Aritmetiikka - Arithmetic

Aritmeettinen (alkaen Kreikan ἀριθμός arithmos , ' numero ' ja τική [τέχνη] , Tike [téchne] , ' taidetta ' tai ' alus ') on haara matematiikka , joka koostuu tutkimus numerot , erityisesti koskien ominaisuuksia perinteisten operaatiot niihin - juurien yhteenlasku , vähennys , kertolasku , jako , eksponentiointi ja poiminta . Aritmetiikka on osa lukuteoriaa, ja lukuteoriaa pidetään yhtenä modernin matematiikan huipputason alueista algebran , geometrian ja analyysin ohella . Termejä aritmeettinen ja korkeampi aritmeettinen käytettiin 1900 -luvun alkuun asti lukuteorian synonyymeinä , ja joskus niitä käytetään edelleen viittaamaan lukuteorian laajempaan osaan.

Historia

Esihistoriaa aritmeettinen on rajoitettu pieni määrä esineitä, jotka voivat viitata käsitys lisäämällä ja vähentämällä, tunnetuin ollessa Ishango luun päässä Keski-Afrikassa , vuodelta jossain välillä 20000 ja 18000 BC, vaikka sen tulkinta on kiistanalainen.

Varhaisimmat kirjalliset tiedot osoittavat, että egyptiläiset ja babylonialaiset käyttivät kaikkia alkeisaritmeettisia toimintoja jo vuonna 2000 eaa. Nämä artefaktit eivät aina paljasta erityistä prosessia, jota käytetään ongelmien ratkaisemiseen, mutta tietyn numerojärjestelmän ominaisuudet vaikuttavat voimakkaasti menetelmien monimutkaisuuteen. Hieroglyphic järjestelmä Egyptian numeroita , kuten myöhemmin roomalaisin numeroin , polveutuu tukkimiehen kirjanpito Laskentaan käytettiin. Molemmissa tapauksissa tämä alkuperä johti arvoihin, jotka käyttivät desimaalipohjaa , mutta eivät sisältäneet sijaintimerkintöjä . Monimutkaiset laskelmat roomalaisilla numeroilla vaativat laskentataulun (tai roomalaisen abakuksen ) apua tulosten saamiseksi.

Varhaiset numerojärjestelmät, jotka sisälsivät paikkamerkinnät, eivät olleet desimaaleja, mukaan lukien sukupuolen pienin (perus 60) -järjestelmä babylonialaisille numeroille ja vigesimaalinen (pohja 20) -järjestelmä, joka määritti maya -numerot . Tämän paikka-arvo-käsitteen vuoksi kyky käyttää samoja numeroita uudelleen eri arvoille helpotti ja tehosti laskentamenetelmiä.

Nykyaikaisen aritmetian jatkuva historiallinen kehitys alkaa antiikin Kreikan hellenistisestä sivilisaatiosta , vaikka se syntyi paljon myöhemmin kuin babylonialaiset ja egyptiläiset esimerkit. Ennen Eukleidesin teoksia noin 300 eaa., Kreikkalaiset matematiikan opinnot olivat päällekkäisiä filosofisten ja mystisten uskomusten kanssa. Esimerkiksi Nicomachus tiivisti aikaisemman pythagoralaisen lähestymistavan lukuihin ja niiden suhteet toisiinsa Johdanto aritmeettiseen .

Kreikkalainen numeroin käytti Arkhimedeen , Diofantos ja muiden kanssa kantalukujärjestelmä ei ole kovin erilainen kuin nykymerkinnöin. Muinaisista kreikkalaisista puuttui nolla -symboli hellenistiseen aikaan saakka, ja he käyttivät numeroina kolmea erillistä symbolisarjaa : yksi joukko yksikköpaikkaa, yksi kymmeniä ja yksi satoja. Tuhansien paikkojen kohdalla he käyttävät uudelleen yksiköiden sijainnin symboleja ja niin edelleen. Niiden lisäysalgoritmi oli identtinen nykyaikaisen menetelmän kanssa, ja niiden kertoalgoritmi oli vain hieman erilainen. Heidän pitkän jakoalgoritminsa oli sama, ja Archimedes (joka saattoi keksiä sen) tunsi numerokohtaisen neliöjuurialgoritmin , jota käytettiin yleisesti vasta 1900-luvulla. Hän piti sitä parempana kuin sankarin peräkkäisen lähentämisen menetelmää , koska kun se on laskettu, luku ei muutu ja täydellisten neliöiden, kuten 7485696, neliöjuuret päättyvät välittömästi numeroon 2736. Numeroille, joilla on murto -osa, kuten 546,934, käytettiin negatiiviset voimat 60 - murto -osan 0,934 negatiivisten 10 sijasta.

