalisella etäisyydellä.${\ texttyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ texttyle \ gamma = 0,04}$${\ texttyle \ beta = 0.5}$${\ texttyle \ beta = 0,12}$

Vuonna 1927, WO Kermack ja AG McKendrick luotu malli, jossa ne pidetään kiinteän väestön vain kolme osastoa: alttiita, ; tartunnan saaneet ; ja toipunut , . Tässä mallissa käytetyt lokerot koostuvat kolmesta luokasta: ${\ displaystyle S (t)}$${\ displaystyle I (t)}$${\ displaystyle R (t)}$

• ${\ displaystyle S (t)}$ käytetään edustamaan yksilöitä, jotka eivät ole vielä saaneet tautia aikaan t, tai niitä, jotka ovat alttiita väestön taudille.
• ${\ displaystyle I (t)}$ tarkoittaa väestön yksilöitä, jotka ovat saaneet tartunnan ja kykenevät levittämään taudin alttiiden luokkaan kuuluville.
• ${\ displaystyle R (t)}$on osasto, jota käytetään väestön yksilöihin, jotka ovat saaneet tartunnan ja poistuneet sitten taudista joko immunisaation tai kuoleman vuoksi. Tähän luokkaan kuuluvat eivät voi saada tartuntaa uudelleen tai välittää tartuntaa muille.

Muut lokeromallit

SIR -malliin on tehty monia muutoksia, mukaan lukien muutokset, jotka sisältävät syntymiä ja kuolemia, kun toipuminen ei ole immuniteettia (SIS -malli), kun koskemattomuus kestää vain lyhyen ajan (SIRS), jos on piilevä aika sairaus, jossa henkilö ei ole tarttuva ( SEIS ja SEIR ) ja jossa imeväiset voivat syntyä immuniteetilla (MSIR). Epidemiarajan arvioimiseksi SIS -mallissa verkoissa, katso Parshani et ai.

Tartuntataudin dynamiikka

Matemaattisten mallien on sisällytettävä isäntä - patogeeni -vuorovaikutuksesta tuotettavan kasvavan määrän dataa . Monet teoreettiset tutkimukset populaatiodynamiikasta , rakennetta ja kehitystä tartuntataudit sekä kasvien ja eläinten, ihminen mukaan lukien, ovat huolissaan tästä ongelmasta. Valdez ym. Ovat hiljattain kehittäneet mallin maailmanlaajuisen leviämisen todennäköisyyden arvioimiseksi ja pandemian julistamiseksi. Tutkimusaiheita ovat:

• Pandeeminen
• tartunnan tarttuminen , leviäminen ja hallinta
• epidemiologiset verkostot
• alueellinen epidemiologia
• patogeenien pysyvyys isäntien sisällä
• isännän sisäinen dynamiikka
• immuno -epidemiology
• virulenssi
• Kannan (biologian) rakenne ja vuorovaikutukset
• antigeeninen muutos
• filodynamiikka
• taudinaiheuttajapopulaation genetiikka
• vastarinnan kehittyminen ja leviäminen
• isännän geneettisten tekijöiden rooli
• tilastollisia ja matemaattisia työkaluja ja innovaatioita
• infektiosäiliöiden rooli ja tunnistaminen

Massarokotusten matematiikka

Jos väestön osuus immuunista ylittää taudin immuniteetin , tauti ei voi enää jatkua populaatiossa. Jos tämä taso voidaan ylittää rokotuksella, tauti voidaan eliminoida. Esimerkki siitä, että tämä on onnistuneesti saavutettu maailmanlaajuisesti, on maailmanlaajuinen isorokon hävittäminen , ja viimeinen villi tapaus tapahtui vuonna 1977. WHO toteuttaa vastaavaa rokotuskampanjaa polion hävittämiseksi .

Lauman immuniteettitaso merkitään q: ksi . Muista, että vakaan tilan saavuttamiseksi:

${\ displaystyle R_ {0} \ cdot S = 1.}$

Vuorostaan

${\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {N} {S}} = {\ frac {\ mu N \ operaattorinimi {E} (T_ {L})} {\ mu N \ operaattorinimi {E} [\ min (T_ {L}, T_ {S})]}} = {\ frac {\ operaattorinimi {E} (T_ {L})} {\ toiminimi {E} [\ min (T_ {L}, T_ {S}) )]}},}$

joka on suunnilleen:

${\ displaystyle {\ frac {\ operaattorinimi {\ operaattorinimi {E}} (T_ {L})} {\ operaattorinimi {\ operaattorinimi {E}} (T_ {S})}} = 1+{\ frac {\ lambda } {\ mu}} = {\ frac {\ beta N} {v}}.}$

Kaavio karjan immuniteetin kynnyksestä vs. lisääntymisen perusluku valittujen sairauksien kanssa

S on (1 -  q ), koska q on immuunipopulaation osuus ja q  +  S: n on oltava yhtä (koska tässä yksinkertaistetussa mallissa kaikki ovat joko alttiita tai immuuneja). Sitten:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & R_ {0} \ cdot (1-q) = 1, \\ [6pt] & 1-q = {\ frac {1} {R_ {0}}}, \\ [6pt ] & q = 1-{\ frac {1} {R_ {0}}}. \ end {aligned}}}$

Muista, että tämä on kynnystaso. Jos immuunijärjestelmän omaavien henkilöiden osuus ylittää tämän tason massarokotusohjelman vuoksi, tauti kuolee.

