Matematiikan kieli - Language of mathematics

Matematiikan kieltä on järjestelmä, jota matemaatikot kommunikoida matemaattisia ideoita keskenään, ja eroaa luonnollisella kielellä, että se pyrkii kommunikoida abstrakti, looginen ideoita tarkasti ja yksiselitteisyys.

Tämä kieli koostuu jonkin luonnollisen kielen substraatista (esim. Englanti ) käyttäen matemaattiselle keskustelulle ominaisia teknisiä termejä ja kieliopillisia käytäntöjä (ks. Matemaattinen ammattikieli ). Sitä täydentää myös erikoistunut symbolinen merkintä matemaattisille kaavoille .

Luonnollisten kielten tapaan matematiikan kieltä käyttävä keskustelu voi käyttää rekisterien skaalaa . Tutkimusartikkeleita vuonna tieteellisissä julkaisuissa ovat lähteitä yksityiskohtaisia teoreettisia keskusteluja ajatuksia matematiikan ja sen vaikutuksia yhteiskuntaan.

Mikä on kieli?

Tässä on joitain kielen määritelmiä :

Järjestelmällinen viestintätapa käyttämällä ääniä tai tavanomaisia symboleja
Sanasto, jota käytetään tietyllä tieteenalalla
Järjestelmä abstrakteja koodeja, jotka edustavat tapahtumia ja käsitteitä
Koodi, jota me kaikki käytämme ilmaisemaan itseämme ja kommunikoimaan muiden kanssa - Puhe- ja kieliterapian sanasto
Joukko (äärellinen tai ääretön) lauseita, joista jokainen on äärellinen ja rakennettu rajallisesta elementtien joukosta - Noam Chomsky .

Nämä määritelmät kuvaavat kieltä seuraavien osien perusteella:

Sanasto symbolien tai sanojen
Kieliopin , joka koostuu säännöistä kuinka nämä tunnukset voidaan käyttää
"Syntaksi" tai ehdotusrakenne, joka sijoittaa symbolit lineaarisiin rakenteisiin.
"Keskustelu" tai "kertomus", joka koostuu syntaktisten ehdotusten merkkijonoista
Yhteisö ihmisiä, jotka käyttävät ja ymmärtävät nämä symbolit
Erilaisia merkityksiä, jotka voidaan kommunikoida näiden symbolien kanssa

Jokainen näistä komponenteista löytyy myös matematiikan kielestä.

Matematiikan sanasto

Matemaattinen merkintätapa on yhdistänyt symboleja monista eri aakkosista (esim. Kreikka , heprea , latina ) ja kirjasintyypeistä (esim. Kursiivinen , kalligrafinen, liitutaulu lihavoitu ). Se sisältää myös matematiikalle ominaisia symboleja, kuten

{\ displaystyle \ forall \ \ olemassa \ \ vee \ \ wedge \ \ infty.}

Matemaattinen merkintätapa on keskeinen osa modernin matematiikan voimaa. Vaikka algebran ja Al-Khwarizmi ei käytä tällaisia symboleja, se ratkaisee yhtälöitä käyttäen paljon enemmän sääntöjä kuin käytetään tänään symbolinen notaatio, ja oli suuria vaikeuksia käytössä on useita muuttujia (joka symbolisten merkintä voidaan yksinkertaisesti merkitään , jne.) . ${\ displaystyle x, y, z}$

Joskus kaavoja ei voida ymmärtää ilman kirjallista tai suullista selitystä, mutta usein ne riittävät itsessään. Muissa tapauksissa niitä voi olla vaikea lukea ääneen tai tiedot menetetään käännettäessä sanoja, kuten silloin, kun kyse on useista sulkeutuvista tekijöistä tai kun monimutkaista rakennetta, kuten matriisia, käsitellään.

Kuten kaikilla muillakin tieteenaloilla, matematiikalla on myös oma tekninen terminologiansa . Joissakin tapauksissa yleisesti käytetyllä sanalla voi olla erilainen ja erityinen merkitys matematiikassa (kuten tapaukset " ryhmä" , " rengas ", " kenttä ", " luokka ", " termi " ja " tekijä "). Lisää esimerkkejä on kohdassa Luokka: Matemaattinen terminologia .