Muinaisilla kiinalaisilla oli edistyneitä aritmeettisia tutkimuksia, jotka olivat peräisin Shang -dynastiasta ja jatkuivat Tang -dynastian läpi, perusluvuista edistyneeseen algebraan. Muinaiset kiinalaiset käyttivät paikkamerkintöjä, jotka olivat samanlaisia ​​kuin kreikkalaiset. Koska heiltä puuttui myös symboli nollasta , heillä oli yksi symbolisarja yksikköpaikkaa varten ja toinen joukko kymmeniä paikkaa varten. Satojen paikkojen kohdalla he käyttivät sitten uudelleen yksiköiden paikan symboleja ja niin edelleen. Heidän symbolinsa perustuivat muinaisiin laskentatankoihin . Tarkkaa aikaa, jolloin kiinalaiset alkoivat laskea paikannuskuvauksella, ei tiedetä, vaikka tiedetään, että hyväksyminen alkoi ennen vuotta 400 eaa. Muinaiset kiinalaiset olivat ensimmäisiä, jotka löysivät mielekkäästi negatiivisia lukuja, ymmärsivät ja käyttivät niitä mielekkäästi. Tämä selitetään yhdeksässä matemaattisen taiteen luvussa ( Jiuzhang Suanshu ), jonka Liu Hui kirjoitti 2. vuosisadalta eKr.

Hindu-arabialainen numerojärjestelmän asteittainen kehittäminen kehitti itsenäisesti paikka-arvo-käsitteen ja paikkamerkinnän, joissa yhdistettiin yksinkertaisemmat laskentamenetelmät desimaalipohjaan ja 0: ta edustavan numeron käyttö . Tämä mahdollisti järjestelmän edustaa johdonmukaisesti sekä suuria että pieniä kokonaislukuja - lähestymistapa, joka lopulta korvasi kaikki muut järjestelmät. Vuoden alussa 6. vuosisadalla, Intian matemaatikko Aryabhata sisällyttää olemassa versio järjestelmän työssään, ja kokeili erilaisia muistiinpanoja. 700 -luvulla Brahmagupta perusti 0: n käytön erillisenä numerona ja määritteli nollan ja kaikkien muiden numeroiden kertomisen, jakamisen, yhteenlaskemisen ja vähentämisen tulokset - lukuun ottamatta nollalla jakamisen tulosta . Hänen aikalaisensa, syyrialainen piispa Severus Sebokht (650 jKr) sanoi: "Intialaisilla on laskentamenetelmä, jota mikään sana ei voi kehua tarpeeksi. Heidän järkevä matematiikka- tai laskentamenetelmänsä. Tarkoitan järjestelmää, jossa käytetään yhdeksää symbolia." Myös arabit oppivat tämän uuden menetelmän ja kutsuivat sitä hesabiksi .

Vaikka Codex Vigilanus kuvasi arabialaisten numeroiden varhaisen muodon (nolla 0) vuoteen 976 jKr., Pisan Leonardo ( Fibonacci ) oli ensisijaisesti vastuussa niiden käytön levittämisestä kaikkialla Euroopassa sen jälkeen, kun Liber Abaci -kirja julkaistiin vuonna 1202. Hän kirjoitti: intiaanien menetelmä (latinalainen Modus Indorum ) ylittää kaikki tunnetut laskentamenetelmät. Se on loistava menetelmä. He tekevät laskelmansa yhdeksän numeron ja symbolin nolla avulla. "

Keskiajalla aritmeettinen oli yksi seitsemästä yliopistoissa opetetusta vapaasta taiteesta .

Kukoistava algebran vuonna keskiajan islamilaisessa maailmassa, ja myös renessanssin Euroopassa , oli seuraus valtava yksinkertaistaminen laskennan kautta desimaalin merkintätapa.

Erilaisia ​​työkaluja on keksitty ja käytetty laajasti apuna numeerisissa laskelmissa. Ennen renessanssia he olivat erilaisia abakkeja . Uusimpia esimerkkejä ovat dian säännöt , nomogrammit ja mekaaniset laskimet , kuten Pascalin laskin . Tällä hetkellä ne on korvattu elektronisilla laskimilla ja tietokoneilla .

