5 -polytope - 5-polytope
 5-simplex (hexateron) |
 5- ortopleksi , 2 11 (Pentacross) |
 5-kuutio (Penteract) |
 Laajennettu 5-simplex |
 Oikaistu 5-ortopleksi |
 5-demicube . 1 21 (Demipenteract) |
Viiden-ulotteinen geometria , joka on viisi-ulotteinen polytooppia tai 5-polytooppia on 5-ulotteinen polytooppia , jota rajoittavat (4-polytooppia) puolia. Jokaisella polyedrisella solulla on täsmälleen kaksi 4-polytoopin puolta.
Määritelmä
5-polytooppi on suljettu viisidimensioinen hahmo, jossa on kärkiä , reunoja , kasvoja ja soluja sekä 4-sivuja . Piste on piste, jossa viisi tai useampi reuna kohtaavat. Reuna on viivaosa, jossa kohtaavat neljä tai useampia kasvoja, ja pinta on monikulmio, jossa kolme tai useampia soluja kohtaavat. Solu on monisilmäinen ja 4-pintainen on 4-polytooppi . Lisäksi seuraavat vaatimukset on täytettävä:
- Jokaisen solun on liityttävä täsmälleen kahteen nelipintaan.
- Vierekkäiset 4-kasvot eivät ole samassa neljäulotteisessa hypertasossa .
- Luku ei ole yhdistelmä muista vaatimusten mukaisista luvuista.
Ominaisuudet
Minkä tahansa 5-polytoopin topologia määritellään sen Betti-numeroiden ja vääntökertoimien avulla .
Polyhedran karakterisoinnissa käytetty Euler -ominaisuuden arvo ei yleisty hyödyllisesti korkeampiin ulottuvuuksiin riippumatta niiden taustasta. Tämä Euler -ominaisuuden riittämättömyys erottaa luotettavasti eri topologiat korkeammissa ulottuvuuksissa johti kehittyneempien Betti -numeroiden löytämiseen.
Samoin polyhedronin suunnattavuuden käsite ei riitä luonnehtimaan toroidisten polytoopien pintavääristymiä, ja tämä johti vääntökertoimien käyttöön.
Luokitus
5-polytoopit voidaan luokitella ominaisuuksien, kuten " kupera " ja " symmetria ", perusteella.
- 5-polytooppi on kupera, jos sen raja (mukaan lukien sen solut, pinnat ja reunat) ei leikkaa itseään ja 5-polytoopin mitä tahansa kahta pistettä yhdistävä viivaosa on 5-polytoopissa tai sen sisällä; muuten se ei ole kupera . Itseleikkaavat 5-polytoopit tunnetaan myös tähtipolytopeina , analogisesti ei-kuperan Kepler-Poinsot-polyhedran tähtimaisten muotojen kanssa .
- Yhtenäinen 5-polytooppia on symmetria ryhmä , jonka mukaan kaikki pisteet ovat yhtä, ja sen puolia ovat yhdenmukaiset 4-polytooppeina . Yhtenäisen polytoopin pintojen on oltava säännöllisiä .
- Semi-säännöllinen 5-polytooppia sisältää kahta tai useampaa säännöllisen 4-polytooppia puolia. On vain yksi tällainen hahmo, nimeltään demipenteract .
- Säännöllinen 5-polytooppia on kaikki samat säännöllinen 4-polytooppia puolia. Kaikki tavalliset 5-polytopit ovat kuperat.
- Prismamainen 5-polytooppia on konstruoitu karteesinen tulo kahden alemman ulottuvuuden polytooppeina. Prismaattinen 5-polytooppi on yhtenäinen, jos sen tekijät ovat yhdenmukaiset. Hyperkuutiossa on prismaattisten (tuote on neliö ja kuutio ), mutta sitä pidetään erikseen, koska sillä symmetrioiden muita kuin periytyy sen tekijöistä.