Olemme juuri laskeneet kriittisen rokotuskynnyksen (merkitty q _c ). Se on vähimmäisosuus väestöstä, joka on rokotettava syntyessään (tai lähellä syntymää), jotta infektio kuolee väestöstä.

${\ displaystyle q_ {c} = 1-{\ frac {1} {R_ {0}}}.}$

Koska osa populaation lopullisesta koosta p, joka ei ole koskaan saanut tartunnan, voidaan määritellä seuraavasti:

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} S (t) = e^{-\ int _ {0}^{\ infty} \ lambda (t) \, dt} = 1-s.}$

Siten,

${\ displaystyle p = 1-e^{-\ int _ {0}^{\ infty} \ beta I (t) \, dt} = 1-e^{-R_ {0} p}.}$

Ratkaisemalla saamme: ${\ displaystyle R_ {0}}$

${\ displaystyle R_ {0} = {\ frac {-\ ln (1-p)} {p}}.}$

Kun massarokotus ei voi ylittää karjan immuniteettia

Jos käytetty rokote ei ole riittävän tehokas tai vaadittua kattavuutta ei saavuteta (esimerkiksi yleisen vastustuskyvyn vuoksi ), ohjelma ei ehkä ylitä q _{c: tä} . Tällainen ohjelma voi kuitenkin häiritä infektion tasapainoa poistamatta sitä, aiheuttaen usein odottamattomia ongelmia.

Oletetaan, että osa väestöstä q (jossa q < q _c ) immunisoidaan syntymän tartuntaa vastaan R- ₀  > 1. rokotus ohjelman muutokset R ₀ ja R _q , jossa

${\ displaystyle R_ {q} = R_ {0} (1-q)}$

Tämä muutos johtuu yksinkertaisesti siitä, että väestössä on nyt vähemmän alttiita tartunnan saaneille. R _q on yksinkertaisesti R ₀ miinus ne, jotka normaalisti saisivat tartunnan, mutta jotka eivät voi olla nyt, koska he ovat immuuneja.

Tämän alhaisemman perisukuisen lisääntymisluvun seurauksena myös infektion A keski -ikä muuttuu johonkin uuteen arvoon A _q rokottamattomille.

Muista R _{0: n} , A: n ja L: n yhdistävä suhde . Olettaen, että elinajanodote ei ole muuttunut, nyt:

${\ displaystyle R_ {q} = {\ frac {L} {A_ {q}}},}$

${\ displaystyle A_ {q} = {\ frac {L} {R_ {q}}} = {\ frac {L} {R_ {0} (1-q)}}.}}$

Mutta R ₀ = L / A, joten:

${\ displaystyle A_ {q} = {\ frac {L} {(L/A) (1-q)}} = {\ frac {AL} {L (1-q)}} = {\ frac {A} {1-q}}.}$

Siten rokotusohjelma nostaa tartunnan keski -ikää, mikä on toinen matemaattinen perustelu tulokselle, joka saattoi olla intuitiivisesti ilmeinen. Rokottamattomat henkilöt kärsivät nyt vähentyneestä infektiovoimasta rokotetun ryhmän läsnäolon vuoksi.

Tämä vaikutus on kuitenkin otettava huomioon rokotettaessa vanhusten vakavampia sairauksia vastaan. Rokotusohjelma tällaista tautia vastaan, joka ei ylitä q _c, voi aiheuttaa enemmän kuolemia ja komplikaatioita kuin ennen ohjelman voimaantuloa, koska yksilöt tarttuvat tautiin myöhemmin elämässään. Näitä rokotusohjelman odottamattomia tuloksia kutsutaan perversioiksi .

Kun massarokotus ylittää karjan immuniteetin

Jos rokotusohjelma saa immuunijärjestelmän omaavien henkilöiden osuuden väestöstä ylittämään kriittisen kynnyksen merkittäväksi ajaksi, tartuntataudin leviäminen kyseisessä populaatiossa pysähtyy. Tätä kutsutaan infektion poistamiseksi ja se eroaa hävittämisestä .

Eliminaatio

Tartuntataudin endeemisen leviämisen keskeytyminen, joka tapahtuu, jos jokainen tartunnan saanut tartuttaa vähemmän kuin toinen, saavutetaan säilyttämällä rokotuskattavuus, jotta immuunipotilaiden osuus pysyy kriittisen rokotuskynnyksen yläpuolella.

Hävittäminen

Tarttuvien organismien vähentäminen luonnossa maailmanlaajuisesti nollaan. Toistaiseksi tämä on saavutettu vain isorokko- ja karjaeläinten osalta . Hävittäminen edellyttää hävittämistä kaikilla maailman alueilla.

Luotettavuus

Mallien etuna on tutkia useita tuloksia samanaikaisesti sen sijaan, että he tekisivät yhden ennusteen. Mallit ovat osoittaneet laajan luotettavuuden aiemmissa pandemioissa, kuten SARS , sikainfluenssa , MERS ja ebola .

Katso myös

Viitteet

Lue lisää

Ulkoiset linkit

Ohjelmisto

• Model-Builder : Interaktiivinen (GUI-pohjainen) ohjelmisto ODE-mallien rakentamiseen, simulointiin ja analysointiin.
• GLEaMviz Simulator : Mahdollistaa simuloinnin uusista tartuntataudeista, jotka leviävät ympäri maailmaa.
• STEM : Epidemiologisen mallinnuksen avoimen lähdekoodin kehys, joka on saatavana Eclipse -säätiön kautta.
• R- paketin valvonta : Temporal- ja Spatio-Temporal -mallinnus ja epidemian ilmiöiden seuranta