Aritmeettiset operaatiot

Aritmeettisia perustoimintoja ovat yhteenlasku, vähennys, kertolasku ja jako. Vaikka aritmetiikka sisältää myös kehittyneempiä toimintoja, kuten prosenttien , neliöjuurten , eksponentiaalien , logaritmisten funktioiden ja jopa trigonometristen funktioiden manipuloinnin, samalla tavalla kuin logaritmit ( prosthaphaeresis ). Aritmeettiset lausekkeet on arvioitava suunnitellun toimintojärjestyksen mukaisesti. On olemassa useita tapoja määrittää tämän, joko-yleisimmät yhdessä infix merkintätapaa -explicitly käyttämällä sulkuihin ja tukeutuen priorisointisääntöjä , tai käyttämällä etuliite tai postfix merkintätapa, joka ainutlaatuisesti korjaa suorittamisen järjestystä itse. Mikä tahansa joukko objekteja, joille voidaan suorittaa kaikki neljä aritmeettista operaatiota (lukuun ottamatta jakoa nollalla ) ja joissa nämä neljä operaatiota noudattavat tavanomaisia ​​lakeja (mukaan lukien jakautuvuus), kutsutaan kentäksi .

Lisäys

Lisäys, joka on merkitty symbolilla , on aritmeettisen perustoiminto. Yksinkertaisessa muodossa, lisäksi yhdistää kaksi arvot ovat, addends tai ehtoja , yhdeksi numero, summa numerot (kuten 2 + 2 = 4 tai 3 + 5 = 8 ). ${\ displaystyle +}$

Lopullisen määrän numeroiden lisäämistä voidaan pitää toistuvana yksinkertaisena lisäyksenä; tätä menettelyä kutsutaan yhteenlaskuksi , termiä käytetään myös merkitsemään määritelmää "äärettömän monen luvun lisäämiseksi" äärettömässä sarjassa . Numeron 1 toistuva lisääminen  on yksinkertaisin laskentamuoto ; 1 lisäämisen tulosta kutsutaan yleensä alkuperäisen numeron seuraajaksi .

Lisäys on kommutoiva ja assosiatiivinen , joten lopullisesti monen termin lisäämisjärjestyksellä ei ole väliä.

Numero 0 on se ominaisuus, että kun lisätään mikä tahansa määrä, se tuottaa saman määrän; niin, se on neutraalialkio lisäyksen, tai lisäaine identiteettiä .

Joka määrä x , on olemassa joukko merkitään - x , kutsutaan vastapäätä on x , siten, että x + (- x ) = 0 ja (- x ) + x = 0 . Niin, vastakohta x on käänteinen on x suhteessa Lisäksi tai lisäaine käänteinen on x . Esimerkiksi 7: n vastakohta on −7 , koska 7 + (−7) = 0 .

Lisäystä voidaan tulkita myös geometrisesti, kuten seuraavassa esimerkissä. Jos meillä on kaksi tikkua, joiden pituus on 2 ja 5 , niin jos tikut kohdistetaan peräkkäin, yhdistetyn tikun pituudeksi tulee 7 , koska 2 + 5 = 7 .

Vähennyslasku

Vähennys, joka on merkitty symbolilla , on lisäyksen käänteinen operaatio. Vähennyslasku löytää ero kahden arvot ovat, minuend miinus vähentäjä : D = M - S . Turvautua aiemmin perustetun Lisäksi tämä tarkoittaa sitä, että ero on numero, joka, kun se lisätään vähentäjä, tulokset minuend: D + S = M .${\ displaystyle -}$

Positiivisten argumenttien osalta M ja S ovat :

Jos minuend on suurempi kuin vähennys, ero D on positiivinen.

Jos minuend on pienempi kuin vähennys, ero D on negatiivinen.

Joka tapauksessa, jos minuend ja subtrahend ovat yhtä suuret, ero D = 0.

Vähennys ei ole kommutoiva eikä assosiatiivinen . Tästä syystä tämän käänteisoperaation rakentaminen nykyaikaisessa algebrassa hylätään usein käänteisten alkuaineiden käsitteen käyttöönoton hyväksi (kuten on lisätty § Lisäys ), jossa vähennyksen katsotaan lisäävän vähennyksen käänteisen lisäyksen minuendiin, että on, a - b = a + ( - b ) . Vähennyksen binaaritoiminnon hylkäämisen välitön hinta on (triviaalin) yhtenäisen operaation käyttöönotto , joka antaa lisäaineen käänteisen mille tahansa tietylle numerolle ja menettää välittömän pääsyn ero -käsitteeseen , mikä on mahdollisesti harhaanjohtavaa negatiivisten argumenttien yhteydessä .