Muissa tapauksissa erikoistermit, kuten " tensori ", " fraktaali " ja " functor ", on luotu yksinomaan matematiikan käyttöön. Matemaattisilla lausunnoilla on oma kohtalaisen monimutkainen taksonomiansa, ja ne on jaettu aksioomiin , olettamuksiin , ehdotuksiin , teoreemiin , lauseisiin ja seurauksiin . Ja matematiikassa on osakelauseita, joita käytetään erityisillä merkityksillä, kuten " jos ja vain jos ", " tarpeellinen ja riittävä " ja " menettämättä yleisyyttä ". Tällaisia lauseita kutsutaan matemaattiseksi ammattikieleksi .

Matematiikan sanastossa on myös visuaalisia elementtejä. Kaavioita käytetään epävirallisesti taulukoilla sekä virallisemmin julkaistuissa töissä. Oikein käytettynä kaaviot näyttävät kaaviotiedot helpommin. Kaaviot voivat myös auttaa visuaalisesti ja helpottaa intuitiivisia laskelmia. Joskus, kuten visuaalisessa todistuksessa , kaavio voi jopa toimia täydellisenä perusteluna ehdotukselle. Kaaviokäytäntöjen järjestelmä voi kehittyä matemaattiseksi merkintäksi, kuten esimerkiksi Penrose -graafisen merkintätapa tensorituotteille.

Matematiikan kielioppi

Kaavoilla käytettävällä matemaattisella merkinnällä on oma kieliopinsa , joka ei ole riippuvainen tietystä luonnollisesta kielestä, mutta joka on kansainvälisesti yhteinen matemaatikoille äidinkielestään riippumatta. Tämä sisältää käytännöt, joiden mukaan kaavat kirjoitetaan pääasiassa vasemmalta oikealle , vaikka substraattikielen kirjoitusjärjestelmä on oikealta vasemmalle, ja että latinalaisia aakkosia käytetään yleisesti yksinkertaisiin muuttujiin ja parametreihin . Kaava kuten

{\ displaystyle \ sin x+a \ cos 2x \ geq 0}

ymmärtää sekä kiinalaiset että syyrialaiset matemaatikot.

Tällaiset matemaattiset kaavat voivat olla osa puhetta luonnollisella kielellä, tai jopa ottaa täysimittaisen lauseen roolin. Esimerkiksi, kaavan mainittiin, inequation , voidaan pitää lauseen tai riippumattoman lauseke, jossa on suurempi kuin tai yhtä kuin symbolilla on rooli symbolinen verbi . Huolellisessa puheessa tämä voidaan tehdä selväksi lausumalla "≥", koska "on suurempi tai yhtä suuri", mutta epävirallisessa yhteydessä matemaatikot voivat lyhentää tämän "suureksi tai yhtä suureksi" ja käsitellä tätä kuitenkin kieliopillisesti kuin verbi. Hyvä esimerkki on kirjan nimi Miksi E = mc ² ? ; tässä yhtäläisyysmerkillä on infinitiivi .

Matemaattisia kaavoja voidaan äänestää (eli puhua ääneen). Kaavojen vokalisointijärjestelmä on opittava, ja se riippuu taustalla olevasta luonnollisesta kielestä. Esimerkiksi englantia käytettäessä ilmaus " ƒ ( x )" lausutaan tavanomaisesti "eff of eks", jossa prepositiota "of" ei lisätä merkintä sinänsä. Ilmaisu " ", toisaalta, on yleisesti vocalized kuten "Dee-miksi-Dee-EKS", täysin laiminlyönnistä murto baarissa , joka muissa yhteyksissä usein lausutaan "yli". Kirjan nimi Miksi E = mc ² ? sanotaan ääneen kuten Miksi ee equ em em see-square? . ${\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}$

Matemaattiselle diskurssille - sekä muodolliselle että epäviralliselle - on ominaista ensimmäisen persoonan monikon "me" käyttö: "yleisö (tai lukija) yhdessä puhujan (tai kirjoittajan) kanssa".

Typografiset sopimukset

Kuten puhutun matemaattisen kielen tapauksessa, kirjallisessa tai painetussa matemaattisessa keskustelussa matemaattisia ilmaisuja, jotka sisältävät symbolista verbiä, käsitellään yleensä lauseina (riippuvaisena tai itsenäisenä) lauseina tai kokonaisina lauseina, ja matemaatikot ja teoreettiset fyysikot. Tämä pätee erityisesti sekä sisäisiin että näytettyihin lausekkeisiin. Sitä vastoin muiden luonnontieteiden tieteenalojen kirjoittajat voivat yrittää välttää yhtälöiden käyttämistä lauseissa ja käsitellä näytettyjä ilmaisuja samalla tavalla kuin lukuja tai kaavioita. ${\ displaystyle =, \ \ in, \ \ olemassa}$

Esimerkiksi matemaatikko voi kirjoittaa:

Jos ja ovat yhtenevät sekvenssit todellinen määrä, ja , sitten , määritellään kaikki positiiviset kokonaisluvut jonka on yhtenevä, ja

{\ displaystyle (a_ {n})}

{\ displaystyle (b_ {n})}

{\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = A}

{\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = B}

{\ displaystyle (c_ {n})}

{\ displaystyle n}

{\ displaystyle c_ {n} = a_ {n}+b_ {n}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = A+B}

.

