Ristipolytooppi - Cross-polytope

Ristipolytoopit, joiden koko on 2-5

2 neliön mitat	Kolmiulotteinen oktaedri
4 mittaa 16-kennoinen	5 mitat 5-ortox

On geometria , joka on rajat polytooppia , hyperoctahedron , orthoplex , tai cocube on säännöllinen , kupera polytooppia , että on olemassa n - mitat . 2-ulotteinen ristipolytooppi on neliö, kolmiulotteinen ristipolytooppi on tavallinen oktaedri ja 4-ulotteinen ristipolytooppi on 16-soluinen . Sen piirteet ovat edellisen ulottuvuuden yksinkertai- sia, kun taas ristipolytoopin kärkikuvio on toinen ristipolytooppi edellisestä ulottuvuudesta.

Ristipolytoopin kärkipisteet voidaan valita yksikkövektoreiksi, jotka osoittavat kutakin koordinaattiakselia pitkin-eli kaikki permutaatiot (± 1, 0, 0,…, 0) . Ristipolytooppi on sen kärkien kupera runko . N ulotteinen rajat polytooppia voidaan myös määritellä suljettu yksikkö pallon (tai joidenkin kirjoittajien mukaan, sen raja) on ℓ ₁ -norm on R ⁿ :

${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {R} ^{n}: \ | x \ | _ {1} \ taso 1 \}.}$

Yhdessä ulottuvuudessa ristipolytooppi on yksinkertaisesti viivaosa [−1, +1], kahdessa ulottuvuudessa se on neliö (tai timantti), jonka kärjet ovat {(± 1, 0), (0, ± 1)}. Kolmessa ulottuvuudessa se on oktaedri - yksi viidestä kuperasta säännöllisestä polyhedrasta, joka tunnetaan nimellä platoniset kiintoaineet . Tämä voidaan yleistää korkeammiksi ulottuvuuksiksi, kun n -orthoplex rakennetaan bipyramidiksi, jolla on ( n −1) -ortoplex -emäs.

Rajat polytooppia on kaksi polytooppi on hyperkuution . 1- luuranko on n ulotteinen rajat polytooppia on Turán kaavio T (2 n , n ).

4 mittaa

4-ulotteinen ristipolytooppi on myös nimellä hexadecachoron tai 16-cell . Se on yksi kuudesta normaalista kuperasta 4-polytoopista . Näitä 4-polytoppeja kuvasi ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli 1800-luvun puolivälissä.

Korkeammat mitat

Rajat polytooppia perhe on yksi kolmesta säännöllisesti polytooppia perheisiin leimattu Coxeter kuten β _n , kaksi muuta ollessa hyperkuutio perhe, merkitty γ _n , ja simplices , merkitty α _n . Neljännen perheen, hyperkuutioiden äärettömät tessellaatiot , hän merkitsi δ _{n: ksi} .

N ulotteinen rajat polytooppia on 2 n pisteiden, ja 2 ⁿ puolia (( n  - 1) ulotteinen komponentit), jotka kaikki ovat ( n  - 1) - simplices . Kärki luvut ovat kaikki ( n  - 1) -cross-polytooppeina. Schläfli symboli rajat polytooppi on {3,3, ..., 3,4}.

Diedrikulmaa on n ulotteinen rajat polytooppia on . Tämä antaa: δ ₂ = arccos (0/2) = 90 °, δ ₃ = arccos (−1/3) = 109,47 °, δ ₄ = arccos (−2/4) = 120 °, δ ₅ = arccos ( - 3/5) = 126,87 °, ... δ _∞ = arccos (−1) = 180 °. ${\ displaystyle \ delta _ {n} = \ arccos \ left ({\ frac {2-n} {n}} \ right)}$

N -ulotteisen ristipolytoopin hypervolume on

${\ displaystyle {\ frac {2^{n}} {n!}}.}$

Jokaiselle ei-vastakkaiselle kärkiparille on niitä yhdistävä reuna. Yleisemmin jokainen k  + 1 ortogonaalipisteiden joukko vastaa erillistä k -ulotteista komponenttia, joka sisältää ne. Lukumäärä k ulotteinen komponenttien (kärkipisteet, reunat, pintojen, ..., puolia) kanssa n ulotteinen rajat Polytoopit siten annetaan (katso binomikertoimen ):

${\ displaystyle 2^{k+1} {n \ select {k+1}}}$

On olemassa monia mahdollisia ortografisia projektioita, jotka voivat näyttää polytopit 2-ulotteisina kaavioina. Petrie -monikulmion projektiot kartoittavat pisteet tavallisiksi 2 n: n tai pienemmän asteen säännöllisiksi monikulmioiksi. Toinen projektio ottaa alemman ulottuvuuden 2 ( n − 1) -gon Petrie-monikulmion, joka nähdään bipyramidina , heijastettuna akselia alaspäin, ja 2 kärkeä on kartoitettu keskelle.