Kaikille numeroiden esityksille on olemassa tulosten laskentamenetelmiä, joista jotkut ovat erityisen edullisia yhden operaation olemassa olevien menettelyjen hyödyntämisessä pienillä muutoksilla myös muille. Esimerkiksi digitaaliset tietokoneet voivat käyttää uudelleen olemassa olevia lisäyspiirejä ja säästää lisäpiirejä vähennyslaskun toteuttamiseksi käyttämällä kahden komplementin menetelmää additiivisten käänteisten esittämiseksi, mikä on erittäin helppo toteuttaa laitteistossa ( kieltäminen ). Kompromissi on numeroalueen puolittaminen kiinteän sanan pituuden osalta.

Aiemmin laaja hajautusmenetelmä oikean muutossumman saavuttamiseksi, erääntyvät ja annetut määrät tietäen, on laskentamenetelmä , joka ei nimenomaisesti luo erotuksen arvoa. Oletetaan määrän P annetaan voidakseen maksaa tarvittavan määrän Q , jossa P on suurempi kuin Q . Sen sijaan, että vähennettäisiin nimenomaisesti P - Q = C ja laskettaisiin se summa C muutoksessa, raha lasketaan alkaen Q: n seuraajastä ja jatketaan valuutan vaiheissa, kunnes P saavutetaan. Vaikka lasketun määrän on vastattava vähennyksen P - Q tulosta , vähennystä ei koskaan tehty, eikä P - Q: n arvoa anneta tällä menetelmällä.

Kertolasku

Kertolasku, joka on merkitty symboleilla tai , on aritmetiikan toinen perustoiminto. Kertolasku yhdistää myös kaksi numeroa yhdeksi numeroksi, tuloksi . Kahta alkuperäistä numeroa kutsutaan kertoimeksi ja kertolaskuksi , useimmiten molempia yksinkertaisesti kutsutaan tekijöiksi . ${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle \ cdot}$

Kertoamista voidaan pitää skaalausoperaationa. Jos luvut kuvitellaan olevan suorassa, kertominen suuremmalla kuin yhdellä luvulla, esimerkiksi x , on sama kuin venyttää kaikki pois 0: sta tasaisesti siten, että numero 1 itse venyy kohtaan, jossa x oli. Samoin kertominen pienemmällä luvulla voidaan kuvitella puristuvan kohti 0, niin että 1 menee kertolaskuun.

Toinen näkemys kokonaislukujen kertomisesta (laajennettavissa järkeviin, mutta ei kovin helposti saavutettavissa todellisille numeroille) on pitää sitä toistuvana lisäyksenä. Esimerkiksi. 3 × 4 vastaa joko 3 kertaa 4 tai 4 kertaa 3 lisäämistä , jolloin saadaan sama tulos. Näiden paradigmien hyödyllisyydestä matematiikan opetuksessa on erilaisia ​​mielipiteitä .

Kertoaminen on kommutoivaa ja assosiatiivista; lisäksi se on jakautuva yhteen- ja vähennyslaskun suhteen. Kerrottavat identiteetti on 1, koska kertomalla minkä tahansa numeron 1 saannot, että sama määrä. Kerrottava käänteisluku tahansa numero paitsi  0 on vastavuoroinen tämän numeron, koska kertomalla käänteisarvo tahansa määrän useissa itse tuottaa multiplikatiivisessa identiteetti 1 . 0  on ainoa numero ilman kerrottava käänteisluku, ja saatu kertomalla minkä tahansa määrän ja 0 on jälleen 0. Yksi sanoo, että 0 ei sisälly multiplikatiivisessa ryhmän numerot.

Tuotteen ja b on kirjoitettu x b tai · b . Kun a tai b ovat ilmaisuja, joita ei ole kirjoitettu pelkästään numeroilla, ne kirjoitetaan myös yksinkertaisella rinnakkaisuudella:  ab . Vuonna ohjelmointikieltä ja ohjelmistoja (jossa voi käyttää vain merkkejä normaalisti näppäimistössä esiintyviä), se on usein kirjoitettu tähdellä:  . a * b

Algoritmit, jotka toteuttavat kertolaskun eri lukujen esityksille, ovat paljon kalliimpia ja työläämpiä kuin lisäämisen algoritmit. Ne, jotka ovat käytettävissä manuaaliseen laskentaan, luottavat joko tekijöiden jakamiseen yksittäisiin paikka -arvoihin ja toistuvan lisäyksen soveltamiseen tai taulukoiden tai diasääntöjen käyttöön , jolloin kertolasku lasketaan yhteen ja päinvastoin. Nämä menetelmät ovat vanhentuneita, ja ne korvataan vähitellen mobiililaitteilla. Tietokoneet käyttävät erilaisia ​​kehittyneitä ja erittäin optimoituja algoritmeja toteuttamaan kertolasku ja jako järjestelmään tuetuille erilaisille numeromuodoille.