Tässä lausunnossa, " " (jossa on lukea "ay en" tai ehkä enemmän muodollisesti, kuten "sekvenssi ay en") ja " " käsitellään substantiiveja, kun taas " " (lue: raja kuin n taipumus äärettömyyteen on yhtä suuri kuin "suuri A"), " " ja " " luetaan itsenäisiksi lauseiksi ja " " on "yhtälö on plus ". ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle (b_ {n})}$ ${\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = A}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n} = B}$ ${\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = A+B}$ ${\ displaystyle c_ {n} = a_ {n}+b_ {n}}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle b_ {n}}$

Lisäksi lause päättyy näytetyn yhtälön jälkeen, kuten " " jälkeen oleva jakso osoittaa . Mitä tuttua editoria, yleisesti ottaen standardi matemaattisia toimintoja, kuten $sin$ ja toimintoja, kuten $+$ , sekä välimerkit mukaan lukien erilaiset kiinnikkeet , asetetaan antiikvakirjaimin , kun Latinalaisaakkosto muuttujat asetetaan kursiivilla . Toisaalta matriisit, vektorit ja muut komponentteista koostuvat objektit asetetaan toisinaan $lihavoituna latinaksi$ (enimmäkseen alkutekstissä) ja joskus kursiivilla (enimmäkseen kehittyneissä teksteissä). ${\ texttyle \ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = A+B}$

(On jonkin verran erimielisyyttä siitä, onko vakiovakiot, kuten $e$ , π ja i = (–1) ^1/2 , vai "d" $dy / dx: ssä,$ oltava kursivoitu. Isot kreikkalaiset kirjaimet asetetaan lähes aina roomalainen, kun taas pienet kirjaimet on usein kursivoitu.)

Aakkoston osassa, josta muuttujien nimet valitaan, on myös useita yleissopimuksia tai tarkemmin sanottuna perinteitä. Esimerkiksi $i$ , $j$ , $k$ , $l$ , $m$ , $n$ on yleensä varattu kokonaisluvuille, $w$ ja $z$ käytetään usein kompleksiluvuille, kun taas $a$ , $b$ , $c$ , α, β, γ käytetään reaaliluvuille. Kirjaimia $x$ , $y$ , $z$ käytetään usein tuntemattomien löytymiseen tai funktion argumentteihin, kun taas $a$ , $b$ , $c$ käytetään kertoimiin ja $f$ , $g$ , $h$ käytetään useimmiten funktioiden niminä. Nämä yleissopimukset eivät ole kovia sääntöjä, vaan ne ovat ehdotuksia, jotka on täytettävä luettavuuden parantamiseksi ja intuition antamiseksi tietyn objektin luonteesta, jotta ei tarvitse muistaa eikä tarkistaa matemaattisen objektin käyttöönottoa.

Määritelmät ilmaistaan sanoilla, kuten "me kutsumme", "me sanomme" tai "me tarkoitamme", tai lausunnoilla, kuten "An [ objekti ] on [ määritettävä sana ], jos [ ehto ]" (esim. "Joukko on suljettu" jos se sisältää kaikki rajapisteet. "). Erityisenä yleissopimuksena sana "jos" tulisi tällaisessa määritelmässä tulkita " jos ja vain jos ".

Lauseilla on yleensä otsikko tai etiketti lihavoituna, ja ne voivat jopa tunnistaa sen alkuperäisen (esim. " $Lause 1.4 (Weyl).$ "). Tätä seuraa välittömästi lause, joka puolestaan asetetaan yleensä kursiivilla. Lauseen todiste on yleensä selvästi rajattu, alkaen sanasta Proof , kun taas todistuksen loppu osoitetaan hautakivellä ("∎ tai □") tai muulla symbolilla tai kirjaimilla QED .