- 4-tila tessellation on jako neliulotteisessa Euclidean tilan säännöllistä verkkoon polychoral puolia. Tarkkaan ottaen tessellaatiot eivät ole polytopeja, koska ne eivät sido "5D" -tilaa, mutta sisällytämme ne tähän täydellisyyden vuoksi, koska ne ovat monin tavoin samanlaisia kuin polytopit. Yhdenmukainen 4-tila tessellation on yksi kärjet liittyvät jonka tila ryhmä ja jonka puolia ovat yhdenmukaiset 4-polytooppeina.
Säännölliset 5-polytopit
Säännölliset 5-polytopit voidaan esittää Schläflin symbolilla {p, q, r, s}, ja jokaisen kasvon ympärillä on s {p, q, r} monikokoisia puolia .
Tällaisia kuperaa tavallista 5-polytoppia on täsmälleen kolme :
- {3,3,3,3} - 5 yksinkertaista
- {4,3,3,3} - 5 -kuutio
- {3,3,3,4} - 5 -ortopleksi
Kolmen kuperaa tavallista 5-polytooppia ja kolme puolipyöreää 5-polytooppia varten niiden elementit ovat:
| Nimi |
Schläfli -symboli (t) |
Coxeter -kaavio (t) |
Kärkipisteet | Reunat | Kasvot | Solut | 4-kasvot | Symmetria ( tilaus ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5-yksipuolinen | {3,3,3,3} |    |
6 | 15 | 20 | 15 | 6 | A 5 , (120) |
| 5-kuutio | {4,3,3,3} |  |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | EKr. 5 (3820) |
| 5-ortopleksi | {3,3,3,4} {3,3,3 1,1 } |
 
|
10 | 40 | 80 | 80 | 32 |
BC 5 , (3840) 2 × D 5 |
Yhtenäiset 5-polytopit
Kolmen puolipyöreän 5-polytoopin elementit ovat:
| Nimi |
Schläfli -symboli (t) |
Coxeter -kaavio (t) |
Kärkipisteet | Reunat | Kasvot | Solut | 4-kasvot | Symmetria ( tilaus ) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Laajennettu 5-simplex | t 0,4 {3,3,3,3} | |
30 | 120 | 210 | 180 | 162 | 2 × A 5 , (240) |
| 5-demicube | {3,3 2,1 } t {4,3,3,3} |
  
|
16 | 80 | 160 | 120 | 26 | D 5 , (1920) ½BC 5 |
| Oikaistu 5-ortopleksi | t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 } |
|
40 | 240 | 400 | 240 | 42 | BC 5 , (3840) 2 × D 5 |
Laajennettu 5-simplex on kärkipiste luku yhtenäisen 5-simplex hunajakenno ,
. 5-demicube hunajakenno ,, kärkikuvio on oikaistu 5-ortoxoplex ja sivut ovat 5-ortopleksi ja 5-demikuutio .
Pyramidit
Pyramidiset 5-polytopit tai 5-pyramidit voidaan generoida 4-polytooppisen emäksen avulla 4-avaruuden hypertasossa, joka on liitetty pisteeseen hyperpinnan tasosta. 5-simplex on yksinkertaisin esimerkki, jossa on 4-simplex-pohja.
Katso myös
Viitteet
- T. Gosset : säännöllisestä ja Semi-Regular Luvut Space n mitat , Messenger matematiikan , Macmillan, 1900
- Boole Stott : Puolipyöreiden geometrinen vähennys tavallisista polytopeista ja avaruustäytteistä , Verhandelingen Koninklijke Academyn van Wetenschappenin leveysyksiköstä Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
-
HSM -Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins ja JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3. painos, Dover New York, 1973
-
Kaleidoskoopit: Selected Writings of HSM Coxeter , toimittanut F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,
ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paperi 22) HSM Coxeter, Regular ja Semi Regular Polytopes I , [Matematiikka. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paperi 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Matematiikka. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paperi 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Matematiikka. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- NW Johnson : Yhtenäisten polytopien ja hunajakennojen teoria , tohtori Väitös, Toronton yliopisto, 1966
- Klitzing, Richard. "5D yhtenäiset polytopit (polytera)" .
Ulkoiset linkit
- Eri kokoiset polytopit , Jonathan Bowers
- Uniform Polytera , Jonathan Bowers
- Moniulotteinen sanasto , Garrett Jones