Division

Jakautuminen, jota merkitään symboleilla tai , on olennaisesti kertolaskun käänteinen operaatio. Division löytää osamäärä kahden lukujen osalta osinko jaettuna jakajalla . Kaikki osingot jaettuna nollalla ovat määrittelemättömiä. Jos osingot ovat suurempia kuin jakaja, jakajat ovat suurempia kuin positiiviset luvut, osamäärä on suurempi kuin 1, muuten se on pienempi tai yhtä suuri kuin 1 (sama sääntö koskee negatiivisia numeroita). Jakajan kertomalla osamäärällä saadaan aina osinko. ${\ displaystyle \ div}$${\ displaystyle /}$

Jakautuminen ei ole kommutoiva eikä assosiatiivinen. Joten kuten § Vähennysosassa selitetään, jakorakenne nykyaikaisessa algebrassa hylätään käänteisten elementtien rakentamisen puolesta kertolaskun suhteen, kuten § Kerroin esitetään . Näin ollen jako on osingon kertolasku tekijän jakajan vastavuoroisella eli a ÷ b = a × 1/b.

Luonnollisten lukujen sisällä on myös erilainen, mutta toisiinsa liittyvä käsite nimeltä Euklidinen jako , joka antaa kaksi numeroa sen jälkeen, kun "on jaettu " luonnollinen N (lukija) luonnollisella D (nimittäjä): ensin luonnollinen Q (osamäärä) ja toinen a luonnollinen R (jäännös) siten, että N = D × Q + R ja 0 ≤ R < Q .

Joissakin yhteyksissä, mukaan lukien tietokoneohjelmointi ja kehittynyt aritmetiikka, jakoa laajennetaan toisella lopputuloksella. Tätä käsitellään usein erillisenä operaationa, Modulo -operaationa , jota merkitään symbolilla tai sanalla , vaikka toisinaan toisen tuloksen yhdelle "divmod" -operaatiolle. Molemmissa tapauksissa modulaarisella aritmetiikalla on erilaisia ​​käyttötapoja. Jakautumisen eri toteutukset (lattia, katkaistu, euklidinen jne.) Vastaavat moduulin eri toteutuksia. ${\ displaystyle \%}$${\ displaystyle mod}$

Aritmetiikan peruslause

Aritmeettisen peruslauseen mukaan millä tahansa kokonaisluvulla, joka on suurempi kuin 1, on ainutlaatuinen alkutekijä (luku esitetään alkutekijöiden tulona) lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä. Esimerkiksi 252: lla on vain yksi alkutekijä:

252 = 2 ² × 3 ² × 7 ¹

Euclid's Elements esitteli ensin tämän lauseen ja antoi osittaisen todistuksen (jota kutsutaan Eukleidesin lemmaksi ). Aritmeettisen peruslauseen todisti ensimmäisenä Carl Friedrich Gauss .

Aritmetiikan peruslause on yksi syy siihen, miksi 1: tä ei pidetä alkuluvuna . Muita syitä ovat Eratosthenesin seula ja itse alkuluvun määritelmä (luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, jota ei voida muodostaa kertomalla kaksi pienempää luonnollista lukua).

Desimaaliluku

Desimaaliesitys viittaa yksinomaan, yleisessä käytössä, kirjallisessa lukujärjestelmässä käyttämällä arabialaisin numeroin kuin numerot varten kantaluvun 10 ( "desimaalin") kantalukujärjestelmä ; Kuitenkin mitä tahansa10: een perustuvaa numerojärjestelmää , esimerkiksi kreikkalaisia , kyrillisiä , roomalaisia tai kiinalaisia ​​numeroita, voidaan käsitteellisesti kuvata "desimaalimerkinnöiksi" tai "desimaaliedustuksiksi".