Matematiikan kieliyhteisö

Matematiikkaa käyttävät matemaatikot , jotka muodostavat maailmanlaajuisen yhteisön, joka koostuu monien kielten puhujista. Sitä käyttävät myös matematiikan opiskelijat. Koska matematiikka on osa peruskoulutusta lähes kaikissa maissa, lähes kaikki koulutetut ihmiset altistuvat puhtaalle matematiikalle. Nykyaikaisessa matematiikassa on hyvin vähän kulttuuririippuvuuksia tai esteitä. On kansainvälisiä matematiikkakilpailuja, kuten kansainvälinen matematiikkaolympialainen , ja kansainvälinen yhteistyö ammattimaisten matemaatikkojen välillä on arkipäivää.

Tiivis ilme

Matematiikan voima on ideoiden ilmaisutaloudessa, usein tieteen palveluksessa. Horatio Burt Williams pani merkille tämän kompaktin muodon vaikutuksen fysiikassa:

Fysiikan oppikirjat seitsemänkymmentäviisi vuotta sitten olivat paljon suurempia kuin nykyään. Tämä huolimatta valtavista lisäyksistä, jotka on tehty tietoomme aiheesta. Mutta nämä vanhemmat kirjat olivat laajoja, koska he kuvailivat ilmiöitä, jotka tunnemme nyt matemaatikon kutsumalla erityistapauksiksi, jotka ymmärretään laajojen yleisten periaatteiden mukaisesti.

Matematiikassa sinänsä lyhyys on syvällinen:

Kirjoittaessaan papereita, joita luultavasti lukevat vain ammattimaiset matemaatikot, kirjoittajat jättävät harvoin väliin niin monta välivaihetta tiivistääkseen paperinsa, että aukkojen täyttäminen jopa paperin ja lyijykynän ahkeralla käytöllä ei voi olla mitätöntä työtä, etenkään yksi lähestyy aihetta ensimmäistä kertaa.

Williams mainitsee Ampèren tiedemiehenä, joka tiivisti havaintonsa matematiikalla:

Tasaista ja ytimekästä esitystä ei välttämättä kuvitella siinä valmiissa muodossa ... Tuskin voimme uskoa, että Ampère löysi toiminnan lain kuvaamansa kokeilun avulla. Hän saa meidät epäilemään, mitä hän itse sanoo, että hän löysi lain jollakin menetelmällä, jota hän ei ole osoittanut meille, ja että kun hän oli myöhemmin rakentanut täydellisen mielenosoituksen, hän poisti kaikki jäljet telineistä, joilla hän nosti sen.

Matematiikan merkitys on mielen loogisissa prosesseissa, jotka on kodifioitu matematiikalla:

Nyt matematiikka on sekä totuuden että erikoiskielen kieli, joka on tarkemmin määritelty ja paljon abstrahoitumpi kieli kuin tavallinen ajattelumme ja ilmaisumme. Se eroaa myös tavallisista kielistä tässä tärkeässä asiassa: siihen sovelletaan manipulointisääntöjä. Kun lause on valettu matemaattiseen muotoon, sitä voidaan käsitellä näiden sääntöjen mukaisesti, ja jokainen symbolien kokoonpano edustaa tosiasioita, jotka ovat sopusoinnussa alkuperäisen lausunnon kanssa ja riippuvaisia niistä. Nyt tämä on hyvin lähellä sitä, mitä kuvittelemme aivojen rakenteiden toimivan älyllisten tekojen suorittamisessa tavallisen kielen symboleilla. Matemaatikko on siis jossain mielessä pystynyt parantamaan laitetta, jonka kautta osa loogisen ajattelun työstä tapahtuu keskushermoston ulkopuolella , vain sillä valvonnalla, joka on tarpeen symbolien manipuloimiseksi sääntöjen mukaisesti.

Williamsin essee oli Gibbs -luento, joka valmistettiin tiedemiehille yleensä, ja hän oli erityisen huolissaan siitä, ettei biologisia tutkijoita jätetä jälkeen:

Ei vain kemian ja fyysikon, vaan myös biologin, on kyettävä lukemaan matemaattisia papereita, jos häntä ei haluta sulkea pois mahdollisuudesta ymmärtää tärkeitä kommunikaatioita omalla tieteenalallaan. Ja tilanne on täällä huonompi kuin silloin, kun vieraan kielen lukeminen ei ole mahdollista. Jos vieraskielinen paperi voidaan kääntää, mutta monissa tapauksissa on mahdotonta ilmaista tavallisilla kielisymboleilla matemaattisen paperin sisältöä siten, että se välittää tietoa loogisesta prosessista, jolla johtopäätökset on tehty .