Ristipolytooppielementit

n	β n k 11	Nimi (t) Kaavio	Kaavio 2 n -gon	Schläfli	Coxeter-Dynkin- kaaviot	Kärkipisteet	Reunat	Kasvot	Solut	4-kasvot	5 kasvot	6 kasvot	7 kasvot	8 kasvot	9 kasvot	10 kasvot
0	β 0	Piste 0-ortopleksi	.	()		1
1	β 1	Janan 1-orthoplex		{}		2	1
2	β 2 −1 11	neliö 2- ortoxx Bicross		{4} 2 {} = {}+{}		4	4	1
3	β 3 0 11	oktaedri 3- ortoplex Tricross		{3,4} {3 1,1 } 3 {}		6	12	8	1
4	β 4 1 11	16-kennoinen 4- ortopleksinen Tetracross		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4 {}		8	24	32	16	1
5	β 5 2 11	5-orthoplex Pentacross		{3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {}		10	40	80	80	32	1
6	β 6 3 11	6-orthoplex Hexacross		{3 4 , 4} {3 3 , 3 1,1 } 6 {}		12	60	160	240	192	64	1
7	β 7 4 11	7-orthoplex Heptacross		{3 5 , 4} {3 4 , 3 1,1 } 7 {}		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β 8 5 11	8-orthoplex Octacross		{3 6 , 4} {3 5 , 3 1,1 } 8 {}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β 9 6 11	9-orthoplex Enneacross		{3 7 , 4} {3 6 , 3 1,1 } 9 {}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β 10 7 11	10-orthoplex Decacross		{3 8 , 4} {3 7 , 3 1,1 } 10 {}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	β n k 11	n -orthoplex n -cross		{3 n  - 2 , 4} {3 n  - 3 , 3 1,1 } n {}	... ... ...	2 n 0-pinnat , ... k -faces ..., 2 n ( n -1) -faces${\ displaystyle 2^{k+1} {n \ select k+1}}$

Akselikohdistetun ristipolytoopin kärkipisteet ovat kaikki yhtä kaukana toisistaan Manhattanin etäisyydellä ( normi L ¹ ). Kusner konjektuuri todetaan, että tämä joukko 2 d pistettä on suurin mahdollinen tasaisin asetettu tältä matkalta.

Yleistynyt ortopleksi

Säännölliset monimutkaiset polytopit voidaan määrittää monimutkaisessa Hilbert -avaruudessa, jota kutsutaan yleistetyiksi ortoplekseiksi (tai ristipolytoopeiksi), β^p
_n= ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} _p tai... Todellisia ratkaisuja on olemassa p = 2 eli β²
_n= β _n = ₂ {3} ₂ {3} ... ₂ {4} ₂ = {3,3, .., 4}. Jos p > 2, ne ovat olemassa . P -generalized n -orthoplex on pn kärjet. Yleistynyt orthoplexes säännöllisesti simplexes (Real) kuin puolia . Yleistetyt ortopleksit muodostavat täydelliset moniosaiset kuvaajat , β${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{n}}$^s
₂tehdä K _{p , p} on täydellinen kaksijakoinen verkko , β^s
₃tee K _{p , p , p} täydellisille kolmikuvioille. β^p
_nluo K _{p ⁿ} . Kohtisuoraa projektiota voidaan määritellä, joka kartoittaa kaikki kärkipisteet tasavälein ympyrän, jossa kaikki parit pisteiden kytketty, paitsi kerrannaisina n . Säännöllinen monikulmio kokoisen näissä kohtisuorien projektioiden kutsutaan Petrie monikulmio .

Yleistetyt ortopleksit

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$	2 {4} 2 = {4} = K 2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{2}}$	2 {4} 3 = K 3,3	2 {4} 4 = K 4,4	2 {4} 5 = K 5,5	2 {4} 6 = K 6,6	2 {4} 7 = K 7,7	2 {4} 8 = K 8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K 2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = K 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = K 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = K 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = K 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8
${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2	${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {C}} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8

Sukulaispolytooppiperheet

Ristipolytoopit voidaan yhdistää kahden kuution kanssa yhdistelmäpolytooppien muodostamiseksi:

• Kahdessa ulottuvuudessa saadaan kahdeksankulmainen tähtiluku { 8 ⁄ 2 },
• Kolmessa ulottuvuudessa saamme kuution ja oktaedrin yhdisteen ,
• Neljässä ulottuvuudessa saamme tesseractin ja 16-solun yhdisteen .

Katso myös

• Luettelo tavallisista polytopeista
• Hyperoktaedrinen ryhmä , ristipolytoopin symmetriaryhmä

Lainaukset

Viitteet

• Coxeter, HSM (1973). Säännölliset polytopit (3. painos). New York: Dover.
  • 121-122, § 7.21. katso kuva Kuva 7.2 B
  • s. 296, taulukko I (iii): Säännölliset polytopit, kolme tavallista polytoppia n-mitoissa (n≥5)

Ulkoiset linkit

• Weisstein, Eric W. "Ristipolytooppi" . MathWorld .