Nykyaikaiset menetelmät neljälle perustoiminnalle (yhteenlasku, vähennys, kertolasku ja jako) kehitettiin ensin intialaisella Brahmaguptalla . Tämä tunnettiin keskiaikaisen Euroopan aikana nimellä "Modus Indorum" tai Intian menetelmä. Paikkamerkinnät (tunnetaan myös nimellä "paikkamerkinnät") viittaavat numeroiden esittämiseen tai koodaamiseen käyttäen samaa symbolia eri suuruusluokille (esim. "Yhden paikka", "kymmenien paikka", "satojen paikka") ja radix -pisteellä samoja symboleja käyttämällä murtolukuja (esim. "kymmenesosa", "sadasosa"). Esimerkiksi 507,36 tarkoittaa 5 satoa (10 ² ), plus 0 kymmenen (10 ¹ ), plus 7 yksikköä (10 ⁰ ), plus 3 kymmenesosaa (10 ^-1 ) plus 6 sadasosaa (10 ^-2 ).

Käsite 0 kuin luku, joka on verrattavissa muihin perusnumeroihin, on olennainen tälle merkinnälle, samoin kuin käsite 0: n käyttämisestä paikkamerkkinä, samoin kuin kertomisen ja lisäyksen määritelmä 0: lla. 0: n käyttö paikkamerkkinä ja siksi käyttö kantalukujärjestelmä ensin todisteena on Jain tekstin Intia oikeutti Lokavibhâga päivätty 458 jKr, ja se oli vasta alussa 13-luvulla, että nämä käsitteet, välitetään apuraha arabimaailmaan , otettiin käyttöön osaksi Europe by Fibonacci käyttämällä hindu-arabialainen numero järjestelmän.

Algorismi käsittää kaikki säännöt aritmeettisten laskutoimitusten suorittamiseksi tämän tyyppistä kirjoitettua numeroa käyttäen. Esimerkiksi lisäys tuottaa kahden mielivaltaisen luvun summan. Tulos lasketaan lisäämällä toistuvasti yksittäisiä numeroita jokaisesta numerosta, jolla on sama paikka, oikealta vasemmalle. Lisätaulukko, jossa on kymmenen riviä ja kymmenen saraketta, näyttää kaikki mahdolliset arvot kullekin summalle. Jos yksittäinen summa ylittää arvon 9, tulos esitetään kahdella numerolla. Oikeanpuoleisin numero on nykyisen sijainnin arvo, ja tulos seuraavien numeroiden lisäämisestä vasemmalle kasvaa toisen (vasemmanpuoleisimman) numeron arvolla, joka on aina yksi (ellei nolla). Tämä säätö kutsutaan kuljettaa arvon 1.

Kahden mielivaltaisen luvun kertominen on samanlainen kuin lisäysprosessi. Kertolaskenta, jossa on kymmenen riviä ja kymmenen saraketta, luettelee kunkin numeroparin tulokset. Jos yksittäinen lukuparin tulo ylittää yhdeksän, siirto -säätö lisää myöhempien numeroiden kertomisten tulosta vasemmalle arvolla, joka vastaa toista (vasemmanpuoleisinta) numeroa, mikä on mikä tahansa arvo 1-8 ( 9 × 9 = 81 ). Lisävaiheet määrittelevät lopullisen tuloksen.

Samanlaisia ​​tekniikoita on olemassa vähentämiseen ja jakamiseen.

Oikean kertolaskun luominen perustuu vierekkäisten numeroiden arvojen väliseen suhteeseen. Minkä tahansa numeron yksittäisen numeron arvo riippuu sen sijainnista. Lisäksi jokainen vasemmalla oleva sijainti edustaa arvoa, joka on kymmenen kertaa suurempi kuin oikealla oleva. Matemaattisesti 10 : n säteen (kantan) eksponentti kasvaa 1: llä (vasemmalle) tai pienenee 1: llä (oikealle). Näin ollen, arvo mielivaltaisen numero kerrotaan arvolla, joka on muotoa 10 ⁿ kanssa kokonaisluku n . Yksittäisen numeron kaikkia mahdollisia paikkoja vastaavien arvojen luettelo kirjoitetaan muodossa {..., 10 ² , 10, 1, 10 ⁻¹ , 10 ⁻² , ...}. 

Tämän luettelon minkä tahansa arvon toistuva kertominen 10: llä tuottaa toisen arvon luettelossa. Matemaattisessa terminologiassa tämä ominaisuus määritellään sulkemiseksi ja edellinen luettelo kuvataan suljetuksi kertolaskussa . Se on perusta kertolaskutulosten oikealle löytämiselle aikaisempaa tekniikkaa käyttäen. Tämä tulos on yksi esimerkki lukuteorian käyttötarkoituksista .