Matematiikan merkitykset

Matematiikkaa käytetään tiedon välittämiseen monista eri aiheista. Tässä on kolme laajaa luokkaa:

Matematiikka kuvaa todellista maailmaa : monet matematiikan alat ovat saaneet alkunsa kuvata ja ratkaista todellisia ilmiöitä - maatilojen mittaamisesta ( geometria ) omenoiden laskemiseen ( hammaskivi ) uhkapeliin ( todennäköisyys ). Matematiikkaa käytetään laajalti nykyaikaisessa fysiikassa ja tekniikassa , ja se on ollut erittäin onnistunut auttamaan meitä ymmärtämään paremmin ympärillämme olevaa maailmankaikkeutta sen suurimmista mittakaavoista ( fyysinen kosmologia ) pienimpiin ( kvanttimekaniikka ). Itse asiassa matematiikan menestys tässä suhteessa on ollut joillekin filosofeille hämmennyksen lähde (katso Eugene Wignerin julkaisema Matematiikan kohtuuton tehokkuus luonnontieteissä ).
Matematiikka kuvaa abstrakteja rakenteita : toisaalta on puhtaan matematiikan aloja, jotka käsittelevät abstrakteja rakenteita , joilla ei ole lainkaan tunnettuja fyysisiä vastineita. Tässä on kuitenkin vaikea antaa kategorisia esimerkkejä, koska jopa kaikkein abstrakteimmat rakenteet voidaan valita malleiksi jollakin fysiikan alalla (katso Calabi-Yau-tilat ja merkkijonoteoria ).
Matematiikka kuvaa matematiikkaa : matematiikkaa voidaan käyttää refleksiivisesti kuvaamaan itseään - tämä on matematiikan alue, jota kutsutaan metamatematiksi .

Matematiikka voi välittää erilaisia merkityksiä, jotka ovat yhtä laajoja kuin (vaikkakin erilaiset) kuin luonnollisella kielellä. Kuten englantilainen matemaatikko RLE Schwarzenberger sanoo:

Oma asenteeni, jonka jaan monien kollegoideni kanssa, on yksinkertaisesti se, että matematiikka on kieli. Kuten englanti, latina tai kiina, on olemassa tiettyjä käsitteitä, joihin matematiikka sopii erityisen hyvin: olisi yhtä typerää yrittää kirjoittaa rakkausrunoa matematiikan kielellä kuin todistaa algebran peruslause englannin kielellä .

Vaihtoehtoisia näkemyksiä

Jotkut kielen määritelmät, kuten Charles Hockettin "suunnitteluominaisuuksien" määritelmän varhaiset versiot , korostavat kielen puhuttua luonnetta. Näiden määritelmien mukaan matematiikkaa ei voida pitää kielenä, koska se on ensisijaisesti kirjallinen viestintämuoto (nähdäksesi miksi yritä lukea Maxwellin yhtälöt ääneen). Nämä määritelmät kuitenkin hylkäisivät myös viittomakielet , jotka nyt tunnustetaan itsenäisiksi kieliksi puhumattomasta kielestä riippumatta.

Muut kielitieteilijät uskovat, että matematiikan ja kielen välillä ei voida tehdä pätevää vertailua, koska ne ovat yksinkertaisesti liian erilaisia:

Matematiikka näyttäisi olevan enemmän ja vähemmän kuin kieli, sillä vaikka kielitaito on rajallinen, se näyttää sisältävän myös ajattelun, jolla on jotain yhteistä taiteen ja musiikin kanssa. - Ford & Peat (1988)

Katso myös

Viitteet

Bibliografia

Knight, Isabel F. (1968). Geometrinen henki: Abbe de Condillac ja Ranskan valaistuminen . New Haven: Yale University Press.
RLE Schwarzenberger (2000), Geometrian kieli , julkaistu julkaisussa A Mathematical Spectrum Miscellany , Applied Probability Trust.
Alan Ford & F. David Peat (1988), Kielen rooli tieteessä , Fysiikan perusteet, osa 18.
Kay O'Halloran (2004) Matemaattinen keskustelu: Kieli, symboliikka ja visuaaliset kuvat , Continuum ISBN 0826468578
Charles Wells (2017) Mathematics Languages from abstractmath.org

Ulkoiset linkit

Mikä on Kieli
Matematiikka ja luonnon kieli - F. David Peatin essee.
Matemaattiset sanat: alkuperä ja lähteet (John Aldrich, Southamptonin yliopisto)
Viestintä matematiikan kielellä, tohtori David Moursund
Charles Wellsin matemaattisen keskustelun käsikirja .
Yksi matemaattinen kissa, kiitos! Matematiikan kielen tutkiminen , tohtori Carol JVF Burns

Languages

In other projects