Yhdistelmäyksikön aritmeettinen

Yhdistelmäyksikköaritmeettinen on aritmeettisten operaatioiden soveltaminen sekoitetuille radix -määrille , kuten jaloille ja tuumille; gallonaa ja tuoppia; puntaa, shillinkiä ja penniä; ja niin edelleen. Ennen desimaalipohjaisia ​​rahajärjestelmiä ja mittayksiköitä yhdistelmäyksikköaritmetiikkaa käytettiin laajalti kaupassa ja teollisuudessa.

Aritmeettiset perustoiminnot

Yhdistelmäyksiköiden laskennassa käytetyt tekniikat on kehitetty vuosisatojen ajan ja ne on dokumentoitu hyvin monissa oppikirjoissa monilla eri kielillä. Desimaalilaskutoimituksessa esiintyvien aritmeettisten perustoimintojen lisäksi yhdistelmäyksikköaritmetiikka käyttää vielä kolmea toimintoa:

• Vähennys , jossa yhdistemäärä vähennetään yhdeksi suureksi - esimerkiksi jaardeina, jaloina ja tuumina ilmaistun etäisyyden muuntaminen tuumiksi.
• Laajentuminen , käänteinen funktio pelkistykseen, on yksittäisenä mittayksikkönä ilmaistun määrän muuntaminen yhdistelmäyksiköksi, kuten 24 oz: n laajentaminen 1 lb 8 oz: ksi .
• Normalisointi on yhdistelmäyksikköjoukon muuntaminen vakiomuotoon - esimerkiksi " 1 ft 13 in " uudelleen kirjoittaminen muotoon " 2 ft 1 in ".

Tieto eri mittayksiköiden, niiden monikertojen ja niiden alikertoimien välisestä suhteesta on olennainen osa yhdistelmäyksikköaritmetiikkaa.

Yhdisteyksikön aritmeettiset periaatteet

Yhdistelmäyksikön aritmetiikassa on kaksi perusmenetelmää:

• Pelkistys -laajennusmenetelmä, jossa kaikki yhdisteen yksikkömuuttujat pienennetään yksittäisiksi yksikkömuuttujiksi, laskelma suoritetaan ja tulos laajennetaan takaisin yhdisteyksiköiksi. Tämä lähestymistapa sopii automaattisiin laskelmiin. Tyypillinen esimerkki on ajan käsittely Microsoft Excelissä, jossa kaikki aikaväli käsitellään sisäisesti päivinä ja desimaalimurtoina päivässä.
• Käynnissä normalisoinnin menetelmää , jossa kukin yksikkö on käsiteltävä erikseen, ja ongelma on jatkuvasti normalisoitiin liuos kehittyy. Tämä lähestymistapa, jota kuvataan laajalti klassisissa teksteissä, sopii parhaiten manuaalisiin laskelmiin. Alla on esimerkki jatkuvasta normalisointimenetelmästä, jota sovelletaan lisäykseen.

Lisäys suoritetaan oikealta vasemmalle; tässä tapauksessa penniä käsitellään ensin, sitten shillinkiä ja sen jälkeen puntaa. "Vastausrivin" alapuolella olevat numerot ovat välituloksia.

Pennisarakkeen kokonaismäärä on 25. Koska shillingissä on 12 penniä, 25 jaetaan 12: lla, jolloin saadaan 2 ja loppuosa 1. Vastausriville kirjoitetaan sitten arvo "1" ja arvo "2" siirretty shillinkisarakkeeseen. Tämä toimenpide toistetaan käyttäen shillings -sarakkeen arvoja ja lisävaihe lisäämällä pennies -sarakkeesta siirretty arvo. Välisumma jaetaan 20: llä, koska kilossa on 20 shillinkiä. Punnan sarake käsitellään sitten, mutta koska punnat ovat suurin yksikkö, jota harkitaan, arvoja ei siirretä puntasarakkeesta.

Yksinkertaisuuden vuoksi valitussa esimerkissä ei ollut maadoituksia.

Toiminta käytännössä

1800- ja 1900 -luvuilla kehitettiin erilaisia ​​apuvälineitä yhdistelmäyksiköiden manipuloinnin helpottamiseksi erityisesti kaupallisissa sovelluksissa. Yleisimpiä apuvälineitä olivat mekaaniset tillit, jotka on mukautettu Yhdistyneen kuningaskunnan kaltaisissa maissa puntien, shillinkien, penniä ja farthingia varten, ja valmiit laskurit , jotka ovat kauppiaille suunnattuja kirjoja, jotka luetteloivat erilaisten rutiininomaisten laskelmien, kuten prosenttiosuuksien tai monenlaisia ​​eri rahasummia. Yksi tyypillinen kirjasto, joka ulottui 150 sivulle, sisälsi useita kertoja "yhdestä kymmeneen tuhanteen eri hinnoilla yhdestä puntasta yhteen puntaan".

Yhdistelmäyksikön aritmeettisen järjestelmän hankala luonne on tunnustettu monien vuosien ajan - vuonna 1586 flaamilainen matemaatikko Simon Stevin julkaisi pienen pamfletin nimeltä De Thiende ("kymmenes"), jossa hän julisti desimaalikolikoiden, mittausten ja painojen yleisen käyttöönoton. on vain ajan kysymys. Nykyaikana monet muunto -ohjelmat, kuten Microsoft Windows 7 -käyttöjärjestelmälaskin, sisältävät yhdistelmäyksiköitä pienennetyssä desimaalimuodossa laajennetun muodon sijasta (esim. 2,5 jalkaa näytetään sijasta "2 jalkaa 6" sisään " ).

Numeroteoria

1800 -luvulle asti lukuteoria oli synonyymi "aritmeettiselle". Käsitellyt ongelmat liittyivät suoraan perustoimintoihin, ja ne koskivat primaarisuutta , jakautumista ja kokonaislukujen yhtälöiden ratkaisua , kuten Fermatin viimeinen lause . Näytti siltä, ​​että useimmat näistä ongelmista, vaikkakin hyvin alkeellisia, ovat hyvin vaikeita, eikä niitä voida ratkaista ilman erittäin syvää matematiikkaa, johon liittyy monien muiden matematiikan alojen käsitteitä ja menetelmiä. Tämä johti uusiin lukuteorian haaroihin, kuten analyyttinen lukuteoria , algebrallinen lukuteoria , diofantinen geometria ja aritmeettinen algebrallinen geometria . Wilesin todiste Fermatin viimeisestä lauseesta on tyypillinen esimerkki kehittyneiden menetelmien tarpeellisuudesta, jotka menevät paljon pidemmälle kuin klassiset aritmeettiset menetelmät, sellaisten ongelmien ratkaisemiseksi, jotka voidaan esittää alkeisaritmetiikassa.

Aritmetiikka opetuksessa

Matematiikan perusopetuksessa keskitytään usein voimakkaasti algoritmeihin, joilla lasketaan luonnollisia lukuja , kokonaislukuja , murto-osia ja desimaaleja (desimaalipaikkajärjestelmän avulla). Tätä tutkimusta kutsutaan joskus algorismiksi.

Näiden algoritmien vaikeus ja motivoimaton ulkonäkö ovat jo pitkään saaneet opettajat kyseenalaistamaan tämän opetussuunnitelman ja kannattavat keskeisten ja intuitiivisten matemaattisten ideoiden varhaista opettamista. Yksi merkittävä liike tähän suuntaan oli 1960- ja 1970 -lukujen uusi matematiikka , joka yritti opettaa aritmeettista aksiomaattisen kehityksen hengessä joukko -teoriasta, joka on korkeamman matematiikan vallitsevan suuntauksen kaiku.

Myös aritmeettinen käytti islamilaisten oppineiden opettaakseen soveltaminen tuomioiden liittyvien Zakat ja Irth . Tämä tehtiin Abd-al-Fattah-al-Dumyatin kirjassa The Best of Aritmetic .

Kirja alkaa matematiikan perusteista ja jatkuu sen soveltamiseen myöhemmissä luvuissa.

Katso myös

•  Aritmeettinen portaali
• Luettelo matematiikan aiheista
• Aritmetiikan ääriviivat
• Laskutikku

liittyvät aiheet

Huomautuksia

Viitteet

Ulkoiset linkit

• MathWorld -artikkeli aritmetiikasta
• Uuden opiskelijan hakuteos/aritmetiikka (historiallinen)
• Suuri laskelma intiaanien mukaan Maximus Planudesista - varhainen länsimainen aritmeettinen työ lähentymisessä
• Weyde, PH Vander (1879). "Aritmetiikka"  . Amerikkalainen Cyclopædia .